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距离空间的基本概念

## 1.1 距离空间的基本概念

一．距离空间的定义及例
定义 1．1．1．设 $X$ 为非空集，若对 $\forall x, y \in X$ ，均有一个正实数 $d(x, y)$ 与之对应，且满足：
（i）（非负性）$d(x, y) \geq 0, d(x, y)=0$ ，当且仅当 $x=y$ ；
（ii）（对称性）$d(x, y)=d(y, x)$ ；
（iii）（三角不等式）$d(x, y) \leq d(x, z)+d(y, z)$ ．
则称 $d(\cdot, \cdot)$ 为 $X$ 上的一个距离。定义了距离的集合称为距离空间，记为 $(X, d)$ ．
注 1．1．1．（1）距离的定义，是实轴上绝对值概念的推广，保留了绝对值最本质的性质；
（2）性质（i）－（iii）称为距离公理，其中（iii）来源于＂平面三角形两边之和大于第三边＂；
（3）由（iii）和（ii）易知 ${ }^1$ ，

$$
|d(x, y)-d(y, z)| \leq d(x, z), \quad \forall x, y, z \in X
$$

实际上，

$$
\begin{aligned}
& d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \quad \Longrightarrow \quad d(x, y)-d(y, z) \leq d(x, z) \\
& d(y, z) \leq d(y, x)+d(x, z) \quad \Longrightarrow \quad d(y, z)-d(x, y) \leq d(x, z)
\end{aligned}
$$

下面给出一些具体的距离空间的例。
1．$n$ 维欧氏空间 $R ^n$
$$
R ^n=\left\{\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right): \xi_k \in R \right\}
$$

对于任给的 $R ^n$ 中的两个元 $x=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)$ 与 $y=\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right)$ ，定义

$$
d(x, y)=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

要证 $\left( R ^n, d\right)$ 是距离空间，只需验证 $d(\cdot, \cdot)$ 满足距离公理（i）－（iii）．
（i），（ii）显然，为验证（iii），我们先证明 Cauchy 不等式：

$$
\sum_{k=1}^n a_k b_k \leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}, \quad a_k, b_k \in R
$$

实际上，对 $\forall \lambda \in R$ ，都有

$$
0 \leq \sum_{k=1}^n\left(a_k+\lambda b_k\right)^2=\sum_{k=1}^n a_k^2+2 \lambda \sum_{k=1}^n a_k b_k+\lambda^2 \sum_{k=1}^n b_k^2
$$

上式右端是关于 $\lambda$ 的二次函数，对任意的 $\lambda \in R$ 都是非负

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