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前言

解方程一直是初等数学中非常吸引人的部分，其中优美的 2 次方程求根公式更是被人们经常用于解决各种各样的问题． 3 次、 4 次方程的求根公式及其历史趣闻，则时常成为人们茶余饭后的谈资。对于 5 次及 5 次以上方程的求解问题，人们则知之甚少。即使了解了这方面的知识，很多人也不清楚其中的缘由．当然，与此关联的尺规作图问题就更使无数的数学爱好者置身其中，不能自拔。

域和 Galois 理论的产生确是为了应用于解决用根式解方程问题，但它并不局限于此．它不仅对方程的可解性问题提供了全面、透彻的解答，还解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题，给出了能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角、倍立方等问题．Galois 理论的创立，对现代数学的形成和发展起了巨大的推动作用，它使抽象代数学迅速发展成一门崭新的数学分支，并对近现代数学的形成和发展产生了举足轻重的影响．同时，这种理论对物理学、化学等自然科学，甚至对于 20 世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了影响。

近年来，随着计算机数字技术的快速发展，提出了一系列需要解决的，与信息安全息息相关的编、译码等问题，其中的许多问题都涉及域和 Galois 理论。目前，域和 Galois 理论已经成为数字信息技术研究、发展中不可或缺的工具．

本书是近几年作者在讲授域和 Galois 理论讲稿的基础上形成的。作者在东北师范大学、大连理工大学为本科高年级学生、教师进修班和硕士研究生多次讲授这门课程．在讲授过程中，我们想尽可能以初等的方式阐述域和 Galois 理论，使学生尽快了解和掌握域和Galois 理论的基本思想、方法和技巧。同时，为激发学生的学习兴趣，本书也列举了一些数学难题的解决过程，并进行了简单的说明．
本书包含了学习域和 Galois 理论的基本内容．全书共 3 章．在引言中介绍了域和 Galois 理论的来源及多项式和有限可解群的基本理论；在域的扩张中详细讨论了单纯扩张、有限扩张和代数扩张、分裂域和正规扩张、可离扩张与单纯性（包括迹与范数）、有限域、超越扩张等；在 Galois 理论部分，首先证明了 Galois 基本定理，然后进一步介绍了根式扩张与解方程、尺规作图问题等．书中提供了适量的习题和例题，以帮助学生熟悉和掌握基本知识、方法和技巧。

本书取材遵循少而精的原则，叙述简明扼要、说理详尽，约需 35 学时即可完成教学任务．

在此，作者对在编写本书的过程中提出宝贵意见和建议的专家表示衷心感谢。由于作者水平有限，书中难免存在不少缺点和错误，希望读者斧正。

南基洙
大连理工大学创新园
2008年8月

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