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占有数表象

1．算符 $\hat{a}, \hat{a}^{+}, \hat{N}$
在第3章中，已求得坐标表象下的一维线性谐振子的哈密顿、波函数和能量：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+\frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2 \\
\psi_n(x)=N_n \mathrm{e}^{-\alpha^2 x^2 / 2} \mathrm{H}_n(\alpha x), \quad \alpha=\sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} \\
E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2, \cdots
\end{array}\right.
$$

且得到重要递推关系

$$
\begin{aligned}
x \psi_n & =\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}+\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1} \\
\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} \psi_n & =\alpha \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}-\alpha \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}
\end{aligned}
$$

上述公式详见第3章式（3．34）．
定义新算符

$$
\begin{aligned}
& \hat{a}=\sqrt{\frac{\mu \omega}{2 \hbar}}\left(\hat{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mu \omega} \hat{p}\right)=\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}-\frac{1}{\mathrm{i} \hbar \alpha^2} \hat{p}\right) \\
& \hat{a}^{+}=\sqrt{\frac{\mu \omega}{2 \hbar}}\left(\hat{x}-\frac{\mathrm{i}}{\mu \omega} \hat{p}\right)=\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}+\frac{1}{\mathrm{i} \hbar \alpha^2} \hat{p}\right)
\end{aligned}
$$

反之，将上述两式相加或相减，得

$$
\begin{aligned}
& \hat{x}=\frac{1}{\alpha \sqrt{2}}\left(\hat{a}^{+}+\hat{a}\right) \\
& \hat{p}=\mathrm{i} \hbar \frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^{+}-\hat{a}\right)
\end{aligned}
$$

可以证明算符 $\hat{a}, \hat{a}^{+}$之间满足如下对易关系：

$$
\left[\begin{array}{ll}
\hat{a}, & \hat{a}^{+}
\end{array}\right]=1
$$

![图片](/uploads/2025-11/d1feaa.jpg)
 
 上式最后一步利用了对易公式 将式(4.61)代入振子哈密顿量得
 
  ![图片](/uploads/2025-11/dc9b21.jpg)
  
$$
\begin{aligned}
& =-\frac{\hbar \omega}{4}\left(\hat{a}^{+} \hat{a}^{+}+\hat{a} \hat{a}-\hat{a}^{+} \hat{a}-\hat{a} \hat{a}^{+}\right)+\frac{1}{4} \hbar \omega\left(\hat{a}^{+} \hat{a}^{+}+\hat{a} \hat{a}+\hat{a}^{+} \hat{a}+\hat{a} \hat{a}^{+}\right) \\
& =\frac{1}{2} \hbar \omega\left(\hat{a}^{+} \hat{a}+\hat{a} \hat{a}^{+}\right)=\frac{1}{2} \hbar \omega\left(\hat{a}^{+} \hat{a}+\hat{a}^{+} \hat{a}+1\right)=\hbar \omega\left(\hat{a}^{+} \hat{a}+\frac{1}{2}\right)
\end{aligned}
$$

上式推导利用了式（4．62），于是得

$$
\hat{H}=\hbar \omega\left(\hat{N}+\frac{1}{2}\right)
$$

上式即为线性谐振子哈密顿量用 $\hat{a}^{+} 、 \hat{a}$ 的表示式，其中 $\hat{N}=\hat{a}^{+} \hat{a}$ 称为粒子数算符．
2．算符 $\hat{a}, \hat{a}^{+}, \hat{N}$ 的物理意义
将 $\hat{a}$ 作用在能量本征态 $\psi_n(x)$ 上，利用递推公式（4．59），得

$$
\begin{aligned}
\hat{a} \psi_n & =\left(\frac{\alpha}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\alpha \sqrt{2}} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\right) \psi_n=\frac{\alpha}{\sqrt{2}} x \psi_n+\frac{1}{\alpha \sqrt{2}} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} \psi_n \\
& =\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}+\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}\right)+\frac{1}{\alpha \sqrt{2}}\left(\alpha \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}-\alpha \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}\right) \\
& =\sqrt{n} \psi_{n-1}
\end{aligned}
$$

