最后更新: 2025-04-27 20:54 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

完备性•集合的类型

## 一．柯西列
定义 1．4．1．设 $(X, d)$ 为距离空间，$\left\{x_n\right\} \subset X$ 为点列，若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N \in N$ ，使得当 $n, m \geq N$ 时有

$$
d\left(x_n, x_m\right) \leq \varepsilon
$$

则称 $\left\{x_n\right\}$ 为 $X$ 中的柯西列。
命题 1．4．1．柯西列必有界。
证明 设 $\left\{x_n\right\}$ 为 $(X, d)$ 中的柯西列，则对 $\varepsilon=1$ ，存在 $N \in N$ 使得当 $n, m \geq N$ 时，有 $d\left(x_n, x_m\right)<1$ ．特别地，$d\left(x_n, x_N\right)<1, \forall n \geq N$ ．令

$$
M=\max \left\{d\left(x_1, x_N\right), \cdots, d\left(x_{N-1}, x_N\right), 1\right\}
$$

则 $d\left(x_n, x_N\right)<M, \forall n \in N$ ．因此 $\left\{x_n\right\}$ 有界。
命题 1．4．2．若柯西列的某个子列收敛，则柯西列本身也收敛，且收敛到同一极限。
证明 设 $\left\{x_n\right\}$ 为 $(X, d)$ 中的柯西列，$\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ ，且 $x_{n_k} \xrightarrow{d} x_0,(k \rightarrow \infty)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists K \in N$ 使得

$$
d\left(x_{n_k}, x_0\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \quad \forall k \geq K
$$

又 $\left\{x_n\right\}$ 为柯西列，则对上述的 $\varepsilon$ ，存在 $N \in N$ ，使得当 $n \geq N$ ，并取满足上式的 $n_k \geq N$ ，有 $d\left(x_n, x_{n_k}\right)<\varepsilon / 2$ ．从而

$$
d\left(x_n, x_0\right) \leq d\left(x_n, x_{n_k}\right)+d\left(x_{n_k}, x_0\right)<\varepsilon
$$

故 $x_n \xrightarrow{d} x_0,(n \rightarrow \infty)$ ．
命题 1．4．3．收敛点列必是柯西列。
证明 设 $x_n \xrightarrow{d} x_0$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N \in N$ ，当 $n, m \geq N$ 时有
$$
d\left(x_n, x_0\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \quad d\left(x_m, x_0\right)<\frac{\varepsilon}{2}
$$

从而

$$
d\left(x_n, x_m\right) \leq d\left(x_n, x_0\right)+d\left(x_0, x_m\right)<\varepsilon
$$

因此，$\left\{x_n\right\}$ 是柯西列。
注 1．4．1．柯西列不一定收敛。例如，$\left\{x_n\right\} \subset Q$ 为柯西列，则存在 $x_0 \in R$ 使得 $x_n \rightarrow x_0,(n \rightarrow \infty)$ ，但不一定有 $x_0 \in Q$ ，故 $\left\{x_n\right\}$ 在 $Q$ 中不收敛。

注意，这里不收敛的原因在于，点列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限跑出了空间 Q 的范围，那么如何保证极限点仍落在空间里面，这就需要空间具有完备性，$Q$ 的完备化空间就是 $R$ ．
命题 1．4．4．若 $\left\{x_n\right\} \subset(X, d)$ 为柯西列，则存在子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ 满足

$$
d\left(x_{k+1}, x_{n_k}\right) \leq \frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \cdots
$$

证明 设 $\left\{x_n\right\} \subset X$ 为柯西列，则对 $\varepsilon_1=\frac{1}{2}$ ，存在 $n_1 \in N$ ，使得当 $n \geq n_1$ 时有 $d\left(x_n, x_{n_1}\right) \leq \frac{1}{2}$ ．对 $\varepsilon_2=\frac{1}{2^2}$ ，存在 $n_2>n_1$ ，使得当 $n \geq n_2$ 时有 $d\left(x_n, x_{n_2}\right) \leq \frac{1}{2^2}$ ．特别地，

$$
d\left(x_{n_2}, x_{n_1}\right) \leq \frac{1}{2}
$$

对 $\varepsilon_3=\frac{1}{2^3}$ ，存在 $n_3>n_2$ ，使得当 $n \geq n_3$ 时有 $d\left(x_n, x_{n_3}\right) \leq \frac{1}{2^3}$ ．特别地，

$$
d\left(x_{n_3}, x_{n_2}\right) \leq \frac{1}{2^2}
$$

依次做下去 $\cdots \cdots$ 得到一子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ 满足

$$
d\left(x_{k+1}, x_{n_k}\right) \leq \frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \ldots
$$

结论成立。

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