最后更新: 2025-11-11 15:50 查看: 78 次纠错评论(0) 课件开VIP

狄拉克符号与态矢量

4.5 狄拉克符号

量子物理学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律．该抽象描述方法由狄拉克（P．A．M．Dirac）首先引用，因此，该方法所使用的符号称为狄拉克符号。

1．态矢量
一个状态通过一组力学量完全集测量确定，通常用一组量子数确定．例如，一维线性谐振子的状态由量子数 $n$ 确定，记为 $\psi_n(x)$ ；氢原子的状态由量子数 $n$ 、 $l 、 m$ 确定，记为 $\psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)$ 等。

1）右矢空间
在该抽象表象中，狄拉克用右矢空间矢量 $\rangle$ 与量子状态相对应。

$$
|n\rangle \rightarrow \psi_n(x) ; \quad|n, l, m\rangle \quad \rightarrow \quad \psi_{n l m}
$$

状态 $|n\rangle$ 和 $|n, l, m\rangle$ 亦可分别记成 $\left|\psi_n\right\rangle$ 和 $\left|\psi_{n l m}\right\rangle$ ．对力学量的本征态，可表示为 $|x\rangle 、|p\rangle 、\left|Q_n\right\rangle$ 等．

力学量本征态构成完备系，故本征函数所对应的右矢空间中的右矢组成该空间的完备右矢（基组），即右矢空间中的完备基本矢量（简称基矢）。例如，

$$
|\psi\rangle=\sum_n a_n|n\rangle
$$

2) 左矢空间 
右矢空间中每一个右矢量在左矢空间均有一个相对应的左矢量，记为|，如
表4.2所示.

![图片](/uploads/2025-11/b26afa.jpg)
 
 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，$\langle\psi|$ 与 $|\psi\rangle$ 互称为伴矢量． $\left\langle p^{\prime}\right|,\left\langle x^{\prime}\right|,\left\langle Q_n\right|$ 等组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。

3）伴矢量 $|\psi\rangle$ 与 $\langle\psi|$ 的关系
将 $|\psi\rangle$ 按力学量 $Q$ 的右基矢 $\left|Q_n\right\rangle$ 展开，展开系数相当于 $Q$ 表象中的表示，即

$$
\begin{gathered}
|\psi\rangle=a_1\left|Q_1\right\rangle+a_2\left|Q_2\right\rangle+\cdots+a_n\left|Q_n\right\rangle+\cdots=\sum_n a_n\left|Q_n\right\rangle \\
\psi=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
\vdots
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

一般情况下，展开系数 $a_n$ 与时间有关。
另外，将 $\langle\psi|$ 按 $Q$ 的左基矢 $\left\langle Q_n\right|$ 展开，得

$$
\langle\psi|=a_1^*\left\langle Q_1\right|+a_2^*\left\langle Q_2\right|+\cdots+a_n^*\left\langle Q_n\right|+\cdots
$$

展开系数即相当于 $Q$ 表象中的表示

$$
\psi^{+}=\left(\begin{array}{llll}
a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^*
\end{array} \cdots\right)
$$

同理，某一左矢量 $\langle\varphi|$ 亦可按 $Q$ 的左基矢展开，得

$$
\langle\varphi|=b_1^*\left\langle Q_1\right|+b_2^*\left\langle Q_2\right|+\cdots+b_n^*\left\langle Q_n\right|+\cdots
$$

定义：$|\psi\rangle$ 和 $\langle\varphi|$ 的标积为

$$
\langle\varphi \mid \psi\rangle=\sum_n b_n^* a_n
$$

显然 $\langle\varphi \mid \psi\rangle^*=\langle\psi \mid \varphi\rangle$ ；用狄拉克符号表示的归一化条件为

$$
\langle\psi \mid \psi\rangle=\sum_n a_n^* a_n=1
$$

于是，本征态的正交归一化条件可写为

$$
\begin{aligned}
& \left\langle p^{\prime} \mid p^{\prime \prime}\right\rangle=\delta\left(p^{\prime}-p^{\prime \prime}\right), \text { 连续谱 } \\
& \left\langle x^{\prime} \mid x^{\prime \prime}\right\rangle=\delta\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right), \text { 连续谱 } \\
& \left\langle Q_n \mid Q_m\right\rangle=\delta_{n m}, \text { 分立谱 }
\end{aligned}
$$

