最后更新: 2025-11-11 14:19 查看: 96 次纠错评论(0) 课件开VIP

厄米算符的平均值与本征方程

2．厄米算符的平均值
定理 4.1 任何状态 $\psi$ 下，厄米算符 $\hat{F}$ 的平均值必为实数．
证

$$
\begin{aligned}
\bar{F} & =\int \mathrm{d} \tau \psi^* \hat{F} \psi \\
& =\int \mathrm{d} \tau(\hat{F} \psi)^* \psi=\left(\int \mathrm{d} \tau \psi^* \hat{F} \psi\right)^*=\bar{F}^*
\end{aligned}
$$

上述定理的逆定理也成立：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符．
在物理实验中，可观测量必然要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符．因此有

基本假设 I 量子物理学中的力学量用线性厄米算符表示．

3．厄米算符的本征方程
1）力学量 $\hat{F}$ 涨落的定义为

$$
\begin{aligned}
\overline{(\Delta F)^2} & \equiv \overline{(\hat{F}-\bar{F})^2} \\
& =\overline{\left(\hat{F}^2-2 \hat{F} \bar{F}+\bar{F}^2\right)}=\overline{F^2}-2 \bar{F} \bar{F}+\bar{F}^2=\overline{F^2}-\bar{F}^2 \\
& =\int \psi^*(\hat{F}-\bar{F})^2 \psi \mathrm{~d} \tau
\end{aligned}
$$

因为 $\hat{F}$ 是厄米算符，其平均值 $\bar{F}$ 必为实数，由此 $\Delta F=\hat{F}-\bar{F}$ 也是厄米算符．厄米算符平方的平均值一定大于等于零，即

$$
\overline{F^2}=\int \mathrm{d} \tau \psi^* \hat{F}^2 \psi=\int \mathrm{d} \tau(\hat{F} \psi)^* \hat{F} \psi=\int \mathrm{d} \tau|\hat{F} \psi|^2 \geqslant 0
$$

于是有

$$
\overline{(\Delta F)^2}=\int|\Delta \hat{F} \psi|^2 \mathrm{~d} \tau=\int|(\hat{F}-\bar{F}) \psi|^2 \mathrm{~d} \tau \geqslant 0
$$

2）力学量的本征方程
若体系处于测量 $\hat{F}$ 所得结果是唯一确定的状态，即 $\overline{(\Delta F)^2}=0$ ，则称这种状态为力学量 $\hat{F}$ 的本征态．在本征态中，$(\hat{F}-\bar{F}) \psi=0$ 或 $\hat{F} \psi=$ 常数 $\psi$ ，即

$$
\hat{F} \psi_n=F_n \psi_n
$$

式（4．21）即为算符 $\hat{F}$ 的本征方程，其中常数 $F_n$ 和 $\psi_n$ 分别称为算符 $\hat{F}$ 的第 $n$ 个本征值和相应的本征态（或本征函数）。

求解式（4．21）时，$\psi_n$ 还要满足物理上对波函数的要求，即波函数的标准条件．
定理 4.2 厄米算符的本征值必为实数．
证 当体系处于 $\hat{F}$ 的本征态 $\psi_n$ 时，每次测量结果都是 $F_n$ 。由本征方程可以看出，在归一的本征态 $\psi_n$ 下

$$
\bar{F}=\int \mathrm{d} \tau \psi_n^* \hat{F}_{\psi_n}=F_n \int \mathrm{~d} \tau \psi_n^* \psi_n=F_n
$$

根据定理 4．1， $\bar{F}$ 必为实数，故本征值 $F_n$ 是实数．
基本假设 II 测量力学量 $\hat{F}$ 时，所有可能出现的值均对应线性厄米算符 $\hat{F}$ 的第 $n$ 个本征值 $F_n$ ，即测量值是本征值之一，且

$$
\hat{F} \psi_n=F_n \psi_n, \quad n=1,2,3, \cdots
$$

4．厄米算符的本征函数的正交性
1）正交性
定理 4.3 厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交．
证 设有 $\hat{F} \varphi_n=F_n \varphi_n, \hat{F} \varphi_m=F_m \varphi_m$ ，且积分 $\int \varphi_n^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau$ 存在．由于 $F_m$ 为实数，将 $\left(\hat{F} \varphi_m\right)^*=F_m \varphi_m^*$ 两边右乘 $\varphi_n$ 后积分，得

$$
\int\left(\hat{F} \varphi_m\right)^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau=F_m \int \varphi_m^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau
$$

