最后更新: 2025-12-01 20:11 查看: 32 次纠错评论(0) 课件开VIP

曲率

6．1．4 内禀曲率
在 $1,2,3$ 和 4 维中，黎曼张量独立分量的数目分别为 $0,1,6$ 和 20 ．因此一维流形 （如 $S^1$ ）总是平直的，不会是弯曲的．说一个圆 $S^1$ 不弯曲似乎是很奇怪的，但以内禀的观点看它确实是平直的。我们认为其弯曲的几何直觉源自把圆嵌入了高维的空间，圆的弯曲来自它的嵌人，即外曲率（extrinsic curvature）。如果我们只关心流形的内禀曲率（intrinsic curvature），与嵌人无关的话，圆或者任意曲线都是平直的．

在二维中，曲率只有一个独立分量 $R_{1212}$ ．实际上，所有与曲率相关的信息都包含在里奇标量中．因此，在二维中黎曼张量和里奇标量间必然有一个联系：

$$
R_{\mu \nu \sigma \rho}=\frac{1}{2} R\left(g_{\mu \sigma} g_{\nu \rho}-g_{\nu \sigma} g_{\mu \rho}\right) .
$$

如何得到这个关系呢？首先我们必须考虑黎曼张量所满足的对称性，其次黎曼张量的收缩得到里奇标量．（6．53）式是唯一把黎曼张量表达成里奇标量的线性函数的张量公式。

例6．1 圆柱面．
考虑一个圆柱面 $I \times S^1$ ，其中 $I$ 为一个闭区间，如图6．6所示，它可以通过把长方形的一组对边粘合来得到．其上的诱导度规都是常数，因此圆柱面实际是平直的．这是另外一个显示外曲率和内禀曲率不同的例子．4．4．1 小节讲过，一个在圆柱面上运动的小虫感觉不到任何弯曲．

![图片](/uploads/2025-12/e438bc.jpg)
 
 例 6.2 亏格为 1 的环面．
进一步可以构造环面。它可以通过把长方形的两组对边等同粘合（即把圆柱面的上下两个圆粘合）得到，也就是说它是 $S^1 \times S^1$ ，如图 6.7 所示．环面也是平直的．
 ![图片](/uploads/2025-12/b7c97f.jpg)
 
 在二维中，爱因斯坦张量恒为零，

$$
G_{\mu \nu}=0,
$$

这很容易利用上面黎曼张量和里奇标量间的关系得到证明．在二维中引力是平凡的，没有任何动力学自由度．

在三维中，黎曼张量有六个独立的分量．注意到里奇张量是对称张量，在三维中也有六个分量．因此在黎曼张量和里奇张量间必然有一个关系．与高维引力和二维引力不同，三维引力有些特殊．尽管在三维中不存在局域的动力学自由度，但有可能存在一些整体的自由度．特别地，已经发现三维反德西特（AdS）时空中存在整体的边界自由度，因此有非平凡的黑洞解存在．三维 AdS 引力具有非常丰富的物理内容．