最后更新: 2025-11-11 16:00 查看: 48 次纠错评论(0) 课件开VIP

表象变换

上面提到，若力学量 $\hat{F}$（如 $\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z$ 等）具有完备的本征函数系 $\left\{\varphi_n\right\}, n$ 代表一组完备量子数（假设分立谱），它们构成正交归一的基矢，以 $\left\{\varphi_n\right\}$ 为基矢的表象称为 $F$ 表象．一个量子态可以采用不同表象表示．在量子物理学中，为了求解方便，通常采用多种表象。因此，我们需要知道在不同表象之间变换矩阵的性质、波函数与算符的变换关系等。

1．不同表象之间的变换和幺正变换矩阵
1）么正变换矩阵
设力学量 $\hat{A} 、 \hat{B}$ 的本征方程以及本征基矢的封闭性表达式分别为

$$
\begin{aligned}
& \hat{A}\left|\psi_k\right\rangle=A_k\left|\psi_k\right\rangle ; \quad \sum_k\left|\psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k\right|=1 \\
& \hat{B}\left|\varphi_\beta\right\rangle=B_\beta\left|\varphi_\beta\right\rangle ; \quad \sum_\beta\left|\varphi_\beta\right\rangle\left\langle\varphi_\beta\right|=1
\end{aligned}
$$

由于本征基矢封闭性，力学量 $\hat{B}$ 的基矢可按 $\hat{A}$ 的基矢展开：

$$
\begin{aligned}
\left|\varphi_\beta\right\rangle & =\sum_k\left|\psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle=\sum_k\left|\psi_k\right\rangle S_{k \beta} \\
\left\langle\varphi_\alpha\right| & =\sum_j\left\langle\varphi_\alpha \mid \psi_j\right\rangle\left\langle\psi_j\right|=\sum_j\left\langle\psi_j \mid \varphi_\alpha\right\rangle^*\left\langle\psi_j\right| \\
& =\sum_j S_{j \alpha}^*\left\langle\psi_j\right|=\sum_j \tilde{S}_{a j}^*\left\langle\psi_j\right|=\sum_j S_{a j}^{+}\left\langle\psi_j\right|
\end{aligned}
$$

其中展开系数

$$
\begin{aligned}
S_{k \beta} & =\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle \\
& =\int\left\langle\psi_k \mid x\right\rangle \mathrm{d} x\left\langle x \mid \varphi_\beta\right\rangle=\int\left\langle x \mid \psi_k\right\rangle^* \mathrm{~d} x\left\langle x \mid \varphi_\beta\right\rangle=\int \psi_k^*(x) \varphi_\beta(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

将式（4．67）写成矩阵形式

$$
\left(\begin{array}{c}
\left|\varphi_1\right\rangle \\
\left|\varphi_2\right\rangle \\
\vdots \\
\left|\varphi_\beta\right\rangle \\
\vdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
S_{11} & S_{21} & \cdots & S_{k 1} & \cdots \\
S_{12} & S_{22} & \cdots & S_{k 2} & \cdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\
S_{1 \beta} & S_{2 \beta} & \cdots & S_{k \beta} & \cdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots &
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\left|\psi_1\right\rangle \\
\left|\psi_2\right\rangle \\
\vdots \\
\left|\psi_k\right\rangle \\
\vdots
\end{array}\right)
$$

或简写为 $\varphi=\tilde{S} \psi$ 。
2）$S$ 矩阵的幺正性

$$
\begin{aligned}
\left(S^{+} S\right)_{\alpha \beta} & =\sum_k\left(S^{+}\right)_{\alpha k} S_{k \beta}=\sum_k\left(\tilde{S}^*\right)_{\alpha k} S_{k \beta}=\sum_k S_{k \alpha}^* S_{k \beta} \\
& =\sum_k\left\langle\psi_k \mid \varphi_\alpha\right\rangle^*\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle=\sum_k\left\langle\varphi_\alpha \mid \psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle=\left\langle\varphi_\alpha \mid \varphi_\beta\right\rangle=\delta_{\alpha \beta}
\end{aligned}
$$

