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全有界

## 二．全有界
定义 1．5．2．设 $A, B \subset(X, d)$ ，对给定的 $\varepsilon>0$ ，若对每一个 $x \in A$ ，都存在 $y \in B$ 使得 $d(x, y)<\varepsilon$ ，即 $A \subset \bigcup_{y \in B} U(y, \varepsilon)$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的一个 $\varepsilon$－网。

若 $B$ 还是有限集，则称 $B$ 为 $A$ 的有限 $\varepsilon$－网。
注 1．5．3．$B$ 在 $A$ 中稠密，等价于对 $\forall \varepsilon>0, B$ 都是 $A$ 的 $\varepsilon$－网。
定义 1．5．3．设 $A \subset(X, d)$ ，若对 $\forall \varepsilon>0, A$ 都存在有限的 $\varepsilon$－网，则称 $A$ 为全有界集。

显然，任意有限集都是全有界集，全有界集的子集是全有界集。
命题 1．5．3．设 $A$ 为全有界集，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，都可以取到 $A$ 的一个有限子集作为其 $\varepsilon$－网。

证明 设 $A$ 全有界，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $A$ 的有限 $\frac{\varepsilon}{2}$－网，记为 $\left\{y_1, \cdots, y_{n_0}\right\} \subset$ $X$ ，则 $A \subset \bigcup_{k=1}^{n_0} U\left(y_k, \frac{\varepsilon}{2}\right)$ ．不妨设 $A \bigcap U\left(y_k, \frac{\varepsilon}{2}\right) \neq \varnothing$ ．任取 $x_k \in A \bigcap U\left(y_k, \frac{\varepsilon}{2}\right), k=$ $1, \cdots, n_0$ ．下面证明 $\left\{x_1, \cdots, x_{n_0}\right\}$ 是 $A$ 的 $\varepsilon$－网。

对 $\forall x \in A$ ，存在 $k_0$ 使得 $x \in U\left(y_{k_0}, \frac{\varepsilon}{2}\right)$ ，又 $x_{k_0} \in U\left(y_{k_0}, \frac{\varepsilon}{2}\right)$ ，从而

$$
d\left(x, x_{k_0}\right) \leq d\left(x, y_{k_0}\right)+d\left(y_{k_0}, x_{k_0}\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

因此，结论成立。

命题 1．5．4．全有界集是可分的有界集。
证明 设 $A \subset(X, d)$ 为全有界集。（1）先证 $A$ 有界。取 $\left\{x_1, \cdots, x_{n_0}\right\}$ 为 $A$ 的有限1－网，则对 $\forall x \in A$ ，存在 $k_0$ 使得 $d\left(x, x_{k_0}\right)<1$ ．从而

$$
d\left(x, x_1\right) \leq d\left(x, x_{k_0}\right)+d\left(x_{k_0}, x_1\right)<1+\max _{1 \leq k \leq n_0} d\left(x_k, x_1\right)<+\infty
$$

因此，$A$ 有界。
（2）再证 $A$ 可分。对每个 $n \in N$ ，取 $B_n \subset A$ 为 $A$ 的有限 $\frac{1}{n}$ 网，令 $B=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n$ ，由于每个 $B_n$ 是有限集，故 $B$ 可列。对 $\forall x \in A$ ，存在 $x_n \in B_n \subset B$ 使得

$$
d\left(x, x_n\right) \leq \frac{1}{n^{\prime}}, \quad n=1,2, \cdots
$$

故 $x_n \xrightarrow{d} x,(n \rightarrow \infty)$ ．这表明 $B$ 在 $A$ 中稠密，因此，$A$ 可分。
定理 1．5．1．设 $(X, d)$ 为完备的距离空间，$A \subset X$ ，则 $A$ 列紧 $\Leftrightarrow A$ 全有界。

证明＂$\Rightarrow$＂．设 $A$ 列紧，假设 $A$ 不全有界，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，使得 $A$ 中没有有限 $\varepsilon_0$－网，即 $A$ 不能被有限个 $\varepsilon_0$－邻域覆盖。任取 $x_1 \in A, U\left(x_1, \varepsilon_0\right)$ 不能覆盖 $A$ ，故存在 $x_2 \in A-U\left(x_0, \varepsilon_0\right)$ ，则

$$
d\left(x_2, x_1\right) \geq \varepsilon_0
$$

又 $\bigcup_{i=1}^2 U\left(x_i, \varepsilon_0\right)$ 不能覆盖 $A$ ，故存在 $x_3 \in A-\bigcup_{i=1}^2 U\left(x_i, \varepsilon_0\right)$ ，则

$$
d\left(x_3, x_2\right) \geq \varepsilon_0, \quad d\left(x_3, x_1\right) \geq \varepsilon_0
$$

