最后更新: 2025-11-11 15:45 查看: 46 次纠错评论(0) 课件开VIP

薛定谔方程的矩阵形式

例 4.12 求 $\hat{F}$ 的本征函数系 $\left\{\varphi_m\right\}$ 在自身表象中的矩阵表示．
解 将 $\varphi_m$ 按 $\hat{F}$ 的本征函数展开为

$$
\varphi_m=\sum_n a_n \varphi_n
$$

必有 $a_n=\left\{\begin{array}{l}1, n=m \\ 0, n \neq m\end{array}\right.$ ，因此，$\varphi_m$ 在自身表象中的矩阵可表示为

$$
\varphi_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \quad \varphi_2=\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \quad \varphi_m=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
a_m=1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots
$$

例如，$\hat{L}^2 、 \hat{L}_z$ 的共同本征函数为 $\mathrm{Y}_{11} 、 \mathrm{Y}_{10} 、 \mathrm{Y}_{1-1}$ ．在 $\hat{L}^2 、 \hat{L}_z$ 的共同表象中的矩阵形式就特别简单

$$
Y_{11}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad Y_{10}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad Y_{1-1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

例 4.13 求 $\hat{L}_x$ 本征态在 $\hat{L}_z$ 表象中的矩阵表示，只讨论 $l=1$ 的情况．
解 利用矩阵元公式（4．38），可求得 $\hat{L}_x$ 的矩阵表示，其本征方程式（4．40）为

$$
\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right)
$$

或改写成

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\lambda
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right)=0
$$

若 $a_1 、 a_2 、 a_3$ 不全为零的解，必有系数行列式（久期方程）等于零

$$
\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\lambda
\end{array}\right|=0
$$

于是得到方程 $\lambda\left(-\lambda^2+\hbar^2\right)=0$ ，解后得到在 $\hat{L}_z$ 表象中 $\hat{L}_x$ 的本征值 $\lambda=0, \pm \hbar$ ．
取 $\lambda=\hbar$ 代入本征方程得

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-\hbar & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\hbar & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{\hbar}{\sqrt{2}} & -\hbar
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right)=0
$$

解得 $a_1=(1 / 2)^{1 / 2} a_2, a_3=(1 / 2)^{1 / 2} a_2$ ．
则 $l=1, L_x=\hbar$ 的本征态为

$$
\xi_{11}=\left(\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) a_2
$$

常数 $a_2$ 可由归—化条件确定

$$
\xi_{11}^{+} \xi_{11}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} 1 \frac{1}{\sqrt{2}}\right) a_2^*\left(\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) a_2=2\left|a_2\right|^2=1
$$

所以，$a_2=1 / \sqrt{2}$ ．
同理，得其他两个本征值相应本征函数．合之为

$$
\xi_{11}=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{2}
\end{array}\right), \quad \xi_{10}=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right), \quad \xi_{1-1}=\left(\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \\
\frac{-1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$

3．薛定㗄方程的矩阵形式
在第2章中建立的薛定谔方程（2．21）为

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H} \psi
$$

在 $F$ 表象中，将波函数 $\psi$ 按力学量算符 $\hat{F}$ 的本征函数展开为

$$
\psi=\sum_n a_n \varphi_n
$$

于是薛定谔方程化为

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n^{\prime}} a_{n^{\prime}} \varphi_{n^{\prime}}=\hat{H} \sum_n a_n \varphi_n
$$

将上式左乘 $\varphi_m^*$ ，并对全空间积分得

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n^{\prime}} a_{n^{\prime}}\left(\varphi_m, \varphi_{n^{\prime}}\right)=\sum_n a_n\left(\varphi_m, \hat{H} \varphi_n\right) \\
& \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n^{\prime}} a_{n^{\prime}} \delta_{m n^{\prime}}=\sum_n a_n H_{m n} \\
& \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} a_m=\sum_n H_{m n} a_n, \quad m, n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

其中

$$
H_{m n}=\left(\varphi_m, \hat{H} \varphi_n\right)
$$

最后的薛定谔方程的矩阵表示式为

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
\vdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
H_{11} & H_{12} & \cdots & H_{1 n} & \cdots \\
H_{21} & H_{22} & \cdots & H_{2 n} & \cdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\
H_{n 1} & H_{n 2} & \cdots & H_{n n} & \cdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots &
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
\vdots
\end{array}\right)
$$

可简写为

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H} \psi
$$

其中，$\psi, \hat{H}$ 均为矩阵，它们一般是时间和空间的函数．
例4．14 求一维谐振子的坐标 $x$ 、动量 $\hat{p}_x$ 及哈密顿量 $\hat{H}$ 在能量表象中的矩阵表示。解 已知一维谐振子的哈密顿量本征函数 $\psi_n$ 满足递推关系［见第3章式（3．34）］

$$
x \psi_n=\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}+\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \psi_n=\alpha \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}-\alpha \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}
$$

利用上式可得

$$
x_{m n}=\left(\psi_m, x \psi_n\right)=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m, n+1}+\sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m, n-1}\right)
$$

故在能量表象中

$$
\begin{gathered}
\hat{x}=\frac{1}{\alpha}\left(\begin{array}{ccccc}
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \ldots \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{2}} & 0 & \ldots \\
0 & \sqrt{\frac{2}{2}} & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & \ldots \\
0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}\right) \\
\left(p_x\right)_{m n}=\left(\psi_m, \hat{p}_x \psi_n\right)=\mathrm{i} \hbar \alpha\left(\sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m, n+1}-\sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m, n-1}\right)
\end{gathered}
$$

所以在能量表象中

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \hat{p}_x=\mathrm{i} \hbar \alpha\left(\begin{array}{ccccc}
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \ldots \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\sqrt{\frac{2}{2}} & 0 & \ldots \\
0 & \sqrt{\frac{2}{2}} & 0 & -\sqrt{\frac{3}{2}} & \ldots \\
0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{array}\right) \\
& H_{m n}=\left(\psi_m, \hat{H} \psi_n\right)=E_n\left(\psi_m, \psi_n\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega \delta_{m n}
\end{aligned}\\
&\text { 所以得 }
\end{aligned}
$$

$$
\hat{H}=\hbar \omega\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & \frac{3}{2} & 0 & \cdots \\
0 & 0 & \frac{5}{2} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}\right)
$$

上述矩阵对角线上的值即为能量本征值，哈密顿量在自身表象中是对角化的，求解定态薛定谔方程即转化为将哈密顿量对角化的过程．

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