又

$$
\int\left(\hat{F} \varphi_m\right)^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau=\int \varphi_m^* \hat{F} \varphi_n \mathrm{~d} \tau=F_n \int \varphi_m^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau
$$

将上面两式相减得

$$
\left(F_m-F_n\right) \int \varphi_m^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau=0
$$

若 $F_m \neq F_n$ ，必有

$$
\int \varphi_m^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau=0
$$

2）分立谱、连续谱正交归一表示式
分立谱、连续谱正交归一化条件分别为

$$
\begin{aligned}
& \int \varphi_m^* \varphi_n \mathrm{~d} \tau=\delta_{m n} \\
& \int \varphi_\lambda^* \varphi_{\lambda^{\prime}} \mathrm{d} \tau=\delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

满足上式的函数系 $\left\{\varphi_n\right\}$ 或 $\left\{\varphi_\lambda\right\}$ 称为正交归一（函数）系．

3）简并情况
如果 $\hat{F}$ 的本征值 $F_n$ 是 $f$ 度简并的，则对应 $F_n$ 有 $f$ 个本征函数

$$
\varphi_{n 1}, \varphi_{n 2}, \varphi_{n 3}, \cdots, \varphi_{n f}
$$

满足本征方程

$$
\hat{F} \varphi_{n i}=F_n \varphi_{n i}, \quad i=1,2, \cdots, f
$$

一般情况下，这些函数并不一定正交．但可以证明：这 $f$ 个函数可以线性组合成 $f$个独立新函数，它们仍属于本征值 $F_n$ ，且满足正交归一化条件．

由 $f$ 个 $\varphi_{n i}$ 线性组合成 $f$ 个新函数 $\psi_{n j}$ ，即

$$
\psi_{n j}=\sum_{i=1}^f A_{j i} \varphi_{n i}, \quad j=1,2, \cdots, f
$$

可以满足正交归一化条件

$$
\int \psi_{n j}^* \psi_{n j^{\prime}} \mathrm{d} \tau=\sum_{i=1}^f \sum_{i^{\prime}=1}^f A_{j i} A_{j^{\prime} i^{\prime}} \int \varphi_{n i}^* \varphi_{n i^{\prime}} \mathrm{d} \tau=\delta_{j j^{\prime}}
$$

其中，$j, j^{\prime}=1,2, \cdots, f$ 。
（a）可以证明：满足正交归一化条件的 $f$ 个新函数 $\psi_{n j}$ 是可以组成的．为此只需证明线性叠加系数 $\left\{A_{j i}\right\}$ 的个数 $f^2$ 大于或等于正交归一化条件方程的个数即可。因为方程（4．25）的归一化条件有 $f$ 个，正交条件有 $f(f-1) / 2$ 个，所以共有独立方程数为二者之和，等于 $f(f+1) / 2$ ．显然，$f^2-f(f+1) / 2=f(f-1) / 2 \geqslant 0$ ，所以独立方程个数少于待定系数 $\left\{A_{j i}\right\}$ 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 $f^2$ 个系数使式（4．25）成立。
（b）$\psi_{n j}$ 是本征值 $F_n$ 的本征函数．

$$
\hat{F} \psi_{n j}=\hat{F} \sum_{i=1}^f A_{j i} \varphi_{n i}=\sum_{i=1}^f A_{i j} \hat{F} \varphi_{n i}=F_n \sum_{i=1}^f A_{j i} \varphi_{n i}=F_n \psi_{n j}
$$

所以，$f$ 个新函数 $\psi_{n j}$ ，即式（4．24），是算符 $\hat{F}$ 对应于本征值 $F_n$ 的正交归一化的本征函数．

既然厄米算符的本征函数总可以正交归一化，那么，今后凡是厄米算符的本征函数都认为是正交归一化的，即组成正交归一系．

在量子物理学中，具有正交归一函数系的例子很多，如动量本征函数组成正交归一系；线性谐振子能量本征函数组成正交归一系；角动量平方和角动量 $z$ 分量 $\left(L^2, L_z\right)$ 具有一组共同本征函数，组成正交归一系；氢原子波函数组成正交归一系；等等．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：厄米算符的本征值与本征函数

下一篇：共同本征函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)