此外

$$
\begin{aligned}
\left(S S^{+}\right)_{j k} & =\sum_\alpha S_{j \alpha}\left(S^{+}\right)_{\alpha k}=\sum_\alpha S_{j \alpha}\left(\tilde{S}^*\right)_{\alpha k}=\sum_\alpha S_{j \alpha} S_{k \alpha}^* \\
& =\sum_\alpha\left\langle\psi_j \mid \varphi_\alpha\right\rangle\left\langle\psi_k \mid \varphi_\alpha\right\rangle^*=\sum_\alpha\left\langle\psi_j \mid \varphi_\alpha\right\rangle\left\langle\varphi_\alpha \mid \psi_k\right\rangle=\left\langle\psi_j \mid \psi_k\right\rangle=\delta_{j k}
\end{aligned}
$$

所以 $S$ 是么正矩阵，即

$$
I=S^{+} S=S S^{+}, \quad S^{+}=S^{-1}
$$

采用 $S$ 矩阵进行表象变换，称为么正变换．
3）么正变换矩阵求解
方法 I：由 $S$ 矩阵元的定义式（4．69），计算出全部矩阵元，即得 $S$ 矩阵。
方法 II：由式（4．67）可知，$S$ 矩阵元 $S_{k \beta}, k=1,2, \cdots$ ，即基矢 $\left|\varphi_\beta\right\rangle$ 在 $\hat{A}$ 表象中的表示，即
$$
\varphi_\beta=\left(\begin{array}{c}
S_{1 \beta} \\
S_{2 \beta} \\
\vdots \\
S_{k \beta} \\
\vdots
\end{array}\right)
$$

反之，若已知某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，就可直接把 $S$ 变换矩阵写出来．

例如，$\hat{A} 、 \hat{B}$ 的本征矢各只有 3 个，即 $\left|\psi_1\right\rangle,\left|\psi_2\right\rangle,\left|\psi_3\right\rangle$ 和 $\left|\varphi_1\right\rangle,\left|\varphi_2\right\rangle,\left|\varphi_3\right\rangle$ ．如果 $\left|\varphi_\beta\right\rangle(\beta=1,2,3)$ 在 $\hat{A}$ 表象中的表示已知，即

$$
\begin{aligned}
& \left|\varphi_1\right\rangle=S_{11}\left|\psi_1\right\rangle+S_{21}\left|\psi_2\right\rangle+S_{31}\left|\psi_3\right\rangle \\
& \left|\varphi_2\right\rangle=S_{12}\left|\psi_1\right\rangle+S_{22}\left|\psi_2\right\rangle+S_{32}\left|\psi_3\right\rangle \\
& \left|\varphi_3\right\rangle=S_{13}\left|\psi_1\right\rangle+S_{23}\left|\psi_2\right\rangle+S_{33}\left|\psi_3\right\rangle
\end{aligned}
$$

在 $\hat{A}$ 表象中，$\hat{B}$ 的本征基矢可表示为

$$
\varphi_1=\left(\begin{array}{l}
S_{11} \\
S_{21} \\
S_{31}
\end{array}\right), \quad \varphi_2=\left(\begin{array}{l}
S_{12} \\
S_{22} \\
S_{32}
\end{array}\right), \quad \varphi_3=\left(\begin{array}{l}
S_{13} \\
S_{23} \\
S_{33}
\end{array}\right)
$$

将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：

$$
S=\left(\begin{array}{lll}
S_{11} & S_{12} & S_{13} \\
S_{21} & S_{22} & S_{23} \\
S_{31} & S_{32} & S_{33}
\end{array}\right)
$$

式（4．72）即为由 $\hat{A}$ 表象到 $\hat{B}$ 表象的么正变换矩阵。
2．波函数和算符的变换关系
1）波函数变换关系
对任一态矢 $|u\rangle$ ，左乘 $\hat{A}$ 表象的单位算符

$$
|u\rangle=\sum_k\left|\psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k \mid u\right\rangle=\sum_k\left|\psi_k\right\rangle a_k
$$

其中，$a_k=\left\langle\psi_k \mid u\right\rangle$ ．于是 $|u\rangle$ 在 $\hat{A}$ 表象中的表示为

$$
u=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_k \\
\vdots
\end{array}\right) \equiv a
$$

同理，

$$
|u\rangle=\sum_\alpha\left|\varphi_\alpha\right\rangle\left\langle\varphi_\alpha \mid u\right\rangle=\sum_\alpha\left|\varphi_\alpha\right\rangle b_\alpha
$$

