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Banach 压缩映射原理及其应用

二．Banach 压缩映射原理及其应用
定理 1．6．1．（Banach 压缩映射原理）设 $(X, d)$ 为完备的距离空间，$T: X \rightarrow X$ 为压缩映射，即存在 $k \in[0,1)$ 使得

$$
d(T x, T y) \leq k d(x, y), \quad \forall x, y \in X
$$

则 $T$ 在 $X$ 上存在唯一的不动点。
证明 任取 $x_0 \in X$ ，令

$$
x_{n+1}=T x_n, n=0,1,2, \cdots
$$

下面证 $\left\{x_n\right\}$ 是柯西列。由于

$$
d\left(x_{n+1}, x_n\right)=d\left(T x_n, T x_{n-1}\right) \leq k d\left(x_n, x_{n-1}\right) \leq \cdots \leq k^n d\left(x_1, x_0\right)
$$

从而，注意到 $k<1$ ，有

$$
\begin{aligned}
d\left(x_{n+p}, x_n\right) & \leq d\left(x_{n+p}, x_{n+p-1}\right)+d\left(x_{n+p-1}, x_{n+p-2}\right)+\cdots+d\left(x_{n+1}, x_n\right) \\
& \leq k^{n+p-1} d\left(x_1, x_0\right)+k^{n+p-2} d\left(x_1, x_0\right)+\cdots+k^n d\left(x_1, x_0\right) \\
& =\frac{k^n\left(1-k^p\right)}{1-k} d\left(x_1, x_0\right) \\
& \leq \frac{k^n}{1-k} d\left(T x_0, x_0\right) \rightarrow 0, \quad(n \rightarrow \infty)
\end{aligned}
$$

故 $\left\{x_n\right\} \subset X$ 是柯西列，又 $X$ 完备，故存在 $\bar{x} \in X$ 使得 $x_n \xrightarrow{d} \bar{x}$ ．再由压缩映射是连续映射，对 $x_{n+1}=T x_n$ ，两边同时取极限，得

$$
\bar{x}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} T x_n=T\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_n\right)=T \bar{x}
$$

故 $\bar{x}$ 是 $T$ 的不动点。

Banach 压缩映射原理是泛函分析中最基本最有用的定理之一，数学分析中许多存在性定理都是它的特例，比如隐函数存在定理；可以广泛应用到方程求解，优化，控制等理论。

例 1．6．1．常微分方程的初值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=F(t, x) \\
x(0)=x_0
\end{array}\right.
$$

其中，$f(t, x)$ 为二元连续函数，且对变量 $x$ 关于 $t$ 一致地满足 Lipschitz 条件 ${ }^2: \exists L>0$ ，使得

$$
\left|f\left(t, x_1\right)-f\left(t, x_2\right)\right| \leq L\left|x_1-x_2\right|, \quad \forall t \in U(0)
$$

则只要 $h<1 / L$ ，就有方程（1．5）在 $C[-h, h]$ 上存在唯一解。
解 易知，常微分方程初值问题（1．5）等价于如下积分方程：

$$
x(t)=x_0+\int_0^t f(\tau, x(\tau)) d \tau
$$

定义映射

$$
(T x)(t)=x_0+\int_0^t f(\tau, x(\tau)) d \tau
$$

则积分方程（1．6）的求解问题可转化为求不动点问题，即寻找点 $x$ 使得 $x=T x$ ．
考虑初值点 $t=0$ 附近的解，即在完备距离空间 $C[-h, h]$ 上考察 $T$ ，显然 $T$ ： $C[-h, h] \rightarrow C[-h, h]$ ．下面寻找 $T$ 为压缩映射的条件。注意到 $f$ 满足 Lipschitz 条件，则有
$$
\begin{aligned}
d(T x, T y) & =\max _{t \in[-h, h]}\left|\int_0^t f(\tau, x(\tau))-\int_0^t f(\tau, y(\tau)) d \tau\right| \\
& \leq \max _{t \in[-h, h]} \int_0^t|f(\tau, x(\tau))-f(\tau, y(\tau))| d \tau \\
& \leq L \max _{t \in[-h, h]} \int_0^t|x(\tau)-y(\tau)| d \tau \\
& \leq \operatorname{Lh} \max _{\tau \in[-h, h]}|x(\tau)-y(\tau)| \\
& =\operatorname{Lh} \cdot d(x, y)
\end{aligned}
$$

故只要 $L h<1$ ，即 $h<1 / L$ ，就有 $T$ 是压缩映射，从而由 Banach 压缩映射原理，$T$ 存在唯一的不动点 $x_0 \in C[-h, h]$ 即为原微分方程初值问题的解。

例 1．6．2．Fredholm 积分方程：

$$
x(t)=\varphi(t)+\mu \int_a^b k(t, s) x(s) d s
$$

其中，$k(t, s), \varphi(t)$ 为 $a \leq t \leq b, a \leq s \leq b$ 上的连续函数。
证明

例 1．6．3．矩阵方程：$A x=b$ ，其中，

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right], \quad x=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

证明

例1．6．4．（隐函数存在定理）设 $F(x, y)$ 为二元函数，若满足
（1）在以 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 为内点的某区域 $D \subset R ^2$ 上连续；
（2）$F\left(x_0, y_0\right)=0$ ；
（3）在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_y^{\prime}(x, y)$ ，且 $F_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．则在点 $P_0$ 的某邻域 $U\left(P_0\right) \subset D$ ，方程 $F(x, y)=0$ 唯一地确定一个定义在某区间 $\left(x_0-\alpha, x_0+\alpha\right)$ 内的隐函数 $y=f(x)$ 满足 ${ }^3$
（i）$f\left(x_0\right)=y_0$ ，并且对 $\forall x \in\left(x_0-\alpha, x_0+\alpha\right)$ 都有

$$
(x, f(x)) \in U\left(P_0\right) \quad \text { 且 } \quad F(x, f(x))=0
$$

（ii）$f(x)$ 在 $\left(x_0-\alpha, x_0+\alpha\right)$ 内连续。
证明

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