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距离空间的基本概念

## 1.1 距离空间的基本概念

一．距离空间的定义及例
定义 1．1．1．设 $X$ 为非空集，若对 $\forall x, y \in X$ ，均有一个正实数 $d(x, y)$ 与之对应，且满足：
（i）（非负性）$d(x, y) \geq 0, d(x, y)=0$ ，当且仅当 $x=y$ ；
（ii）（对称性）$d(x, y)=d(y, x)$ ；
（iii）（三角不等式）$d(x, y) \leq d(x, z)+d(y, z)$ ．
则称 $d(\cdot, \cdot)$ 为 $X$ 上的一个距离。定义了距离的集合称为距离空间，记为 $(X, d)$ ．
注 1．1．1．（1）距离的定义，是实轴上绝对值概念的推广，保留了绝对值最本质的性质；
（2）性质（i）－（iii）称为距离公理，其中（iii）来源于＂平面三角形两边之和大于第三边＂；
（3）由（iii）和（ii）易知 ${ }^1$ ，

$$
|d(x, y)-d(y, z)| \leq d(x, z), \quad \forall x, y, z \in X
$$

实际上，

$$
\begin{aligned}
& d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \quad \Longrightarrow \quad d(x, y)-d(y, z) \leq d(x, z) \\
& d(y, z) \leq d(y, x)+d(x, z) \quad \Longrightarrow \quad d(y, z)-d(x, y) \leq d(x, z)
\end{aligned}
$$

下面给出一些具体的距离空间的例。
1．$n$ 维欧氏空间 $R ^n$
$$
R ^n=\left\{\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right): \xi_k \in R \right\}
$$

对于任给的 $R ^n$ 中的两个元 $x=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)$ 与 $y=\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right)$ ，定义

$$
d(x, y)=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

要证 $\left( R ^n, d\right)$ 是距离空间，只需验证 $d(\cdot, \cdot)$ 满足距离公理（i）－（iii）．
（i），（ii）显然，为验证（iii），我们先证明 Cauchy 不等式：

$$
\sum_{k=1}^n a_k b_k \leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}, \quad a_k, b_k \in R
$$

实际上，对 $\forall \lambda \in R$ ，都有

$$
0 \leq \sum_{k=1}^n\left(a_k+\lambda b_k\right)^2=\sum_{k=1}^n a_k^2+2 \lambda \sum_{k=1}^n a_k b_k+\lambda^2 \sum_{k=1}^n b_k^2
$$

上式右端是关于 $\lambda$ 的二次函数，对任意的 $\lambda \in R$ 都是非负的，故根判别式小于等于 0 ，即

$$
\left(2 \sum_{k=1}^n a_k b_k\right)^2-4 \sum_{k=1}^n a_k^2 \cdot \sum_{k=1}^n b_k^2 \leq 0
$$

故 Cauchy 不等式成立．由 Cauchy 不等式可得
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^2 & =\sum_{k=1}^n a_k^2+2 \sum_{k=1}^n a_k b_k+\sum_{k=1}^n b_k^2 \\
& \leq \sum_{k=1}^n a_k^2+2\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+\sum_{k=1}^n b_k^2 \\
& \left.=\left[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+\sum_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^2
\end{aligned} ...(1.1)
$$

对于 $R ^n$ 中任意的点 $x=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right), y=\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right), z=\left(\zeta_1, \cdots, \zeta_n\right)$ ，令 $a_k=\xi_k-\zeta_k, b_k=\zeta_k-\eta_k$ ，则有

$$
\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\zeta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{k=1}^n\left|\zeta_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

即 $d(x, y) \leq d(x, z)+d(y, z)$ ，因此，$\left( R ^n, d\right)$ 是距离空间．
注 1．1．2．（1）对于 $n$ 维复欧氏空间 $C ^n$ ，可类似地定义距离

$$
d(x, y)=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

其中，$|\cdot|$ 表示复数的模，也构成距离空间；
（2）同一集合上可定义不同的距离，从而得到不同的距离空间．例如，在 $R ^n$ 上定义

$$
\begin{gathered}
d_1(x, y)=\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right| \\
d_{\infty}(x, y)=\max \left\{\left|\xi_k-\eta_k\right|: k=1, \cdots n\right\}
\end{gathered}
$$