其中，$b_\alpha=\left\langle\varphi_\alpha \mid u\right\rangle$ ，则 $|u\rangle$ 在 $\hat{B}$ 表象中的表示为

$$
u=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_\alpha \\
\vdots
\end{array}\right) \equiv b
$$

为了找出 $b_\alpha$ 与 $a_k$ 之间的关系，对此式插入 $\hat{A}$ 表象的单位算符得

$$
\begin{aligned}
b_\alpha & =\left\langle\varphi_\alpha \mid u\right\rangle \\
& =\sum_k\left\langle\varphi_\alpha \mid \psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k \mid u\right\rangle=\sum_k\left\langle\psi_k \mid \varphi_\alpha\right\rangle^*\left\langle\psi_k \mid u\right\rangle \\
& =\sum_k S_{k a}^* a_k=\sum_k \tilde{S}_{a k}^* a_k=\sum_k S_{a k}^{+} a_k
\end{aligned}
$$

于是得到 $b$ 与 $a$ 之间的变换关系

$$
b=S^{+} a=S^{-1} a
$$

2）算符 $\hat{F}$ 的变换关系
已知在 $\hat{A}$ 表象中，$F_{j k}=\left\langle\psi_j\right| \hat{F}\left|\psi_k\right\rangle$ ．在 $\hat{B}$ 表象中，利用本征矢的封闭性，得

$$
\begin{aligned}
F_{a \beta}^{\prime} & =\left\langle\varphi_\alpha\right| \hat{F}\left|\varphi_\beta\right\rangle \\
& =\sum_{j k}\left\langle\varphi_\alpha \mid \psi_j\right\rangle\left\langle\psi_j\right| \hat{F}\left|\psi_k\right\rangle\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle \\
& =\sum_{j k}\left\langle\psi_j \mid \varphi_\alpha\right\rangle^* F_{j k}\left\langle\psi_k \mid \varphi_\beta\right\rangle \\
& =\sum_{j k} S_{j \alpha}^* F_{j k} S_{k \beta}=\sum_{j k} \tilde{S}_{a j}^* F_{j k} S_{k \beta}=\sum_{j k} S_{a j}^{+} F_{j k} S_{k \beta}
\end{aligned}
$$

所以，得到算符变换关系

$$
\hat{F}^{\prime}=S^{+} \hat{F} S=S^{-1} \hat{F} S
$$

3．么正变换的性质
1）么正变换不改变算符的本征值
设 $\hat{F}$ 在 $\hat{A}$ 表象中的本征方程为 $\hat{F}|a\rangle=\lambda|a\rangle$ ，则在 $\hat{B}$ 表象中，利用式（4．73）和式（4．74），得

$$
\hat{F}^{\prime}|b\rangle=S^{-1} \hat{F} S S^{-1}|a\rangle=S^{-1} \hat{F}|a\rangle=S^{-1} \lambda|a\rangle=\lambda S^{-1}|a\rangle=\lambda|b\rangle
$$

可见，在不同表象中，力学量算符 $\hat{F}$ 对应同一状态（ $|a\rangle$ 和 $|b\rangle$ 描写同一状态）的本征值不变．基于这一性质，解 $\hat{F}$ 的本征值问题就是把该力学量从某一表象么正变到自身表象，使 $\hat{F}$ 矩阵对角化。

2）么正变换不改变矩阵的迹
定义：矩阵的对角元素之和称为矩阵的迹，即 $\operatorname{Tr}(\hat{F}) \equiv \sum_k F_{k k}$ 。

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Tr}\left(\hat{F}^{\prime}\right) & =\sum_\alpha F_{\alpha \alpha}^{\prime}=\sum_\alpha\left(S^{-1} \hat{F} S\right)_{\alpha \alpha}=\sum_\alpha \sum_{j k} S_{\alpha j}^{-1} F_{j k} S_{k \alpha} \\
& =\sum_{j k} \sum_\alpha S_{\alpha j}^{-1} S_{k \alpha} F_{j k}=\sum_{j k} \delta_{j k} F_{j k}=\sum_k F_{k k}=\operatorname{Tr}(\hat{F})
\end{aligned}
$$

即 $\hat{F}^{\prime}$ 的迹等于 $\hat{F}$ 的迹，说明么正变换不改变矩阵的迹．
3）矩阵方程经么正变换保持不变
若在 $\hat{A}$ 表象中，矩阵方程为 $\hat{F} \psi=\varphi$ ，则在表象 $\hat{B}$ 中，方程形式一致，即 $\hat{F}^{\prime} \psi^{\prime}=\varphi^{\prime}$ 。

