科数网数学目录

解方程概述 3次与4次方程 5次方程的解 浅析根式求解 多项式环 多项式的因式分解问题 有限可解群(上) 有限可解群(下) 域的扩张基本概念 单纯扩张 有限扩张和代数扩张 分裂域和正规扩张 分裂域和正规扩张 举例 可离扩张与单纯性(上) 可离扩张与单纯性(下) 迹与范数 有限域 超越扩张（上） 超越扩张（下）与超越数 伽罗瓦Galois 基本定理 根式扩张与解方程 扩张的自同构群 扩张同构举例

二分法 不动点迭代法 牛顿迭代法 高斯消元法 经典迭代法 迭代法的收敛性质(1) 迭代法的收敛性质(2) 梯度下降法 特征值的估计 幂法 反幂法 QR方法（1） QR方法（2） 插值多项式的概念 拉格朗日插值 牛顿插值 分段低次插值 埃尔米特插值 三次样条插值（1） 三次样条插值（2） 数据拟合的最小二乘法 正交多项式 最佳平方逼近 数值积分概述 梯形公式 改进梯形公式 辛普森公式 高斯积分 外推法 自适应积分 数值微分 欧拉格式与改进欧拉法 改进欧拉法 龙格-库塔法 线性多步法 解一阶微分方程组的差分法 二阶及高阶常微分方程的有限差分法 插值问题的提出 拉格朗日插值 插值公式 Neville 插值 牛顿插值 埃尔米特插值 函数逼近

狭义相对论的几何诠释 狭义相对论中的运动学 无质量粒子 康普顿（Compton）散射 狭义相对论中的动力学 观测者和观测与爱因斯坦圆盘 洛伦兹群的进一步介绍 狭义相对论里的矢量 对偶矢量 张量 张量运算 狭义相对论中的理想流体 能动张量 理想流体 能动量守恒 四维动量与四维动量守恒 麦克斯韦方程 电磁辐射 能量与动量 附录 2.1 狭义相对论简史 牛顿引力的相对性原理 弱等效原理 爱因斯坦等效原理 引力红移 全球定位系统（GPS）中的相对论修正 引力与几何 时空弯曲与流形 切空间和余切空间 张量 4.4.1 黎曼法坐标 球面上的几何 体积元 非坐标基 时间定向 张量密度 微分形式 协变导数和仿射联络 张量的协变导数 黎曼几何基本定理 平 行 移 动 测 地 线 FRW 宇宙中的测地线 FRW 时空中的能动量守恒 李 导 数 张量的李导数 李导数举例 费米－沃克尔移动 费米－沃克尔移动举例 匀加速观测者参考系 转动参考系 6.1.1 曲率、挠率和黎曼张量张量的定义 6.1.2 黎曼张量的对称性和第二比安基恒等式 6.1.3 里奇张量、爱因斯坦张量与外尔张量 6.1.4 内禀曲率、庞加莱上半平面与AdS时空 6.2基灵矢量、保度规变换、时空对称性、四维平直时空 6.3 最大对称空间、基灵矢量场个数、常曲率空间、德西特时空 测地偏离和引潮力 爱因斯坦方程 弱 场 近 似 等效原理回顾 爱因斯坦方程的一般性讨论 作用量原理 爱因斯坦一希尔伯特作用量 能动张量 能动量守恒与运动方程 广义相对论的修改理论 广义相对论的替代理论 引力的红外修正 能 量 条 件 因 果 性 稳态和静态时空 伯克霍夫定理 史瓦西时空中的测地线 自由下落与逃逸速度 广义相对论的经典实验检验 引力红移 零测地线讨论 光线偏折和雷达回波延迟 引力时钟效应 后牛顿参数化极限 测地进动 引力透镜效应 吸积盘 脉冲双星 史瓦西黑洞 爱丁顿—芬克斯坦坐标 潘勒韦坐标和引潮力 最大延拓史瓦西时空 虫洞 克鲁斯卡尔流形中的时间平移对称性 黑洞的形成 星体内部的球对称几何 带电球对称黑洞 粒子的运动 极端 RN 黑洞 黑洞的观测 弱场近似下转动物体的时空几何 慢转动下的外部时空 引磁场的物理效应 自旋进动的一般性讨论 楞瑟－塞灵效应与等效原理 克尔几何 黑洞的事件视界 测地运动 彭罗斯过程 黑洞热力学与黑洞定律 霍金辐射和信息丢失 真空中的引力波 引力辐射 引力辐射的多极展开 引力辐射的能动张量 引力辐射的能量损耗 引力波探测 共振探测器以及引力波的能量

