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具体距离空间列紧集的判别

五．具体距离空间列紧集的判别
定理 1．5．4．在 $R ^n$ 中，列紧 $\Leftrightarrow$ 有界。
证明 只需证充分性。设 $\left\{x^{(i)}\right\}_{i=1}^{\infty} \subset R ^n$ 有界，记 $x^{(i)}=\left(\xi_1^{(i)}, \cdots, \xi_n^{(i)}\right)$ ．则对每个 $k=1, \cdots, n,\left\{\xi_k^{(i)}\right\}_{i=1}^{\infty}$ 都是 $R$ 中的有界数列。
$\left\{\xi_1^{(i)}\right\}$ 有界，由致密性定理，存在收敛子列 $\left\{\xi_1^{\left(i_1\right)}\right\}$ ，其中，$\left\{i_1\right\}$ 是 $\{i\}= N$ 的子列；又 $\left\{\tilde{\xi}_2^{\left(i_1\right)}\right\}$ 有界，由致密性定理，存在收敛子列 $\left\{\tilde{\xi}_2^{\left(i_2\right)}\right\}$ ，其中，$\left\{i_2\right\}$ 是 $\left\{i_1\right\}$ 的子列； $\cdots \cdots$ 又 $\left\{\xi_n^{\left(i_{n-1}\right)}\right\}$ 有界，由致密性定理，存在收敛子列 $\left\{\xi_n^{\left(i_n\right)}\right\}$ ，其中，$\left\{i_n\right\}$ 是 $\left\{i_{n-1}\right\}$ 的子列。令 $x^{\left(i_n\right)}=\left(\xi_1^{\left(i_n\right)}, \cdots, \xi_n^{\left(i_n\right)}\right)$ ，则 $\left\{x^{\left(i_n\right)}\right\} \subset\left\{x^{(i)}\right\}$ 收敛。

推论 1．5．1．在 $R ^n$ 中，紧（自列紧）$\Leftrightarrow$ 有界 + 闭。
定义 1．5．6．设 $A \subset C[a, b]$ ，若存在 $M>0$ ，使得对每个 $x(t) \in A$ ，都有

$$
|x(t)| \leq M, \quad \forall t \in[a, b]
$$

则称 $A$ 是一致有界的。
定义 1．5．7．设 $A \subset C[a, b]$ ，若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ ，使得对 $\forall t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in$ $[a, b],\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，都有

$$
\left|x\left(t^{\prime}\right)-x\left(t^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon
$$

对所有的 $x(t) \in A$ 都成立，则称 $A$ 是等度连续的。

定理 1．5．5．设 $A \subset C[a, b]$ ，则 $A$ 列紧，当且仅当（i）$A$ 一致有界；（ii）$A$ 等度连续。
证明＂$\Rightarrow$＂．（i）由于 $C[a, b]$ 完备，故 $A$ 列紧 $\Leftrightarrow A$ 全有界，从而 $A$ 有界，进而易知 $A$ 一致有界。
（ii）$A$ 全有界，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $A$ 的 $\frac{\varepsilon}{3}$－网，记为 $\left\{x_1, \cdots, x_{n_0}\right\} \subset A$ ，从而对 $\forall x \in A$ ，存在某个 $x_{i_0}$ 使得

$$
\left|x(t)-x_{i_0}(t)\right| \leq d\left(x, x_{i_0}\right)<\frac{\varepsilon}{3}, \quad \forall t \in[a, b]
$$

又 $x_{i_0}(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续从而一致连续，故对上述 $\varepsilon$ ，存在 $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ ，使得当 $\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<$ $\delta$ 时，有

$$
\left|x_{i_0}\left(t^{\prime}\right)-x_{i_0}\left(t^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

于是，对 $\forall x \in A$ ，当 $t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in[a, b],\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有

$$
\begin{aligned}
\left|x\left(t^{\prime}\right)-x\left(t^{\prime \prime}\right)\right| & \leq\left|x\left(t^{\prime}\right)-x_{i_0}\left(t^{\prime}\right)\right|+\left|x_{i_0}\left(t^{\prime}\right)-x_{i_0}\left(t^{\prime \prime}\right)\right|+\left|x_{i_0}\left(t^{\prime \prime}\right)-x\left(t^{\prime \prime}\right)\right| \\
& <\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
\end{aligned}
$$

因此，$A$ 等度连续。
＂$\Leftarrow$＂．只需证 $A$ 全有界，即对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $A$ 的 $\varepsilon$－网。由于 $A$ 等度连续，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in[a, b],\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有

$$
\left|x\left(t^{\prime}\right)-x\left(t^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}, \quad \forall x \in A
$$

取 $n \in N$ 满足 $\frac{b-a}{n}<\delta$ ，再将 $[a, b]$ 分为 $n$ 等份，分点分别为

$$
a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b
$$

作映射 $T: A \rightarrow R ^{n+1}$ 为

$$
T x=\left(x\left(t_0\right), x\left(t_1\right), \cdots, x\left(t_n\right)\right), \quad \forall x \in A
$$

由 $A$ 一致有界，则存在 $M>0$ ，使得

$$
|x(t)| \leq M, \quad \forall t \in[a, b], \quad \forall x \in A
$$

从而，对 $\forall x \in A$ ，有

$$
d(T x, 0)=\sum_{i=0}^n\left(\left|x\left(t_i\right)\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq \sqrt{n+1} \cdot M
$$

故 $T(A)$ 有界，由定理 1．5．4 知 $T(A)$ 列紧，从而全有界，故对上述 $\varepsilon$ ，存在有限的 $\frac{\varepsilon}{3}$－网，记为 $\left\{T x_1, \cdots, T x_{n_0}\right\} \subset T(A)$ ．下面证明 $\left\{x_1, \cdots, x_{n_0}\right\}$ 即为 $A$ 的 $\varepsilon$－网。

对 $\forall x \in A$ ，则 $T x \in T(A)$ ，故存在 $x_{j_0}$ 使得

$$
d\left(T x, T x_{j_0}\right)=\left(\sum_{i=0}^n\left|x\left(t_i\right)-x_{j_0}\left(t_i\right)\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{\varepsilon}{3}
$$

从而

$$
\left|x\left(t_i\right)-x_{j_0}\left(t_i\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}, \quad i=0,1, \cdots, n
$$

对 $\forall t \in[a, b]$ ，取 $i_0$ 使得 $t \in\left[t_{i_0}, t_{i_0+1}\right]$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\left|x(t)-x_{j_0}(t)\right| & \leq\left|x(t)-x\left(t_{i_0}\right)\right|+\left|x\left(t_{i_0}\right)-x_{j_0}\left(t_{i_0}\right)\right|+\left|x_{j_0}\left(t_{i_0}\right)-x_{j_0}(t)\right| \\
& <\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
\end{aligned}
$$

从而

$$
d\left(x, x_{j_0}\right)=\max _{t \in[a, b]}\left|x(t)-x_{j_0}(t)\right| \leq \varepsilon
$$

因此，$\left\{x_1, \cdots, x_{n_0}\right\}$ 是 $A$ 的 $\varepsilon$－网。

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