证 利用式（4．73）和式（4．74），得

$$
\hat{F}^{\prime} \psi^{\prime}=\left(S^{-1} \hat{F} S\right)\left(S^{-1} \psi\right)=S^{-1} \hat{F} \psi=S^{-1} \varphi=\varphi^{\prime}
$$

4）么正变换不改变厄米矩阵的厄米性
设在 $\hat{A}$ 表象中，$\hat{F}$ 为厄米算符，即 $\hat{F}^{+}=\hat{F}$ ；在 $\hat{B}$ 表象中，$\hat{F}^{\prime}=S^{-1} \hat{F} S$ ，则

$$
\hat{F}^{\prime+}=\left(S^{-1} \hat{F} S\right)^{+}=S^{+} \hat{F}^{+}\left(S^{-1}\right)^{+}=S^{-1} \hat{F} S=\hat{F}^{\prime}
$$

所以，经过么正变换后，$\hat{F}^{\prime}$ 仍然是厄米算符。
此外，设在 $\hat{A}$ 表象中有对易关系 $x \hat{p}_x-\hat{p}_x x=\mathrm{i} \hbar$ 。在 $\hat{B}$ 表象中，利用式（4．74），得

$$
\begin{aligned}
x^{\prime} \hat{p}_x^{\prime}-\hat{p}_x^{\prime} x^{\prime} & =S^{-1} x S S^{-1} \hat{p}_x S-S^{-1} \hat{p}_x S S^{-1} x S \\
& =S^{-1} x \hat{p}_x S-S^{-1} \hat{p}_x x S=S^{-1}\left(x \hat{p}_x-\hat{p}_x x\right) S=\mathrm{i} \hbar S^{-1} S=\mathrm{i} \hbar
\end{aligned}
$$

所以，对易关系在么正变换下保持不变。
例 4.16 已知系统哈密顿矩阵为

$$
\hat{H}=\left(\begin{array}{cc}
E_0 & -A \\
-A & E_0
\end{array}\right)
$$

其中 $E_0$ 和 $A$ 为常数．求其本征值和本征矢，以及使之对角化的么正变换．
解 哈密顿算符的本征方程为

$$
\left(\begin{array}{cc}
E_0 & -A \\
-A & E_0
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\lambda\binom{x_1}{x_2}
$$

或
$$
\left(\begin{array}{cc}
E_0-\lambda & -A \\
-A & E_0-\lambda
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=0
$$

上述齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即

$$
\left|\begin{array}{cc}
E_0-\lambda & -A \\
-A & E_0-\lambda
\end{array}\right|=0
$$

解得 $\left(E_0-\lambda\right)^2-A^2=0$ ，即 $\lambda=E_0 \mp A$ ．
（1）对于本征值 $\lambda=E_0-A$ ，有

$$
\left(\begin{array}{cc}
E_0-\left(E_0-A\right) & -A \\
-A & E_0-\left(E_0-A\right)
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{cc}
A & -A \\
-A & A
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=0
$$

求得 $x_1-x_2=0$ ．另根据归一化条件 $\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2=1$ ，可选 $x_1=x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ．于是得本征矢

$$
\varphi_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{1}
$$
（2）对于本征值 $\lambda=E_0+A$ ，有

$$
\left(\begin{array}{cc}
E_0-\left(E_0+A\right) & -A \\
-A & E_0-\left(E_0+A\right)
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{ll}
-A & -A \\
-A & -A
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=0
$$

求得 $x_1+x_2=0$ ．另根据归一化条件 $\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2=1$ ，可选 $x_1=-x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ．于是得本征矢

$$
\varphi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-1}
$$

所以，得么正矩阵

$$
S=S^{+}=S^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)
$$

于是，可将哈密顿矩阵对角化

$$
S^{+} \hat{H} S=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E_0 & -A \\
-A & E_0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
E_0-A & 0 \\
0 & E_0+A
\end{array}\right)
$$

说明哈密顿算符在自己表象中是对角矩阵。此外，么正变换不改变矩阵的迹

$$
\operatorname{Tr}(\hat{H})=\operatorname{Tr}\left(S^{+} \hat{H} S\right)=2 E_0
$$

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