时空、质点与参考系 位移和路程 速度和加速度 运动学的两类问题 自然坐标系下的速度和加速度 圆周运动与右手螺旋法则 伽利略变换与洛伦兹变换 牛顿定律 万有引力重力弹力摩擦力 惯性系与非惯性系 动量守恒 功和能 机械能守恒 角动量守恒 刚体运动的描述 定轴转动定律 刚体的转动惯量 机械能和力矩的功 角动量定理及角动量守恒定律 新Markdown 理想流体的描述 连续性方程和伯努利方程 黏滞液体的运动 狭义相对论 狭义相对论的基本原理 同时的相对性 钟慢效应 尺缩效应 洛伦兹速度变换 质速关系 质能关系 简谐运动 速度和加速度 旋转矢量表示法 动力学方程、单摆、复摆 简谐运动的能量 简谐运动的合成 同方向不同频率简谐运动的合成 相互垂直的简谐运动的合成 相互垂直的简谐运动的合成 相互垂直的简谐运动的合成 阻尼振动 受迫振动与共振 波的描述 波函数 波动方程与波速 简谐波的能量 惠更斯原理 波的叠与干涉 驻波 多普勒效应 声波 几何光学 球面折射成像 薄透镜成像 眼睛 放大镜和显微镜 波动光学 杨氏双缝干涉 分振幅干涉 等倾干涉 劈尖干涉 牛顿环干涉 迈克尔逊干涉仪 时间相干性与空间相干性 惠更斯-菲涅耳原理 夫琅禾费单缝衍射 夫琅禾费多缝衍射 夫琅禾费光栅衍射 X 射线 偏振光 偏振光的干涉 库仑定律 电场和电场强度 电场强度的计算 高斯定理 高斯定理的应用 电势能与电势差 电势的计算 等势面 导体的静电平衡 静电屏蔽 静电场中的电介质 介质中的高斯定理 介质中的高斯定理 介质中的高斯定 电容和电容器 静电场的能量 恒定电流 电动势 磁场 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场中的高斯定理 新Markdown 安培环路定理 洛仑兹力 霍耳效应 磁场对载流导线的作用 磁介质 磁场强度 铁磁质 法拉第电磁感应 楞次定律 动生电动势 感生电动势 自感和互感 磁场的能量 位移电流 麦克斯韦方程组（电磁波） 黑体辐射 普朗克量子假设 光电效应 康普顿散射 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 粒子的波动性 德布罗意波的统计 双缝干涉实验 薛定谔方程 一维无限深势阱 隧道效应 一维简谐振子 氢原子结构 电子的自旋 原子的壳层结构 热力学的基本概念 热力学第一定律 等体过程 等压过程 等温过程 绝热过程 循环过程 卡诺循环 热力学第二定律 分子动理论的基本观点 麦克斯韦速率 三个统计速率 玻尔兹曼能量分布 压强公式 新Markdown 温度的微观意义 范德瓦耳斯方程 能量按自由度均分原理 分子的平均碰撞频率 熵与热力学第二定律 克劳修斯熵

希尔伯特空间 距离空间的基本概念 距离空间中的收敛 开集，闭集及连续映射 开集，闭集 连续映射 稠密与可分 完备性•集合的类型 完备性 第一纲集与第二纲集 列紧与紧 全有界 紧 自列紧集上的连续映射 具体距离空间列紧集的判别 Banach 压缩映射原理 Banach 压缩映射原理及其应用 赋范线性空间基本概念 赋范线性空间 Banach空间 商空间 赋范线性空间中的级数 基与维数 有限维赋范线性空间的同构 Riesz引理及有限维与无限维空间的区别 Banach 空间的几何性质 内积空间基本概念 Hilbert 空间 正交与正交分解 最佳逼近问题 Hilbert空间的正交分解 标准正交基 Bessel 不等式与完备基 Schmidt 正交化过程 可分的 Hilbert 空间与 l 等距同构 有界线性算子与线性泛函 有界线性算子构成的赋范空间 何时构成Banach空间 开映射定理 闭图像定理 一致有界原理 Hahn-Banach延拓定理 凸集分离定理 共轭空间•自反空间 共轭空间的例及其线性泛函的表示 二次共轭与自反 共轭算子 弱收敛 弱*收敛 弱列紧与弱*列紧 线性算子的谱理论 有界线性算子的谱 谱半径 紧算子与紧算子的谱 紧算子的有限秩逼近

