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第四篇量子力学运算符

2）力学量的可能值和相应概率
根据上述基本假设 II，测力学量 $F$ 得到的可能值必是力学量算符 $\hat{F}$ 的本征值 $\left\{\lambda_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 之一，这些本征值由本征方程确定：

$$
\hat{F} \varphi_n(x)=\lambda_n \varphi_n(x), \quad n=1,2,3, \cdots
$$

每一本征值 $\lambda_n$ 以一定概率出现。由于 $\left\{\varphi_n(x)\right\}$ 组成完备系，所以体系任一状态 $\psi(x)$可按其展开

$$
\psi(x)=\sum_n c_n \varphi_n(x)
$$

其中的展开系数 $c_n$ 与 $x$ 无关。为求 $c_n$ ，将 $\varphi_m^*(x)$ 左乘式（4．34），并对 $x$ 积分得

$$
\begin{aligned}
& \int \varphi_m^*(x) \psi(x) \mathrm{d} x=\int \varphi_m^*(x) \sum_n c_n \varphi_n(x) \mathrm{d} x \\
& =\sum_n c_n \int \varphi_m^*(x) \varphi_n(x) \mathrm{d} x=\sum_n c_n \delta_{m n}=c_m
\end{aligned}
$$

即

$$
c_n=\int \varphi_n^*(x) \psi(x) \mathrm{d} x
$$

将上式与波函数 $\psi(x)$ 按动量本征函数展开的式（4．12）和式（4．13）比较，它们相似．因此，$\psi(x)$ 是坐标表象的波函数，$c(p)$ 是动量表象的波函数，$\left\{c_n\right\}$ 则是 $F$ 表象的波函数，三者完全相似。

当 $\psi(x)$ 已归一时，$c(p)$ 也是归一的，同样 $c_n$ 也是归一的．证明如下：
根据式（4．34），有

$$
\begin{aligned}
1 & =\int \psi^*(x) \psi(x) \mathrm{d} x=\int\left(\sum_n c_n \varphi_n\right)^*\left(\sum_m c_m \varphi_m\right) \mathrm{d} x \\
& =\sum_n \sum_m c_n^* c_m \int \varphi_n^* \varphi_m \mathrm{~d} x \\
& =\sum_n \sum_m c_n^* c_m \delta_{n m} \\
& =\sum_n c_n^* c_n=\sum_n\left|c_n\right|^2
\end{aligned}
$$

基本假设IV 任一力学量算符 $\hat{F}$ 的本征函数全体 $\left\{\varphi_n(x), 1,2,3, \cdots\right\}$ 组成正交归一完备系，在任意已归一态 $\psi(x)$ 中测量力学量得到本征值 $\lambda_n$ 的概率等于 $\psi(x)$ 按 $\varphi_n(x)$ 展开式 $\psi(x)=\sum_n c_n \varphi_n(x)$ 中对应本征函数 $\varphi_n(x)$ 前的系数 $c_n$ 的绝对值平方。

所以，利用式（4．34），力学量 $\hat{F}$ 平均值公式（4．14）和式（4．15）可化为

$$
\begin{aligned}
\bar{F} & =\int \psi^* \hat{F} \psi \mathrm{~d} \tau=\int \sum_n c_n^* \varphi_n^* \hat{F} \sum_m c_m \varphi_m \mathrm{~d} \tau \\
& =\sum_{n, m} c_n^* c_m \lambda_m \int \varphi_n^* \varphi_m \mathrm{~d} \tau \\
& =\sum_{n, m} c_n^* c_m \lambda_m \delta_{n m}=\sum_n\left|c_n\right|^2 \lambda_n
\end{aligned}
$$

3）力学量有确定值的条件
定理 4.7 体系处于 $

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