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泛函分析
第一章 距离空间
Banach 压缩映射原理
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2025-04-27 21:03
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Banach 压缩映射原理
1.6 Banach 压缩映射原理 一.不动点问题 定义 1.6.1.设 $A$ 为非空集,$T: A \rightarrow A$ 为映射,若存在 $x \in A$ 使得 $T x=x$ ,则称 $x$ 为 $T$ 的不动点。 研究不动点问题的意义在于用来求解数学方程。代数方程,微分方程,积分方程,函数方程等都可以改写为 $T x=x$ 的形式,这样求解方程的问题就转化为寻找映射不动点的问题。 例如,对求解一元二次方程:$a x^2+b x+c=0$ ,令 $$ T x=a x^2+(b+1) x+c $$ 则问题转化为:求 $x \in R$ 满足 $T x=x$ . 不动点理论的主要研究内容包括: (1)不动点的存在性(建立不动点的存在条件); (2)给出不动点的求法(用迭代法逼近不动点)。 历史上著名的不动点结果有: 1.Brouwer 不动点定理(1912) $R ^n$ 中闭球上的连续映射存在不动点。 2.Schauder 不动点定理(1930)Banach 空间中非空紧凸集上的连续映射存在不动点。 3.Banach 压缩映射原理(1922)
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