集合和映射 等价关系 自然数的公理化定义 偏序集合和佐恩引理 代数运算和代数系统(群 环) 群的定义及性质 子群、子集生成的子群 陪集、指数、拉格朗日定理 群元素的阶 循环群的性质 变换群和置换群 共轭置换的性质 群的同态和同构 正规子群和商群 商群 置换群的性质 特殊的置换群(二面体群 哈密尔顿群) 群的同构定理 群的自同构群 共轭关系、群方程 群在集合上的作用 伯恩赛德引理及其应用 西罗定理 群的直和 换位子群与可解群* 环、子环、环同态 各种特殊类型的环 理想与商环 环的同构定理 素理想和极大理想 环的直和 交换么环上的多项式环 整除、相伴、不可约元和素元 唯一分解整环 主理想整环 欧几里得整环 唯一分解整环上的多项式环 整环的商域 环在编码和密码中的应用 素域和域的扩张 代数元、超越元、单扩张 有限扩张和代数扩张 分裂域和正规扩张 可分扩张(1) 可分扩张(2) 分圆域 伽罗瓦扩张 伽罗瓦扩张2 伽罗瓦基本定理 尺规作图问题求解 模的基本概念 模的直和 自由模 主理想整环上的自由模 有限生成扭模的分解 有限生成模的标准分解及其唯一性 有限生成模分解的应用 模的其他例子

概率空间 随机变量与分布函数 常用分布 Riemann－Stieltjes积分 数字特征 随机向量的期望和方差阵 矩母函数 特征函数 收敛性 独立性与条件期望 独立随机变量和的分布 关于一个随机变量的条件期望 关于σ代数的条件期望 事件条件独立例子 取帽子问题 随机元和弱收敛与Lebesgue积分 测度变换 Borel-Cantelli第二引理证明 随机过程的基本概念 有限维分布与Kolmogorov定理 随机过程的基本类型 独立增量和平稳增量 泊松过程定义 Xn 和 Tn 的分布 事件发生时刻的条件分布 非齐次泊松过程 复合泊松过程 条件泊松过程 泊松过程的无记性 泊松过程的马氏性 泊松过程合并与分解 剩余寿命和年龄 更新过程的定义及若干分布 更新方程 更新方程在人口学中的一个应用 Feller基础更新定理 Blackwell更新定理 关键更新定理 延迟更新过程 更新回报过程 交替更新过程 附录：一些证明 马尔科夫链(马氏链)基本概念 多步转移概率与C-K方程 状态的分类及性质 马尔科夫极限定理 平稳分布 平稳可逆分布 强大数律 群体消失模型(离散时间分支过程) 连续时间马氏链基本概念 泊松过程的例子 其它例子 转移速率矩阵 Kolmogorov微分方程 连续时间连续状态的马氏过程 补充：级数的极限定理 补充： 定理5.12证明 强马氏性 Kolmogorov向后方程证明 鞅 鞅的例子 凸函数变换 下鞅分解定理 鞅的停时定理及其应用 有界停时定理 停时定理 上鞅停时定理 一致可积性 鞅收敛定理 连续鞅 停时定理和极限定理 可测性与代数流 高斯分布 布朗运动对称随机游动 定义 高斯过程性质 联合密度的分解 二次变差 布朗运动的鞅性质 布朗运动的马氏性 布朗运动的最大值变量及反正弦律 最大值和最小值的分布 有零点的概率 布朗运动的几种变化 漂移布朗运动 高维布朗运动 布朗运动的构造 关于随机游动的随机积分 续可微函数的随机积分 可料阶梯过程的随机积分 等距性 被积函数为一般过程的随机积分 用可料简单过程逼近 伊藤随机积分定义 伊藤随机积分定义推广 伊藤Itô积分不是黎曼-斯蒂尔杰斯积分 Itô积分定义的鞅 非随机被积函数时的高斯过程 二次变差 伊藤Itô公式 伊藤积分与黎曼积分的对比 布朗运动微分的运算 Itô公式 Itô过程 多维Itô公式 补充：布朗运动连续变换的积分 布朗运动乘以连续函数作为被积函数 关于连续可微函数的随机积分 金融市场的术语与基本假定 Black－Scholes模型 期权定价问题的描述 Black-Scholes公式

