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连续映射

## 三．连续映射
定义 1．2．5．设 $(X, d),(Y, \rho)$ 为距离空间，若映射 $T: X \rightarrow Y$ 满足：对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ 使得当 $d\left(x, x_0\right)<\delta$ 时，有 $\rho\left(T x, T x_0\right)<\varepsilon$ ．则称 $T$ 在 $x_0$ 点连续。若 $T$ 在每一点 $x \in X$ 都连续，则称 $T$ 在 $X$ 上连续。

注 1．2．2．＂$T$ 在 $x_0$ 点连续＂用集合语言描述如下：
对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $T\left(U\left(x_0, \delta\right)\right) \subset U\left(T x_0, \varepsilon\right)$
命题 1．2．7．设 $T$ 为从 $(X, d)$ 到 $(Y, \rho)$ 的映射，则 $T$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当 $X$ 中的任意点列 $x_n \xrightarrow{d} x_0$ ，都有 $T x_n \xrightarrow{\rho} T x_0$ ．

证明＂$\Rightarrow " . T$ 在 $x_0$ 点连续，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ 使得当 $d\left(x, x_0\right)<\delta$ 时，有 $\rho\left(T x, T x_0\right)<\varepsilon$ ．若 $x_n \xrightarrow{d} x_0$ ，则对前面的 $\delta$ ，存在 $N \in N$ 使得当 $n \geq N$ 时有 $d\left(x_n, x_0\right) \leq \delta$ ，从而 $\rho\left(T x, T x_0\right)<\varepsilon$ 。因此，$T x_n \xrightarrow{\rho} T x_0$ 。
＂$\Leftarrow$＂．假设 $T$ 在 $x_0$ 点不连续，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，使得对每个 $n \in N$ ，尽管 $d\left(x_n, x_0\right)<$ $1 / n$ ，但 $\rho\left(T x, T x_0\right) \geq \varepsilon_0$ ．故 $x_n \xrightarrow{d} x_0$ ，但 $T x_n$ 不依 $\rho$ 收敛到 $T x_0$ ，矛盾。

注 1．2．3．该命题表明，若 $T$ 连续，则极限号与 $T$ 可以交换顺序，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} T\left(x_n\right)=T\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_n\right)
$$

例 1．2．2．设 $T$ 为 $C[a, b]$ 上的积分算子，即

$$
T x=\int_a^b x(t) d t, \quad \forall x \in C[a, b]
$$

则 $T$ 为从 $C[a, b]$ 到 $R$ 上的连续映射。

证明 对 $\forall x, y \in C[a, b]$ ，记 $x=x(t), y=y(t)$ ，则

$$
\begin{aligned}
\rho(T x, T y) & =\left|\int_a^b x(t) d t-\int_a^b y(t) d t\right| \\
& \leq \int_a^b|x(t)-y(t)| d t \\
& \leq \max _{t \in[a, b]}|x(t)-y(t)|(b-a) \\
& =(b-a) d(x, y)
\end{aligned}
$$

故 $T$ 连续。
注 1．2．4．若 $\left\{x_n(t)\right\}$ 为 $C[a, b]$ 中的收敛点列，又 $T$ 连续，由极限号可以与 $T$ 交换顺序可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^b x_n(t) d t=\int_a^b\left[\lim _{n \rightarrow \infty} x_n(t)\right] d t
$$

注意到，$\left\{x_n(t)\right\}$ 在 $C[a, b]$ 中收敛，表示 $\left\{x_n(t)\right\}$ 一致收敛。所以，有结论：若 $\left\{x_n(t)\right\}$ 一致收敛，则积分号与极限号可交换顺序，即式（1．2）成立。

定理 1．2．1．设 $T$ 为从 $(X, d)$ 到 $(Y, \rho)$ 的映射，则下列条件等价：
（i）$T$ 连续；
（ii）$Y$ 的任一开集在 $T$ 下的原象是 $X$ 中的开集；
（iii）$Y$ 的任一闭集在 $T$ 下的原象是 $X$ 中的闭集。

证明（i）$\Rightarrow$（ii）．设 $T$ 连续，$G \subset Y$ 为开集．不妨设 $T^{-1}(G) \neq \varnothing$ ，任取 $x_0 \in T^{-1}(G)$ ，则 $T\left(x_0\right) \in G$ ．由于 $G$ 是开集，则 $\exists \varepsilon>0$ 使得 $U\left(T x_0, \varepsilon\right) \subset G$ ．又 $T$ 连续，则对上述 $\varepsilon, \exists \delta>0$ 使得

$$
T\left(U\left(x_0, \delta\right)\right) \subset U\left(T x_0, \varepsilon\right) \subset G
$$

从而 $U\left(x_0, \delta\right) \subset T^{-1}(G)$ 。这就证明了 $x_0$ 是 $T^{-1}(G)$ 的内点。因此，$T^{-1}(G)$ 是开集。
（ii）$\Rightarrow$（i）．设 $x_0 \in X$ ，对 $\forall \varepsilon>0$ ，都有 $U\left(T x_0, \varepsilon\right)$ 是 $Y$ 中的开集，从而由（ii）知 $T^{-1}\left(U\left(T x_0, \varepsilon\right)\right)$ 是 $X$ 中的开集．又 $x_0 \in T^{-1}\left(U\left(T x_0, \varepsilon\right)\right)$ ，则存在 $\delta>0$ 使得

$$
U\left(x_0, \delta\right) \subset T^{-1}\left(U\left(T x_0, \varepsilon\right)\right)
$$

故 $T\left(U\left(x_0, \delta\right)\right) \subset U\left(T x_0, \varepsilon\right)$ ，从而 $f$ 在点 $x_0$ 连续，再由 $x_0$ 的任意性知 $f$ 连续。
（ii）$\Rightarrow$（iii）．设 $F \subset Y$ 为闭集，则 $F^c$ 是开集，故由（ii）知 $T^{-1}\left(F^c\right)$ 是 $X$ 中的开集．于是，$T^{-1}(F)=\left(T^{-1}\left(F^c\right)\right)^c$ 是 $X$ 中的闭集．（iii）$\Rightarrow$（ii）类似。

定义 1．2．6．设 $T$ 为从 $(X, d)$ 到 $(Y, \rho)$ 的双射，若 $T$ 与 $T^{-1}$ 都连续，则称 $T$ 为同胚映射，此时也称空间 $X$ 与 $Y$ 拓扑同胚。

例1．2．3．（1）定义 $T: R \rightarrow(-\pi / 2, \pi / 2)$ 为 $T x=\arctan x$ ，则 $T^{-} 1(y)=\tan y$ ，二者均连续，从而 $T$ 是从 $R$ 到 $(-\pi / 2, \pi / 2)$ 的同胚映射。
（2）定义 $T: R \rightarrow R ^{+}$为 $T x=e^x$ ，则 $T^{-} 1(y)=\ln x$ ，二者均连续，从而 $T$ 是从 $R$ 到 $R ^{+}$的同胚映射。

定义 1．2．7．设 $T$ 为从 $(X, d)$ 到 $(Y, \rho)$ 的映射，若对 $\forall x, y \in X$ 都有
$$
\rho(T x, T y)=d(x, y)
$$

则称 $T$ 为等距映射，此时也称距离空间 $X$ 与 $Y$ 等距。
注 1．2．5．（i）等距映射是连续映射；
（ii）等距的两个距离空间，在等距的意义下，可以认为是同一距离空间。

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