由此可以看出 $|\psi\rangle$ 和 $\langle\psi|$ 的关系：（a）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；
（b）由于二者属于不同空间，所以它们不能相加，只有同一空间矢量才能相加；
（c）右矢空间中任一右矢可与左矢空间中任一左矢进行标积运算，一般为复数．
4）本征函数的封闭性
对于分立谱，利用式（4．46），将 $|\psi\rangle$ 两边左乘 $\left\langle Q_m\right|$ 得

$$
\begin{gathered}
|\psi\rangle=\sum_n a_n\left|Q_n\right\rangle \\
\left\langle Q_m \mid \psi\right\rangle=\sum_n a_n\left\langle Q_m \mid Q_n\right\rangle=\sum_n a_n \delta_{m n}=a_m
\end{gathered}
$$

将上述求得的 $a_m$ 代回原式得

$$
|\psi\rangle=\sum_n\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid \psi\right\rangle
$$

因为 $|\psi\rangle$ 是任意态矢量，故有

$$
\sum\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n\right|=1
$$

式（4．49）称为本征矢 $\left|Q_n\right\rangle$ 的封闭性．
类似地，对于连续谱 $|q\rangle, q$ 取连续值，任一状态 $|\psi\rangle$ 展开式为

$$
|\psi\rangle=\int a_q|q\rangle \mathrm{d} q
$$

将上式左乘 $\left\langle q^{\prime}\right|$ 得

$$
\begin{aligned}
\left\langle q^{\prime} \mid \psi\right\rangle & =\int a_q\left\langle q^{\prime} \mid q\right\rangle \mathrm{d} q \\
& =\int a_q \delta\left(q^{\prime}-q\right) \mathrm{d} q=a_{q^{\prime}}
\end{aligned}
$$

将上式代人原式得

$$
|\psi\rangle=\int|q\rangle \mathrm{d} q\langle q \mid \psi\rangle
$$

因为 $|\psi\rangle$ 是任意态矢，所以有

$$
\int|q\rangle \mathrm{d} q\langle q|=1
$$

式（4．50）就是连续谱本征矢的封闭性．同理，对于 $\left|x^{\prime}\right\rangle$ 和 $\left|p^{\prime}\right\rangle$ ，分别有

$$
\int\left|x^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}\left\langle x^{\prime}\right|=1, \quad \int\left|p^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} p^{\prime}\left\langle p^{\prime}\right|=1
$$
由于封闭性（4．49）、（4．50）和（4．51）均等同于单位算符，在运算中插人（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性．例如，在 $|\psi\rangle$ 左侧插人算符式（4．49），得

$$
|\psi\rangle=\sum_n\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid \psi\right\rangle=\sum_n a_n\left|Q_n\right\rangle
$$

同理有

$$
\begin{aligned}
& |\psi\rangle=\int\left|x^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}\left\langle x^{\prime} \mid \psi\right\rangle \\
& |\psi\rangle=\int\left|p^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} p^{\prime}\left\langle p^{\prime} \mid \psi\right\rangle
\end{aligned}
$$

即得态矢按各种力学量本征矢的展开式．
若对式（4．49）左乘 $\langle x|$ ，右乘 $\left|x^{\prime}\right\rangle$ ，得

$$
\sum_n\left\langle x \mid Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid x^{\prime}\right\rangle=\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle
$$

对比式（4．48），$\left\langle x \mid Q_n\right\rangle=\varphi_n(x)$ 为本征矢 $\left|Q_n\right\rangle$ 在 $x$ 表象中的表示，于是由上式得封闭性在 $x$ 表象中的表示

$$
\sum_n \varphi_n^*\left(x^{\prime}\right) \varphi_n(x)=\delta\left(x-x^{\prime}\right)
$$