黑体辐射实验及普朗克量子假说 光电效应实验及爱因斯坦光子假说 氢光谱及玻尔原子模型 索末菲理论与原子状态符号命名规则 碱金属原子光谱 射线的产生机制及物理本质 哥本哈根学派的形成及启示 微观粒子波粒二象性假说 波函数及其统计诠释 海森伯不确定性原理 量子态叠加原理 建立薛定谔方程 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 薛定谔方程应用-一维无限深方势阱 薛定谔方程应用-一维有限深对称方势阱 薛定谔方程应用-量子隧道效应 薛定谔方程应用- 势垒的反射与透射 薛定谔方程应用-扫描隧道显微镜简介 薛定谔方程应用-一维谐振子 薛定谔方程应用-一维周期势场 导体、绝缘体和半导体的能带结构 量子物理学中的算符-线性关系 对易和反对易关系 厄米算符 厄米算符的本征值与本征函数 厄米算符的平均值与本征方程 共同本征函数 力学量完全集 力学量的可能值和相应概率 不确定性关系的严格推导 物理学公式的矩阵表述 薛定谔方程的矩阵形式 狄拉克符号与态矢量 表象之间比较 占有数表象 表象变换 量子物理学中的守恒量 中心力场中的薛定谔方程 氢原子和类氢离子的薛定谔方程解 氢原子中的电流和磁矩 HF 定理和位力定理 三维各向同性谐振子 球方势阱 电子自旋假说及自旋算符 电子总角动量 电子状态和单电子原子状态 单电子原子磁矩 施特恩－格拉赫实验 原子光谱的精细结构 塞曼效应 氦原子的能级和光谱 两电子耦合——具有两个价电子形成的原子态 泡利不相容原理 L-S耦合法则 元素周期律 非简并态微扰论 非简并态微扰论2 简并态微扰论 简并态微扰论2 含时微扰理论 量子跃迁概率 光的辐射与吸收 选择定则 受激辐射系数 微波量子放大器和激光原理 全同粒子和全同性原理 全同粒子体系波函数的对称性质 全同粒子体系波函数的构成 自旋波函数的构成 用微扰法求解氦原子问题 纠缠态 贝尔基 粒子数表象 费米子的单体和二体算符表示式 坐标表象与二次量子化 化 学 键 固体磁性 铁磁性 金属电子论 自由电子气的热容量 量子信息与量子计算机 量子态不可克隆定理 量子隐形传态 量子纠缠 贝尔不等式 薛定谔猫态 量子论的完备性问题 量子论与相对论两种法则 科学探索与学术争鸣同行

第1节 常微分方程 第2节 复变函数 第1节 群 第2节 环 第3节 模 第4节 交 换 环 第5节 张 量 积 函 数 层 第2节 流 形 第3节 射 影 空 间 第4节 一般的层 第5节 解 析 空 间 第6节 纤 维 丛 第1节 切 空 间 第2节 微分层、切丛与向量场 第3节 光 滑 性 第4节 向量场的积分 第1节 导数的李积 第2节 李代数及其线性表示 第3节 切丛与李子丛 第4节 泛包络代数 第1节 李群的定义和例子 第2节 李群的一些基本性质 第3节 商与齐性空间 第1节 微分层与微分算子层 第2节 李群的李代数与不变微分算子 第3节 不变微分算子环的基本性质 第1节 指数映射（1） 第1节 指数映射（2） 第2节 Baker－Campbell－Hausdorff 公式 第3节 拓扑群与不变测度 第1节 线 性 李 群 第2节 可解与幂零李代数 第3节 嘉当子代数 第4节 几类典型复李代数 第1节 单李代数与半单李代数 第2节 复单李代数的根系 第3节 基础根系与邓肯图 第4节 复单李代数的分类 第1节 格与复环面 第2节 椭圆曲线 第3节 复环面的自同态环 第4节 复环面与向量场