最后更新: 2025-04-27 21:01 查看: 73 次纠错评论(0) 课件开VIP

第一章距离空间

三．紧
定义 1．5．4．设 $A$ 为非空集，$\left\{G_\alpha\right\}_{\alpha \in \Gamma}$ 为开集族，若 $A \subset \bigcup_{\alpha \in \Gamma} G_\alpha$ ，则称 $\left\{G_\alpha\right\}_{\alpha \in \Gamma}$ 为 $A$ 的开覆盖，若 $\Gamma$ 为有限集，则称为有限开覆盖。

定义 1．5．5．设 $A$ 为非空集，$A$ 的任一开覆盖都存在有限的子覆盖，则称为 $A$ 为紧集。若 $\bar{A}$ 是紧集，也称 $A$ 为相对紧集。

定理 1．5．2．在距离空间，紧 $\Leftrightarrow$ 自列紧。
证明＂$\Rightarrow$＂．设 $A \subset(X, d)$ 为紧集。
（1）先证 $A$ 列紧。假设存在 $\left\{x_n\right\} \subset A$ 不含收敛子列，不妨设 $x_n$ 互异。对每个 $n \in N$ ，令

$$
S_n=\left\{x_1, \cdots, x_{n-1}, x_{n+1}, \cdots\right\}
$$

则由于 $S_n$ 无聚点，故 $\overline{S_n}=S_n$ ，从而 $S_n$ 是闭集。于是，$X-S_n$ 是开集，又

$$
\begin{aligned}
A \subset X=X-\varnothing & =X-\bigcap_{n=1}^{\infty} S_n=X \bigcap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n^c\right) \\
& =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X \cap S_n^c\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X-S_n\right)
\end{aligned}
$$

即 $\left\{X-S_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $A$ 的开覆盖，由 $A$ 是紧集知存在有限子覆盖，故存在 $N \in N$ 使得

$$
A \subset \bigcup_{n=1}^N\left(X-S_n\right)=X-\bigcap_{n=1}^N S_n=X-\left\{x_n\right\}_{n=N+1}^{\infty}
$$

考察 $x_{N+1} \in A$ ，但 $x_{N+1} \notin X-\left\{x_n\right\}_{n=N+1}^{\infty}$ ．这与上式矛盾。
（2）再证 $A$ 闭，即 $A^c$ 开。任取 $x_0 \in A^c$ ，则 $d\left(x_0, x\right)>0, \forall x \in A$ ．显然 $A$ 有如下的开覆盖

$$
A \subset \bigcup_{x \in A} U\left(x, \frac{d\left(x_0, x\right)}{2}\right)
$$

又 $A$ 紧，故存在有限子覆盖，即存在 $\left\{x_1, \cdots, x_n\right\} \subset A$ ，使得
$$
A \subset \bigcup_{k=1}^n U\left(x_k, \frac{d\left(x_0, x_k\right)}{2}\right)
$$

令 $\delta=\min _{1 \leq k \leq n} \frac{1}{2} d\left(x_0, x_k\right)>0$ ，则 $U\left(x_0, \delta\right) \subset A^c$ ，从而 $A^c$ 是开集。事实上，只需验证 $U\left(x_0, \delta\right) \cap A=\varnothing$ ．假设存在 $x \in U\left(x_0, \delta\right) \cap A$ ，由式（1．4）知，存在 $k_0$ 使得

$$
x \in U\left(x_{k_0}, \frac{d\left(x_0, x_{k_0}\right)}{2}\right)
$$

于是

$$
\begin{aligned}
d\left(x_0, x_{k_0}\right) & \leq d\left(x_0, x\right)+d\left(x, x_{k_0}\right)<\delta+\frac{d\left(x_0, x_{k_0}\right)}{2} \\
& \leq \frac{d\left(x_0, x_{k_0}\right)}{2}+\frac{d\left(x_0, x_{k_0}\right)}{2}=d\left(x_0, x_{k_0}\right)
\end{aligned}
$$

矛盾。
＂$\Leftarrow$＂．设 $A$ 自列紧，假设 $A$ 不是紧集，则存在某个开覆盖 $A \subset \underset{\alpha \in \Gamma}{\cup} G_\alpha$ 没有有限的子覆盖，即 $A$ 不能被任意有限个 $G_\alpha$ 覆盖。
$A$ 自列紧（蕴含 $A$ 完备），则 $A$ 全有界，故对每个 $n \in N$ ，都存在 $A$ 的有限 $\frac{1}{n}$－网，记为 $\left\{x_1^{(n)}, \cdots, x_{k_n}^{(n)}\right\}$ ，则

$$
A \subset \bigcup_{i=1}^{k_n} U\left(y_i, \frac{1}{n}\right)
$$

从而，这有限个邻域必存在某一个，记为 $U\left(y_n, \frac{1}{n}\right)$ ，不能被任意有限个 $G_a$ 覆盖（否则 $A$ 可被有限个 $G_\alpha$ 覆盖）。

对无穷点列 $\left\{y_n\right\} \subset A$ ，由 $A$ 自列紧，必存在收玫子列

$$
y_{n_k} \xrightarrow{d} y_0 \in A \subset \bigcup_{\alpha \in \Gamma} G_\alpha
$$

故存在 $\alpha_0 \in \Gamma$ 使得 $x_0 \in G_{\alpha_0}$ ．又 $G_{\alpha_0}$ 开，故存在 $\delta>0$ 使得 $U\left(y_0, \delta\right) \subset G_{\alpha_0}$ ．
对上述 $\delta$ ，取足够大的 $n_k$ 使得 $\frac{1}{n_k}<\delta / 2, d\left(y_{n_k}, y_0\right)<\delta / 2$ ，则对任意的 $x \in$ $U\left(y_{n_k}, \frac{1}{n_k}\right)$ ，都有

$$
d\left(x, y_0\right) \leq d\left(x, y_{n_k}\right)+d\left(y_{n_k}, y_0\right)<\frac{1}{n_k}+\frac{\delta}{2}<\delta
$$

从而

$$
U\left(y_{n_k}, \frac{1}{n_k}\right) \subset U\left(y_0, \delta\right) \subset G_{a_0}
$$

这与每个 $U\left(y_n, \frac{1}{n}\right)$ 不能被任意有限个 $G_\alpha$ 覆盖矛盾。