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完备性

## 二．完备性
定义 1．4．2．若距离空间 $(X, d)$ 中任意柯西列都收敛于 $X$ 中某一点，则称 $X$ 为完备的距离空间。

注 1．4．2．完备性是非常重要的概念，在于
（i）完备性保证了极限运算的封闭性；
（ii）在完备的距离空间，判断一个点列是否收敛，只需判断它是否为柯西列。
命题1．4．5．完备距离空间的任一闭子空间是完备的。
证明 设 $(X, d)$ 完备，$X_0 \subset X$ 闭，设 $\left\{x_n\right\} \subset X_0$ 为柯西列，则 y 由 $X$ 完备知， $x_n \xrightarrow{d} x_0 \in X$ ，又 $X_0$ 闭，作为 $X_0$ 中点列 $\left\{x_n\right\}$ 的聚点必有 $x_0 \in X_0$ ．

证明距离空间完备的步骤：
（1）任取柯西列 $\left\{x_n\right\} \subset X$ ，找出其极限点 $x$ ；
（2）验证 $x \in X$ ；
（3）验证 $x_n \xrightarrow{d} x$ ．
易知， Q 不完备， $R$ 完备。又 $R ^n$ 中的收敛等价于依坐标收敛，由 $R$ 的完备性易知 $R ^n$ 完备。

例 1．4．1．$C[a, b]$ 完备。

证明（1）设 $\left\{x_n\right\} \subset C[a, b]$ 为柯西列，找出其极限点 $x$ ．
由柯西列的定义，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N \in N$ ，当 $n, m \geq N$ 时有 $d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon$ ，即

$$
\max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x_m(t)\right|<\varepsilon
$$

从而，对每个 $t \in[a, b]$ ，都有

$$
\left|x_n(t)-x_m(t)\right|<\varepsilon, \quad n, m \geq N
$$

这说明 $\left\{x_n(t)\right\}$ 是 $R$ 中的柯西列，由 $R$ 的完备性知，存在 $x_t \in R$ 使得 $x_n(t) \rightarrow$ $x_t,(n \rightarrow \infty)$ ．定义函数 $x(t)=x_t, t \in[a, b]$ ．
（2）验证 $x(t) \in C[a, b]$ ．由于当 $n, m \geq N$ 时有

$$
\left|x_n(t)-x_m(t)\right|<\varepsilon, \quad \forall t \in[a, b]
$$

令 $m \rightarrow \infty$ 得

$$
\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon, \quad \forall t \in[a, b], \quad(n \geq N)
$$

这说明 $x_n(t)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $x(t)$ 。从而，由连续函数列的一致收敛极限必连续知 $x(t)$ 连续，因此 $x(t) \in C[a, b]$ 。
（3）验证 $x_n \xrightarrow{d} x$ ．当 $n \geq N$ 时，有

$$
\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon, \quad \forall t \in[a, b]
$$
故

$$
d\left(x_n, x\right)=\max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon, \quad(n \geq N)
$$

因此，$x_n \xrightarrow{d} x$ ．
例1．4．2．$\ell^p$ 完备。
证明（1）设 $\left\{x_n\right\} \subset \ell^p$ 为柯西列，找出其极限点 $x$ ．
记 $x_n=\left\{\xi_k^{(n)}\right\}$ ，由柯西列的定义，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N \in N$ ，当 $n, m \geq N$ 时有 $d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon$ ，即

$$
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(n)}-\xi_k^{(m)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\varepsilon
$$

从而，对每个 $k \in N$ ，都有

$$
\left|\xi_k^{(n)}-\xi_k^{(m)}\right|<\varepsilon, \quad n, m \geq N
$$

这说明 $\left\{\xi_k^{(n)}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $R$ 中的柯西列，由 $R$ 的完备性知，存在 $\xi_k \in R$ 使得 $\xi_k^{(n)} \rightarrow$ $\xi_k,(n \rightarrow \infty)$ ．记 $x=\left\{\xi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ ．
（2）验证 $x \in \ell^p$ ．由于当 $n, m \geq N$ 时有

$$
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(n)}-\xi_k^{(m)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\varepsilon
$$

令 $m \rightarrow \infty$ 得

$$
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(n)}-\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \varepsilon, \quad(n \geq N)
$$

注意到，$x_N \in \ell^p$ 蕴含 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(N)}\right|^p<+\infty$ ，由 Minkowski 不等式，

$$
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} & =\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left(\xi_k-\xi_k^{(N)}\right)+\xi_k^{(N)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \\
& \leq\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k-\xi_k^{(N)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(N)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \\
& \leq \varepsilon+\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(N)}\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty
\end{aligned}
$$

这说明 $x=\left\{\xi_k\right\} \in \ell^p$ ．
（3）验证 $x_n \xrightarrow{d} x$ ．当 $n \geq N$ 时，有

$$
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(n)}-\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \varepsilon
$$
故

$$
d\left(x_n, x\right)=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k^{(n)}-\tilde{\xi}_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \varepsilon, \quad(n \geq N)
$$

因此，$x_n \xrightarrow{d} x$ ．
定理 1．4．1．$\ell^{\infty}$ 完备。
证明

另外，$L^p(\Omega), L^{\infty}(\Omega)$ 都完备。
定理 1．4．2．（距离空间完备化定理）任何距离空间 $(X, d)$ 都存在一个完备的距离空间 $(\tilde{X}, \tilde{d})$ ，使得 $(X, d)$ 与 $(\tilde{X}, \tilde{d})$ 的某个稒密子空间等距，且在等距意义下，这样的 $(\tilde{X}, \tilde{d})$ 是唯一的，称为 $(X, d)$ 的完备化空间。

证明

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