最后更新: 2025-11-11 14:13 查看: 26 次纠错评论(0) 课件开VIP

量子物理学中的算符-线性关系

在第 2 章提到，能量 $E$ 和动量 $\boldsymbol{p}$ 分别对应对时间和空间的导数算符，即 $E \rightarrow \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} ; \quad \boldsymbol{p} \rightarrow-\mathrm{i} \hbar \nabla$ ．在量子物理学中，一般物理量均用相应的算符表示，算符代表对波函数的一种运算或变换操作．算符单独存在没有意义，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应运算才有意义．虽然从数学角度讲算符的种类很多，如 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \psi 、 \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi 、 \frac{\partial}{\partial \varphi} \psi 、 \psi^* 、 \sqrt{\psi}$ 等，但量子物理学所采用的算符有物理学方面的限制．关于算符的一般运算规则，参见数学附录一．本章将结合量子物理学中的常见算符，如位置、动量、角动量、动能、势能、哈密顿量等，介绍它们的独特性质以及与相应物理量之间深刻而微妙的关联。
4.1 量子物理学中的算符

算符是运算符号，代表对波函数进行某种运算或变换。例如，$\hat{O} \psi=\varphi$ ，表示 $\hat{O}$ 把波函数 $\psi$ 变成 $\varphi, \hat{O}$ 就是这种变换的算符．习惯上，若力学量为 $O 、 F$ 等，则它们的算符分别表示为 $\hat{O} 、 \hat{F}$ 等，有时也将字母上方的小箭头省去．

1．线性算符
根据态叠加原理的要求，在量子物理学中，描写可观测量相应的力学量算符均为线性算符，即对于任意两个波函数 $\psi_1 、 \psi_2$ ，算符 $\hat{O}$ 满足下述运算规则：
$$
\hat{O}\left(c_1 \psi_1+c_2 \psi_2\right)=c_1 \hat{O} \psi_1+c_2 \hat{O} \psi_2
$$

其中 $c_1 、 c_2$ 是任意复常数。例如动量算符 $\hat{\boldsymbol{p}}=-\mathrm{i} \hbar \nabla, \hat{p}_x=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ ，能量算符 $\hat{E}=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t}$ ，单位算符 $\hat{I}$ 等均为线性算符；开方、取复共轭算符等不是线性算符。

例如，设波函数 $\psi_1 、 \psi_2$ 分别代表粒子的两种可能运动状态，是薛定谔方程（2．21）的解．而态叠加原理要求 $\psi=c_1 \psi_1+c_2 \psi_2$ 也是粒子的一种可能运动状态，满足薛定谔方程（2．21）
$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(c_1 \psi_1+c_2 \psi_2\right)=\hat{H}\left(c_1 \psi_1+c_2 \psi_2\right)
$$

若要上式成立，则要求薛定谔方程为线性方程，即哈密顿量算符 $\hat{H}$ 为线性算符．

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