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狄拉克符号与态矢量

4.5 狄拉克符号

量子物理学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律．该抽象描述方法由狄拉克（P．A．M．Dirac）首先引用，因此，该方法所使用的符号称为狄拉克符号。

1．态矢量
一个状态通过一组力学量完全集测量确定，通常用一组量子数确定．例如，一维线性谐振子的状态由量子数 $n$ 确定，记为 $\psi_n(x)$ ；氢原子的状态由量子数 $n$ 、 $l 、 m$ 确定，记为 $\psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)$ 等。

1）右矢空间
在该抽象表象中，狄拉克用右矢空间矢量 $\rangle$ 与量子状态相对应。

$$
|n\rangle \rightarrow \psi_n(x) ; \quad|n, l, m\rangle \quad \rightarrow \quad \psi_{n l m}
$$

状态 $|n\rangle$ 和 $|n, l, m\rangle$ 亦可分别记成 $\left|\psi_n\right\rangle$ 和 $\left|\psi_{n l m}\right\rangle$ ．对力学量的本征态，可表示为 $|x\rangle 、|p\rangle 、\left|Q_n\right\rangle$ 等．

力学量本征态构成完备系，故本征函数所对应的右矢空间中的右矢组成该空间的完备右矢（基组），即右矢空间中的完备基本矢量（简称基矢）。例如，

$$
|\psi\rangle=\sum_n a_n|n\rangle
$$

2) 左矢空间 
右矢空间中每一个右矢量在左矢空间均有一个相对应的左矢量，记为|，如
表4.2所示.

![图片](/uploads/2025-11/b26afa.jpg)
 
 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，$\langle\psi|$ 与 $|\psi\rangle$ 互称为伴矢量． $\left\langle p^{\prime}\right|,\left\langle x^{\prime}\right|,\left\langle Q_n\right|$ 等组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。

3）伴矢量 $|\psi\rangle$ 与 $\langle\psi|$ 的关系
将 $|\psi\rangle$ 按力学量 $Q$ 的右基矢 $\left|Q_n\right\rangle$ 展开，展开系数相当于 $Q$ 表象中的表示，即

$$
\begin{gathered}
|\psi\rangle=a_1\left|Q_1\right\rangle+a_2\left|Q_2\right\rangle+\cdots+a_n\left|Q_n\right\rangle+\cdots=\sum_n a_n\left|Q_n\right\rangle \\
\psi=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
\vdots
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

一般情况下，展开系数 $a_n$ 与时间有关。
另外，将 $\langle\psi|$ 按 $Q$ 的左基矢 $\left\langle Q_n\right|$ 展开，得

$$
\langle\psi|=a_1^*\left\langle Q_1\right|+a_2^*\left\langle Q_2\right|+\cdots+a_n^*\left\langle Q_n\right|+\cdots
$$

展开系数即相当于 $Q$ 表象中的表示

$$
\psi^{+}=\left(\begin{array}{llll}
a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^*
\end{array} \cdots\right)
$$

同理，某一左矢量 $\langle\varphi|$ 亦可按 $Q$ 的左基矢展开，得

$$
\langle\varphi|=b_1^*\left\langle Q_1\right|+b_2^*\left\langle Q_2\right|+\cdots+b_n^*\left\langle Q_n\right|+\cdots
$$

定义：$|\psi\rangle$ 和 $\langle\varphi|$ 的标积为

$$
\langle\varphi \mid \psi\rangle=\sum_n b_n^* a_n
$$

显然 $\langle\varphi \mid \psi\rangle^*=\langle\psi \mid \varphi\rangle$ ；用狄拉克符号表示的归一化条件为

$$
\langle\psi \mid \psi\rangle=\sum_n a_n^* a_n=1
$$

于是，本征态的正交归一化条件可写为

$$
\begin{aligned}
& \left\langle p^{\prime} \mid p^{\prime \prime}\right\rangle=\delta\left(p^{\prime}-p

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