最后更新: 2025-11-11 14:21 查看: 33 次纠错评论(0) 课件开VIP

共同本征函数

4.3 共同本征函数

体系处于任意状态 $\psi$ 时，力学量 $\hat{F}$ 一般没有确定值．如果力学量 $\hat{F}$ 有确定值， $\psi$ 必为 $\hat{F}$ 的本征态，设本征值为 $\lambda$ ，即

$$
\hat{F} \psi=\lambda \psi
$$

如果有另一力学量 $\hat{G}$ 在 $\psi$ 态中也有确定值，则 $\psi$ 必定也是 $\hat{G}$ 的一个本征态，设本征值为 $\mu$ ，即

$$
\hat{G} \psi=\mu \psi
$$

换言之，在 $\psi$ 态中测量力学量 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 时，如果它们同时具有确定值，那么 $\psi$必是此两力学量的共同本征函数．

1．两算符对易的物理含义
考察上述算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ ，它们有共同本征函数 $\psi$ ，则

$$
\left\{\begin{array}{l}
\hat{F} \psi=\lambda \psi \\
\hat{G} \psi=\mu \psi
\end{array}\right.
$$

在式（4．26）中，分别将上式两边左乘 $\hat{G}$ ，下式两边左乘 $\hat{F}$ ，得

$$
\begin{aligned}
& \hat{G} \hat{F} \psi=\hat{G} \lambda \psi=\lambda \hat{G} \psi=\lambda \mu \psi \\
& \hat{F} \hat{G} \psi=\hat{F} \mu \psi=\mu \hat{F} \psi=\mu \lambda \psi
\end{aligned}
$$

将上述两式相减得

$$
(\hat{G} \hat{F}-\hat{F} \hat{G}) \psi=0
$$

不过，由于 $\psi$ 是特定的本征函数，而非任意函数，故由上式仍推不出算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$是否相互对易。例如，对应于特殊情况 $l=0$ ，球谐函数 $\mathrm{Y}_{l m}=\mathrm{Y}_{00}=\frac{1}{\sqrt{4 \pi}}$ ，是一常数，所以根据式（4．16），$\left(\hat{L}_x \hat{L}_z-\hat{L}_z \hat{L}_x\right) \mathrm{Y}_{00}=0$ 。但对于一般的球谐函数 $\mathrm{Y}_{l m}$ ， $\left(\hat{L}_x \hat{L}_z-\hat{L}_z \hat{L}_x\right) \mathrm{Y}_{l m} \neq 0$ ，所以 $\left[\hat{L}_x, \hat{L}_z\right] \neq 0$（详见第 5 章）．

但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时两力学量算符必可对易：

定理 4.4 若两力学量算符有一组共同完备本征函数系，则此两算符对易．
证 若已知

$$
\hat{F} \varphi_n=F_n \varphi_n, \quad \hat{G} \varphi_n=G_n \varphi_n, \quad n=1,2,3, \cdots
$$

且由于 $\left\{\varphi_n\right\}$ 组成完备系，所以任意态函数 $\psi(x)$ 可以按其展开

$$
\psi(x)=\sum_n c_n \varphi_n(x)
$$

则有

$$
\begin{aligned}
(\hat{F} \hat{G}-\hat{G} \hat{F}) \psi(x) & =(\hat{F} \hat{G}-\hat{G} \hat{F}) \sum_n c_n \varphi_n=\sum_n c_n(\hat{F} \hat{G}-\hat{G} \hat{F}) \varphi_n \\
& =\sum_n c_n\left(\hat{F} G_n-\hat{G} F_n\right) \varphi_n=\sum_n c_n\left(G_n F_n-F_n G_n\right) \varphi_n=0
\end{aligned}
$$

因为 $\psi(x)$ 是任意函数，所以算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 相互对易，即

$$
[\hat{F}, \hat{G}]=\hat{F} \hat{G}-\hat{G} \hat{F}=0
$$

定理 4.5 （定理 4.4 的逆定理）如果两力学量算符对易，则此两算符具有组成完备系的共同本征函数．
证（非简并情况）设 $\hat{F} \hat{G}-\hat{G} \hat{F}=0, \varphi_n$ 为 $\hat{F}$ 的任一本征函数，本征值为 $F_n$ ， $\hat{F} \varphi_n=F_n \varphi_n$ ，则

$$
\hat{F} \hat{G} \varphi_n=\hat{G} \hat{F} \varphi_n=F_n \hat{G} \varphi_n
$$

上式可理解为

$$
\hat{F}\left(\hat{G} \varphi_n\right)=F_n\left(\hat{G} \varphi_n\right)
$$

上式说明 $\hat{G} \varphi_n$ 也是算符 $\hat{F}$ 的一个本征函数，且与 $\varphi_n$ 一样，本征值也为 $F_n$ ．因此， $\hat{G} \varphi_n$ 与 $\varphi_n$ 最多只差一常数 $G_n$ ，即

$$
\hat{G} \varphi_n=G_n \varphi_n
$$

所以，$\varphi_n$ 也是算符 $\hat{G}$ 的本征函数，同理，$\hat{F}$ 的所有本征函数 $\varphi_n(n=1,2, \cdots)$ 也都是 $\hat{G}$ 的本征函数，因此两算符具有共同完备的本征函数系．

定理 4.4 和定理 4.5 是针对两个力学量算符，若有多于两个的一组力学量算符，证明也类似，所以可推广如下：

定理 4.6 一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易．

证 例如动量算符 $\hat{p}_x 、 \hat{p}_y$ 和 $\hat{p}_z$ 两两对易，它们具有共同的本征函数系

$$
\psi_p(\boldsymbol{r})=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}
$$

同时具有确定本征值 $p_x 、 p_y$ 和 $p_z$ ．
在氢原子中，算符 $\hat{H} 、 \hat{L}^2 、 \hat{L}_z$ 两两对易，它们具有共同的本征函数系

$$
\psi_{n l m}(\boldsymbol{r})=R_{n l}(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)
$$

其中，$R_{n l}(r)$ 为径向波函数； $\mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ 为角向波函数，即球谐函数．三个算符同时有确定值，它们分别为 $E_n 、 l(l+1) \hbar^2 、 m \hbar$（详见第5章）．

定轴转子的转动惯量为 $I$ ，算符 $\hat{H}=\frac{\hat{L}_z^2}{2 I}, \hat{L}_z=-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \varphi}$ 相互对易，它们具有共同本征函数

$$
\Phi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \varphi}
$$

同时具有确定值，分别为 $E_m=\frac{m^2 \hbar^2}{2 I}, L_z=m \hbar, m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ ．
空间转子的转动惯量为 $I$ ，算符 $\hat{H}=\frac{\hat{L}^2}{2 I} 、 \hat{L}^2 、 \hat{L}_z$ 两两对易，它们具有共同本 征函数

$$
\mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi), \quad l=0,1,2, \cdots, m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots
$$

同时具有确定值，分别为 $E_l=\frac{l(l+1) \hbar^2}{2 I}, L^2=l(l+1) \hbar^2, L_z=m \hbar$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：厄米算符的平均值与本征方程

下一篇：力学量完全集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)