$\cdots \cdots$ 依次做下去，得到点列 $\left\{x_n\right\} \subset A$ ，满足

$$
d\left(x_n, x_m\right) \geq \varepsilon_0, \quad m \neq n
$$

从而 $\left\{x_n\right\}$ 没有收敛子列，这与 $A$ 列紧矛盾。
＂$\Leftarrow$＂．设 $\left\{x_n\right\}$ 为 $A$ 中的无穷点列，由于 $X$ 完备，要证 $\left\{x_n\right\}$ 含有收敛子列，只需证明存在子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ 是柯西列。
$A$ 全有界，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $A$ 的有限 $\varepsilon$－网。于是，对 $\varepsilon_1=1$ ，存在有限的1－网 $\left\{y_1^{(1)}, \cdots, y_{n_1}^{(1)}\right\} \subset A$ ，则

$$
\left\{x_n\right\} \subset A \subset \bigcup_{i=1}^{n_1} U\left(y_i^{(1)}, 1\right)
$$

无穷个点 $\left\{x_n\right\}$ 被有限个小球覆盖，故必存在某个小球，记为 $U\left(y_1, 1\right)$ ，含有 $\left\{x_n\right\}$ 中无限个点，即为 $\left\{x_n\right\}$ 的某子列，记为 $\left\{x_k^{(1)}\right\}$ 。

对 $\varepsilon_2=\frac{1}{2}$ ，存在有限的 $\frac{1}{2}$－网 $\left\{y_1^{(2)}, \cdots, y_{n_2}^{(2)}\right\} \subset A$ ，则

$$
\left\{x_k^{(1)}\right\} \subset A \subset \bigcup_{i=1}^{n_2} U\left(y_i^{(2)}, \frac{1}{2}\right)
$$

无穷个点 $\left\{x_k^{(1)}\right\}$ 被有限个小球覆盖，故必存在某个小球，记为 $U\left(y_2, \frac{1}{2}\right)$ ，含有 $\left\{x_k^{(1)}\right\}$ 中无限个点，即为 $\left\{x_k^{(1)}\right\}$ 的某子列，记为 $\left\{x_k^{(2)}\right\} . \cdots \cdots$ 依次做下去，得到

$$
\begin{array}{cc}
\left\{x_k^1\right\}: x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, \cdots, x_k^{(1)}, \cdots & \in U\left(y_1, 1\right) \\
\left\{x_k^2\right\}: x_1^{(2)}, x_2^{(2)}, \cdots, x_k^{(2)}, \cdots & \in U\left(y_2, \frac{1}{2}\right) \\
\cdots \cdots & \cdots \cdots \\
\left\{x_k^k\right\}: x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \cdots, x_k^{(k)}, \cdots & \in U\left(y_k, \frac{1}{k}\right)
\end{array}
$$

取对角线元 $\left\{x_1^{(1)}, x_2^{(2)}, \cdots, x_k^{(k)},\right\}=\left\{x_k^{(k)}\right\}$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 的子列，下面验证 $\left\{x_k^{(k)}\right\}$ 是柯西列。

对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $K \in N$ 满足 $1 / K<\frac{\varepsilon}{2}$ ，则当 $k, l \geq K$ 时，不妨设 $l>k$ ，注意到子列选取时的包含关系，则有 $x_k^{(k)}, x_l^{(l)} \in U\left(y_k, \frac{1}{k}\right)$ ，从而

$$
d\left(x_k^{(k)}, x_l^{(l)}\right) \leq d\left(x_k^{(k)}, y_k\right)+d\left(y_k, x_l^{(l)}\right) \leq \frac{1}{k}+\frac{1}{k} \leq \frac{1}{K}+\frac{1}{K}<\varepsilon
$$

故 $\left\{x_k^{(k)}\right\}$ 是柯西列。

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