若对式（4．50）左乘 $\langle x|$ ，右乘 $\left|x^{\prime}\right\rangle$ ，得

$$
\int\langle x \mid q\rangle \mathrm{d} q\left\langle q \mid x^{\prime}\right\rangle=\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle
$$

即

$$
\int \varphi_q^*\left(x^{\prime}\right) \varphi_q(x) \mathrm{d} q=\delta\left(x-x^{\prime}\right)
$$

应该说明，封闭性与正交归一性相比较，两者形式相似，但含义完全不同。由式（4．49）～式（4．53）所描述的封闭性，是对本征矢求和或积分，而正交归一性的表示式是对坐标的积分：

$$
\begin{aligned}
& \int \varphi_n^*(x) \varphi_m(x) \mathrm{d} x=\delta_{n m} \\
& \int \varphi_{q^{\prime}}^*(x) \varphi_q(x) \mathrm{d} x=\delta\left(q-q^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

封闭性可解释为本征函数对于本征矢求和或积分具有正交归一性。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。

2．算符
1）右矢空间
在 $x$ 表象，$\psi(x)=\hat{F}(x, \hat{p}) \varphi(x)$ 。在抽象的狄拉克表象，有

$$
|\psi\rangle=\hat{F}|\varphi\rangle
$$

为将公式变到 $Q$ 表象，将上式左乘 $\left\langle Q_m\right|$ ，得

$$
\begin{aligned}
\left\langle Q_m \mid \psi\right\rangle & =\left\langle Q_m\right| \hat{F}|\varphi\rangle \\
& =\sum_n\left\langle Q_m\right| \hat{F}\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid \varphi\right\rangle=\sum_n F_{m n}\left\langle Q_n \mid \varphi\right\rangle
\end{aligned}
$$

上式中利用了封闭性式（4．49），其中算符 $F$ 在 $Q$ 表象中的矩阵表示的矩阵元为 $F_{m n}=\left\langle Q_m\right| \hat{F}\left|Q_n\right\rangle$ ．将上式写成矩阵形式

![图片](/uploads/2025-11/401004.jpg)
 
 上式即为将 $|\psi\rangle=\hat{F}|\varphi\rangle$ 变到 $Q$ 表象中的表示式，简写为 $\psi=\hat{F} \varphi$ ．
根据平均值公式定义

$$
\bar{F}=\langle\psi| \hat{F}|\psi\rangle
$$

在其两处插人单位算符式（4．49），利用式（4．48）得

$$
\bar{F}=\sum_{m n}\left\langle\psi \mid Q_m\right\rangle\left\langle Q_m\right| \hat{F}\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid \psi\right\rangle=\sum_{m n} a_m^* F_{m n} a_n
$$

2）共轭式（左矢空间）

$$
\begin{aligned}
\left\langle\psi \mid Q_m\right\rangle & =\left\langle Q_m \mid \psi\right\rangle^*=\left(\sum_n\left\langle Q_m\right| \hat{F}\left|Q_n\right\rangle\left\langle Q_n \mid \varphi\right\rangle\right)^*=\left(\sum_n F_{m n}\left\langle Q_n \mid \varphi\right\rangle\right)^* \\
& =\sum_n F_{m n}^*\left\langle Q_n \mid \varphi\right\rangle^*=\sum_n \tilde{F}_{n m}^*\left\langle\varphi \mid Q_n\right\rangle=\sum_n\left(F^{+}\right)_{n m}\left\langle\varphi \mid Q_n\right\rangle \\
& =\sum_n\left\langle\varphi \mid Q_n\right\rangle\left\langle Q_n\right| \hat{F}^{+}\left|Q_m\right\rangle=\langle\varphi| \hat{F}^{+}\left|Q_m\right\rangle
\end{aligned}
$$

于是得

$$
\langle\psi|=\langle\varphi| \hat{F}^{+}=\langle\varphi| \hat{F}
$$

上式推导中已假设 $\hat{F}$ 为厄米算符．式（4．56）表明量子物理学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上．

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