都构成距离空间。

2．连续函数空间 $C[a, b]$

$$
C[a, b]=\{x(t): x(t) \text { 为 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\}
$$

对任意的 $C[a, b]$ 中的两个元 $x=x(t), y=y(t)$ ，定义

$$
d(x, y)=\max _{t \in[a, b]}|x(t)-y(t)|
$$

（i），（ii）显然，下面验证（iii）．设 $x(t), y(t), z(t) \in C[a, b]$ ，则

$$
\begin{aligned}
|x(t)-y(t)| & \leq|x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)| \\
& \leq \max _{t \in[a, b]}|x(t)-z(t)|+\max _{t \in[a, b]}|z(t)-y(t)| \\
& =d(x, z)+d(z, y)
\end{aligned}
$$

对每个 $t \in[a, b]$ 都成立，两端取＂max＂可得 $d(x, y) \leq d(x, z)+d(y, z)$ ．
3．测度空间 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上的 $p$ 次幂 L－可积函数空间 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu),(1 \leq p<\infty)$ ，简记为 $L^p(\Omega)$

关于测度空间 $(\Omega, \Sigma, \mu): \Omega$ 为非空集合，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 上的 $\sigma$－代数，若 $E \in \Sigma$ ，则称 $E$ 为可测集，$\mu$ 为 $\Sigma$ 上的测度。

$$
L^p(\Omega)=\left\{x(t): \int_{\Omega}|x(t)|^p d \mu<+\infty\right\}
$$

$L^p(\Omega)$ 空间中约定几乎处处相等的函数是同一个函数。特别地，若 $\Omega=[a, b]$ ，记为 $L^p[a, b]$ ，此时 $\mu$ 是 Lebesgue 测度。

对任意的 $L^p(\Omega)$ 中的两个元 $x=x(t), y=y(t)$ ，定义
$$
d(x, y)=\left(\int_{\Omega}|x(t)-y(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}}
$$

构成距离空间。
4．几乎处处有界可测函数空间 $L^{\infty}(\Omega, \Sigma, \mu)$ ，简记为 $L^{\infty}(\Omega)$
可测函数 $x(t)$ 在 $\Omega$ 上是几乎处处有界的，是指存在零测集 $E_0 \subset \Omega$ ，使得 $x(t)$ 在 $\Omega-E_0$ 上有界。

$$
L^{\infty}(\Omega, \Sigma, \mu)=\{x(t): x(t) \text { 在 } \Omega \text { 上几乎处处有界 }\}
$$

$L^{\infty}(\Omega)$ 空间中约定几乎处处相等的函数是同一个函数。对任意的 $L^{\infty}(\Omega)$ 中的两个元 $x=x(t), y=y(t)$ ，定义

$$
d(x, y)=\inf _{\substack{E_0 \subset \cap \\ m\left(E_0\right)=0}} \sup _{t \in \Omega-E_0}|x(t)-y(t)|
$$

构成距离空间。
5．$p$ 次幂可和数列空间 $\ell^p, ~(1 \leq p<\infty)$

$$
\ell^p=\left\{\left\{\xi_n\right\}: \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n<+\infty\right\}
$$

对任意的 $\ell^p$ 中的两个元 $x=\left\{\xi_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ ，定义

$$
d(x, y)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n-\eta_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$

构成距离空间。
6．有界数列空间 $\ell^{\infty}$

$$
\ell^{\infty}=\left\{\left\{\xi_n\right\}:\left\{\xi_n\right\} \text { 为有界数列 }\right\}
$$

对任意的 $\ell^{\infty}$ 中的两个元 $x=\left\{\xi_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ ，定义

$$
d(x, y)=\sup _n\left|\xi_n-\eta_n\right|
$$

构成距离空间。

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