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距离空间中的收敛

## 距离空间中的收敛

定义 1．1．2．设 $(X, d)$ 为距离空间，$\left\{x_n\right\} \subset X$ 为点列，若存在 $x_0 \in X$ 使得 $d\left(x_n, x_0\right) \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，则称 $\left\{x_n\right\}$ 依距离 $d$ 收敛到 $x_0$ ，或 $x_0$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 的极限，记为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0 \quad \text { 或 } \quad x_n \xrightarrow{d} x_0, \quad n \rightarrow \infty
$$

注 1．1．3．（1）定义中的＂$d\left(x_n, x_0\right) \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$＂是数列收敛；
（2）用＂$\varepsilon-N$＂语言描述：

$$
\forall \varepsilon>0, \exists N \in N \text {, 使得当 } n \geq N \text { 时, 有 } d\left(x_n, x_0\right)<\varepsilon
$$

定义 1．1．3．设 $(X, d)$ 为距离空间，$A \subset X$ ，若存在 $x_0 \in X$ 及 $M \geq 0$ 使得

$$
d\left(x_0, y\right) \leq M, \quad \forall y \in A
$$

则称 $A$ 是有界的。
命题 1．1．1．设 $\left\{x_n\right\}$ 在 X 中收敛，则
（i）$\left\{x_n\right\}$ 的收敛极限是唯一的；
（ii）若 $x_0$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 的收敛极限，则任意子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ ，也收敛到 $x_0$ ；

（iii）对任意的 $y_0 \in X$ ，数列 $\left\{d\left(x_n, y_0\right)\right\}$ 都有界。
证明（i）假设 $x_n \rightarrow x_0, x_n \rightarrow y_0$ ，且 $x_0 \neq y_0$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N \in N$ ，使得当 $n \geq N$ 时，有

$$
d\left(x_n, x_0\right)<\varepsilon, \quad d\left(x_n, y_0\right)<\varepsilon
$$

由距离的三角不等式得

$$
d\left(x_0, y_0\right) \leq d\left(x_0, x_n\right)+d\left(x_n, y_0\right)<2 \varepsilon
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性得，$d\left(x_0, y_0\right) \leq 0$ ，故 $d\left(x_0, y_0\right)=0$ ，从而 $x_0=y_0$ ．矛盾。
（ii）设 $x_n \rightarrow x_0$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N \in N$ ，使得当 $n \geq N$ 时，有 $d\left(x_n, x_0\right)<\varepsilon$ 。设 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ ，往证 $x_{n_k} \rightarrow x_0$ ，即 $\exists K \in N$ ，使得当 $k \geq K$ 时有 $d\left(x_{n_k}, x_0\right)<\varepsilon$ ．

取 $K=N$ ，则当 $k \geq K$ 时，有 $n_k \geq k \geq K=N$ ，故 $d\left(x_{n_k}, x_0\right)<\varepsilon$ ．
（iii）设 $x_n \rightarrow x_0$ ，则数列 $\left\{d\left(x_n, x_0\right)\right\}$ 有界，即存在 $M \geq 0$ 使得 $d\left(x_n, x_0\right) \leq$ $M, \forall n \in N$ ．于是，对任意的 $y_0 \in X$ ，

$$
d\left(x_n, y_0\right) \leq d\left(x_n, x_0\right)+d\left(x_0, y_0\right) \leq M+d\left(x_0, y_0\right)
$$

故 $\left\{d\left(x_n, y_0\right)\right\}$ 都有界。

命题 1．1．2．$d(x, y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的二元连续函数。
证明 往证 $x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y$ 蕴含 $\left|d\left(x_n, y_n\right)-d(x, y)\right| \rightarrow 0$ ．由 $d\left(x_n, y_n\right) \leq$ $d\left(x_n, x\right)+d(x, y)+d\left(y, y_n\right)$ 可得

$$
d\left(x_n, y_n\right)-d(x, y) \leq d\left(x_n, x\right)+d\left(y_n, y\right)
$$

又由 $d(x, y) \leq d\left(x, x_n\right)+d\left(x_n, y_n\right)+d\left(y_n, y\right)$ 可得

$$
d(x, y)-d\left(x_n, y_n\right) \leq d\left(x_n, x\right)+d\left(y_n, y\right) \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$

因此，$\left|d\left(x_n, y_n\right)-d(x, y)\right| \rightarrow 0$ ．
下面看两个具体的距离空间收敛的例子。
例 1．1．1． $R ^n$ 空间中，距离收敛等价于依坐标收敛。
证明 设 $\left\{x_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset R ^n, x_0 \in R ^n$ ，记

$$
x_0=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right), \quad x_i=\left(\xi_1^{(i)}, \cdots, \xi_n^{(i)}\right), \quad i=1,2, \cdots
$$

若 $x_i \xrightarrow{d} x_0$ ，则 $d\left(x_i, x_0\right) \rightarrow 0,(i \rightarrow \infty)$ ．即

$$
\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad(i \rightarrow \infty)
$$
从而，对每个 $k=1, \cdots, n$ 有

$$
\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k\right| \leq\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad(i \rightarrow \infty)
$$

故 $\xi_k^{(i)} \rightarrow \xi_k, k=1, \cdots, n,(i \rightarrow \infty)$ ．此时，称 $\left\{x_i\right\}$ 依坐标收玫到 $x_0$ ．
反过来，若 $\left\{x_i\right\}$ 依坐标收玫到 $x_0$ ，则 $\xi_k^{(i)} \rightarrow \xi_k, k=1, \cdots, n,(i \rightarrow \infty)$ ，从而

$$
d\left(x_i, x_0\right)=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad i \rightarrow \infty
$$

故 $x_i \xrightarrow{d} x_0, i \rightarrow \infty$ ．
例 1．1．2．$C[a, b]$ 空间空间中，距离收敛等价于一致收敛。
证明 设 $\left\{x_n\right\} \subset C[a, b], x \in C[a, b]$ ，记

$$
x=x(t), \quad x_n=x_n(t), \quad t \in[a, b], \quad n=1,2, \cdots
$$

若 $x_n \xrightarrow{d} x$ ，则 $d\left(x_n, x\right) \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，即

$$
\max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x(t)\right| \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$

于是，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N \in N$ ，使得当 $n \geq N$ 时有

$$
\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x(t)\right|<\varepsilon, \quad \forall t \in[a, b]
$$

故 $x_n(t)$ 一致收玫到 $x(t)$ ．

反过来，若 $x_n(t)$ 一致收玫到 $x(t)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon)$ ，使得当 $n \geq N$ 时有

$$
\left|x_n(t)-x(t)\right|<\varepsilon, \quad \forall t \in[a, b]
$$

上式两端对 $t \in[a, b]$ 取＂$m a x$＂，得

$$
d\left(x_n, x\right)=\max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon, \quad(n \leq N)
$$

故 $d\left(x_n, x\right) \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，从而 $x_n \xrightarrow{d} x$ ．

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