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厄米算符的本征值与本征函数

4.2 厄米算符的本征值与本征函数

1．力学量平均值
1）坐标平均值
考虑定态问题，设 $\psi(x)$ 是归一化波函数，$|\psi(x)|^2$ 是粒子出现在 $x$ 点的概率密度，则 $x$ 的平均值为

$$
\bar{x} \equiv\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x)|^2 \mathrm{~d} x
$$

对三维情况

$$
\bar{x} \equiv\langle x\rangle=\iiint x|\psi(\boldsymbol{r})|^2 \mathrm{~d} \tau
$$

上式三重积分的积分限是全空间．$\psi(x)$ 称为在坐标表象中的波函数．
2）动量平均值
从数学分析角度，根据傅里叶变换，波函数 $\psi(x)$ 可展开为

$$
\psi(x)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{1 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} c\left(p_x\right) \exp \left(\mathrm{i} p_x x / \hbar\right) \mathrm{d} p_x
$$

但从物理角度， $\exp \left(\mathrm{i} p_x x / \hbar\right)$ 正比于动量为 $p_x$ 的平面波波函数，上式即是将坐标表象中的波函数 $\psi(x)$ 用动量为 $p_x$ 的平面波波函数展开，其逆变换为

$$
c\left(p_x\right)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{1 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \exp \left(-\mathrm{i} p_x x / \hbar\right) \mathrm{d} x
$$

上述（4．12）和（4．13）两式具有完全相同的形式。因此，在一维情况下，若令 $\psi(x)$是坐标表象中的波函数，式（4．13）即为相应的动量表象中的波函数，其中 $\left|c\left(p_x\right)\right|^2$ 是粒子动量为 $p_x$ 的概率密度。于是 $x$ 方向动量平均值为

$$
\bar{p}_x=\left\langle p_x\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} p_x\left|c\left(p_x\right)\right|^2 \mathrm{~d} p_x
$$
另一方面

$$
\begin{aligned}
\bar{p}_x & =\left\langle p_x\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} p_x\left|c\left(p_x\right)\right|^2 \mathrm{~d} p_x=\int c^*\left(p_x\right) p_x c\left(p_x\right) \mathrm{d} p_x \\
& =\int\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int \psi^*(x) \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar} p_x x} \mathrm{~d} x\right] p_x c\left(p_x\right) \mathrm{d} p_x \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \iint \mathrm{~d} x \psi^*(x)\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar} p_x x} c\left(p_x\right) \mathrm{d} p_x \\
& =\int \mathrm{d} x \psi^*(x)\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\right)\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar} p_x x} c\left(p_x\right) \mathrm{d} p_x\right] \\
& =\int \psi^*(x)\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\right) \psi(x) \mathrm{d} x=\int \psi^*(x) \hat{p}_x \psi(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

上式推导得到重要结论：体系状态用坐标表象中的波函数 $\psi(x)$ 描写时，坐标 $x$ 的算符就是其自身，即 $\hat{x}=x$ ，说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。

而动量 $p_x$ 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：

$$
\hat{p}_x=-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}
$$

在三维情况下，$\hat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}$ ，动量算符为

$$
\hat{\boldsymbol{p}}=-\mathrm{i} \hbar\left(\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z}\right)=-\mathrm{i} \hbar \nabla
$$

所以，采用归一化波函数 $\psi(r)$ 求力学量平均值时，只需要把该力学量所对应的算符夹在 $\psi^*(r)$ 和 $\psi(r)$ 之间，然后对全空间积分．于是，对一维情况

$$
\begin{aligned}
& \bar{x}=\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) x \psi(x) \mathrm{d} x \\
& \bar{p}_x=\left\langle p_x\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \hat{p}_x \psi(x) \mathrm{d} x \\
& \bar{F}=\langle F\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \hat{F} \psi(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

在三维情况下

$$
\left\{\begin{array}{l}
\bar{x}=\langle x\rangle=\iiint \psi^*(\boldsymbol{r}) x \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau \\
\bar{p}_x=\left\langle p_x\right\rangle=\iiint \psi^*(\boldsymbol{r}) \hat{p}_x \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau \\
\bar{F}=\langle F\rangle=\iiint \psi^*(\boldsymbol{r}) \hat{F}_\psi \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau
\end{array}\right.
$$

上式中，$\hat{F}$ 是任一力学量算符．
3）力学量算符组成
由上述讨论可知，若将力学量用相应的算符表达，则求解力学量平均值将大为简化．事实上，算符表达的意义远不止此，在量子物理学中，一般的力学量均由相应的算符表达，其深刻内涵及微妙关联将在下面逐一给出。

对于有经典对应的力学量，相应的算符只要将其中的坐标和动量改用相应的坐标算符 $\boldsymbol{r}$ 和动量算符 $\hat{\boldsymbol{p}}$ 即可．

例如在经典力学中，动能 $T=\frac{p^2}{2 m}$ ，故动能算符为 $\hat{T}=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2 m}$ ，于是动能平均值为

$$
\bar{T}=\langle T\rangle=\iiint \psi^*(\boldsymbol{r}) \hat{T} \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau
$$

根据经典力学定义，角动量 $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$ ，故角动量算符为 $\hat{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{p}}$ ，即

$$
\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{L}} & =\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{p}}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
x & y & z \\
\hat{p}_x & \hat{p}_y & \hat{p}_z
\end{array}\right|=\boldsymbol{i}\left(y \hat{p}_z-z \hat{p}_y\right)+\boldsymbol{j}\left(z \hat{p}_x-x \hat{p}_z\right)+\boldsymbol{k}\left(x \hat{p}_y-y \hat{p}_x\right) \\
& =\boldsymbol{i} \hat{L}_x+\boldsymbol{j} \hat{L}_y+\boldsymbol{k} \hat{L}_z=\hat{\boldsymbol{L}}^{+}
\end{aligned}
$$

其三个分量分别为

$$
\begin{aligned}
& \hat{L}_x=y \hat{p}_z-z \hat{p}_y=-\mathrm{i} \hbar\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right) \\
& \hat{L}_y=z \hat{p}_x-x \hat{p}_z=-\mathrm{i} \hbar\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right) \\
& \hat{L}_z=x \hat{p}_y-y \hat{p}_x=-\mathrm{i} \hbar\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)
\end{aligned}
$$

在经典力学中，总能量 $H$ 等于动能加势能，即 $H=T+V$ ，在中心力场 $V(r)$ 中运动的粒子，哈密顿算符（即总能量算符）为

$$
\hat{H}=\hat{T}+V(r)=-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2+V(r)
$$

能量平均值为

$$
\bar{H}=\langle H\rangle=\iiint \psi^*(\boldsymbol{r}) \hat{H} \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau
$$

总之，若力学量在经典力学中有对应的量，通过如下对应方式改造为量子物理学中的力学量算符：

$$
\begin{gathered}
r \rightarrow r=r ; p \rightarrow \hat{p}=-\mathrm{i} \hbar \nabla \\
F=F(r, p) \rightarrow \hat{F}=F(r, \hat{p})
\end{gathered}
$$

若力学量是量子物理学中特有的（如宇称、自旋等），将由量子物理学本身定义给出．

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