同理可得
$$
\hat{a}^{+} \psi_n=\sqrt{n+1} \psi_{n+1}
$$

采用狄拉克符号表示，上述两式为

$$
\begin{aligned}
\hat{a}|n\rangle & =\sqrt{n}|n-1\rangle \\
\hat{a}^{+}|n\rangle & =\sqrt{n+1}|n+1\rangle
\end{aligned}
$$

式中，$|n\rangle 、|n-1\rangle 、|n+1\rangle$ 等均为哈密顿量 $\hat{H}$ 的本征基矢，$E_n 、 E_{n-1} 、 E_{n+1}$ 等是相应的本征值．

式（4．64）表明，当 $\hat{a}$ 作用到本征矢 $|n\rangle$ 上时，本征矢变为 $|n-1\rangle$ ；当 $\hat{a}^{+}$作用到本征矢 $|n\rangle$ 上时，本征矢变为 $|n+1\rangle$ 。从式（4．63）看，因为振子能量只能以 $\hbar \omega$ 为单位变化，所以 $\hbar \omega$ 能量单位可以看成是一个粒子，称为＂声子＂（phonon）．状态 $|n\rangle$表示体系在此态中有 $n$ 个粒子（声子），称为 $n$ 个声子态．因此，$\hat{a}$ 称为湮灭算符， $\hat{a}^{+}$称为产生算符。

设振子基态的基矢为 $|0\rangle$ ，利用式（4．64），得

$$
\begin{gathered}
\hat{a}|0\rangle=0, \\
\hat{a}^{+}|0\rangle=\sqrt{0+1}|0+1\rangle
\end{gathered}
$$

得

$$
\begin{aligned}
|1\rangle & =\frac{1}{\sqrt{1}} \hat{a}^{+}|0\rangle \\
\hat{a}^{+}|1\rangle & =\sqrt{1+1}|1+1\rangle
\end{aligned}
$$

得

$$
|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{a}^{+}|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1}} \hat{a}^{+} \hat{a}^{+}|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\hat{a}^{+}\right)^2|0\rangle
$$

以此类推，最后得

$$
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat{a}^{+}\right)^n|0\rangle
$$

此外，用算符 $\hat{N}$ 作用本征矢 $|n\rangle$ ，得

$$
\begin{aligned}
\hat{N}|n\rangle & =\hat{a}^{+} \hat{a}|n\rangle \\
& =\hat{a}^{+} \sqrt{n}|n-1\rangle=\sqrt{n} \sqrt{(n-1)+1}|n\rangle=n|n\rangle
\end{aligned}
$$

上式表明，$n$ 是 $\hat{N}$ 算符的本征值，描写粒子数目，故 $\hat{N}$ 称为粒子数算符．
3．占有数表象

以线性谐振子哈密顿 $\hat{H}$ 的本征函数 $|n\rangle$ 为基矢的表象称为占有数表象，也称为粒子数表象。在这一表象中，基本算符是粒子产生算符和湮灭算符，体系的任何其他力学量均可由此表示出来。

利用式（4．64），得湮灭算符 $\hat{a}$ 矩阵元

$$
\left\langle n^{\prime}\right| \hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}\left\langle n^{\prime} \mid n-1\right\rangle=\sqrt{n} \delta_{n^{\prime} n-1}
$$

产生算符 $\hat{a}^{+}$矩阵元为

$$
\left\langle n^{\prime}\right| \hat{a}^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}\left\langle n^{\prime} \mid n+1\right\rangle=\sqrt{n+1} \delta_{n^{\prime} n+1}
$$

粒子数算符 $\hat{N}$ 矩阵元为

$$
\left\langle n^{\prime}\right| \hat{a}^{+} \hat{a}|n\rangle=\left\langle n^{\prime}\right| n|n\rangle=n \delta_{n^{\prime} n}
$$

将上述三式写成矩阵形式如下：

$$
\hat{a}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}\right)
$$

因为基矢|n即为哈密顿ˆH的本征函数，所以占有数表象是ˆH的自身表象，
它理应是对角矩阵.
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