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基灵矢量

6.2 基 灵 矢 量

物理上，粒子运动的守恒量与时空的对称性密不可分．时间和空间平移对称性是点粒子运动时能量和动量守恒的原因，而转动对称性是角动量守恒的原因。因此，了解一个时空的对称性具有重要的物理意义。对于弯曲时空，一般没有整体坐标来覆盖整个流形，我们希望得到与坐标选择无关的矢量来刻画时空流形的对称性．

考虑度规场在广义坐标变换下的变换

$$
g_{\alpha \beta}^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right)=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime \alpha}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime \beta}} g_{\mu \nu}(x),
$$

或者

$$
g_{\mu \nu}(x)=\frac{\partial x^{\prime \alpha}}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^{\prime \beta}}{\partial x^\nu} g_{\alpha \beta}^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right.
$$

$x^{\prime}$ 和 $x$ 实际上对应着同一个物理事件点，但在不同的坐标卡中．保度规（isometry）意味着在此变换下，度规场的泛函形式不变，$g_{\alpha \beta}^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right)=g_{\alpha \beta}\left(x^{\prime}\right)$ 。这样的变换称为保度规变换，它保持一个矢量的长度不变。所有的保度规变换构成一个群，称为保度规群 （isometry group）．这个群的生成元可以通过考虑一个无穷小的坐标变换来得到．考虑一个无穷小的坐标变换
$$
\begin{aligned}
&x^{\prime \alpha}=x^\alpha+\epsilon \xi^\alpha(x)\\
&\text { 度规场的变换要求 }\\
&\begin{aligned}
g_{\mu \nu}(x) & =\left(\delta_\mu^\alpha+\epsilon \partial_\mu \xi^\alpha\right)\left(\delta_\nu^\beta+\epsilon \partial_\nu \xi^\beta\right)\left(g_{\alpha \beta}+\epsilon \xi^\gamma \partial_\gamma g_{\alpha \beta}\right) \\
& =g_{\mu \nu}+\epsilon \delta_\nu^\beta \partial_\mu \xi^\alpha g_{\alpha \beta}+\epsilon \delta_\mu^\alpha \partial_\nu \xi^\beta g_{\alpha \beta}+\epsilon \delta_\nu^\beta \delta_\mu^\alpha \xi^\gamma \partial_\gamma g_{\alpha \beta}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

这导致

$$
\begin{aligned}
& 0=\epsilon\left(g_{\alpha \nu} \partial_\mu \xi^\alpha+g_{\beta \mu} \partial_\nu \xi^\beta+\partial_\gamma g_{\mu \nu} \xi^\gamma\right) \\
\Rightarrow & \partial_\mu \xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu-\xi^\alpha \partial_\mu g_{\alpha \nu}-\xi^\beta \partial_\nu g_{\beta \mu}+\xi^\gamma \partial_\gamma g_{\mu \nu}=0 \\
\Rightarrow & 2 \partial_{\{\mu} \xi_{\nu\}}-2 \xi_\gamma \Gamma_{\mu \nu}^\gamma=0 \\
\Rightarrow & \xi_{\nu ; \mu}+\xi_{\mu ; \nu}=0
\end{aligned}
$$

也就是说，无穷小变换的生成元满足

$$
\nabla_\mu \xi_\nu+\nabla_\nu \xi_\mu=0
$$

这个方程称为基灵方程。
定义 基灵矢量是保度规群的无穷小生成元，满足基灵方程

$$
\nabla_\mu \xi_\nu+\nabla_\nu \xi_\mu=0
$$

利用李导数，基灵方程可写作

$$
\left(£_{\widehat{\xi}} g\right)_{\mu \nu}=0 .
$$

令 $\phi_t: M \rightarrow M$ 是产生基灵矢量 $\widehat{\xi}$ 的单参数变换群，方程（6．73）说明，当我们沿 $\phi_t$ 运动时，局部几何不变。也就是说，基灵矢量场代表着流形对称性的方向。

基灵矢量对应时空流形的某种对称性。首先，通过选择合适的坐标系可以让我们方便地描述基灵矢量。实际上，对于一个基灵矢量 $\widehat{\xi}$ ，总存在一个坐标系 $\{\widetilde{x}\}$ 使基灵矢量的分量取作

$$
\widetilde{\xi}^1=[\text { constant }]=b, \quad \widetilde{\xi}^\mu=0(\mu \neq 1) .
$$

这一点可以这样来证明：给定一个坐标系 $\left\{x^\mu\right\}$ ，基灵矢量的分量为 $\left\{\xi^\mu\right\}$ ．由矢量的变换规则，有

$$
\widetilde{\xi}^\mu=\frac{\partial \widetilde{x}^\mu}{\partial x^\alpha} \xi^\alpha \Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial \widetilde{x}^1}{\partial x^\alpha}, & \xi^\alpha=b \\ \frac{\partial \widetilde{x}^\mu}{\partial x^\alpha}, & \xi^\alpha=0, \quad \mu \neq 1\end{cases}
$$

这是一组系数为 $\xi^\alpha$ 的线性微分方程，总是可解的．因此，我们总可以找到坐标系 $\{\widetilde{x}\}$ ，在其中基灵矢量的分量取作（6．74）式．进一步地，在此坐标系中，基灵方程（6．70）中第一式给出

$$
\frac{\partial \widetilde{g}_{\mu \nu}}{\partial \widetilde{x}^1}=0 .
$$

也就是说，$\widetilde{g}_{\mu \nu}$ 与 $\widetilde{x}^1$ 无关，即任何 $\widetilde{x}^1$ 的有限变换都是 $\widetilde{g}_{\mu \nu}$ 的对称性．这样我们就有了一条判断基灵矢量的简单方法：如果 $g_{\mu \nu}$ 不依赖于某个坐标，则沿此坐标的平移就是一个基灵矢量。 原则上，我们总可以发现＂正确＂的坐标系使基灵对称性明显，然而，这不见得是方便的选择。

例 6.6 三维欧氏空间 $R^3$ 上的基灵矢量。
三维欧氏空间 $R^3$ 上的度规为 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2$ 。显然，我们有基灵矢量

$$
X^\mu=(1,0,0), \quad Y^\mu=(0,1,0), \quad Z^\mu=(0,0,1) .
$$

欧氏空间中应该还有转动不变性。为此，我们换到球坐标里，度规为

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2+r^2 \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2 .
$$

易见 $\widehat{R}=\partial_\phi=-y \partial_x+x \partial_y$ 是一个基灵矢量，表示绕 $z$ 轴的转动，它在笛卡儿坐标系下的分量为

$$
R^\mu=(-y, x, 0) .
$$

同理，我们可以得到绕 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动对应的基灵矢量

$$
S^\mu=(z, 0,-x), \quad T^\mu=(0,-z, y) .
$$

例 6.7 四维平直时空．
如果我们取直角坐标，度规为 $\eta_{\mu \nu}$ ，其分量与所有的坐标无关，所以沿四个方向的平移都是基灵矢量。而在极坐标下，我们可以看到转动对称性，包括洛伦兹转动和空间转动，这些转动形成了洛伦兹群。因此四维闵氏时空的保度规群是庞加莱群。

基灵矢量的物理意义在于如果时空流形上存在基灵矢量，则可以定义与之相关的守恒量．考虑一个有质量粒子的运动，其4－动量为 $p^\mu=m u^\mu$ 。它的测地线由 $p^\lambda \nabla_\lambda p_\mu=$ 0 给出，即

$$
p^\lambda \partial_\lambda p_\mu-\Gamma_{\lambda \mu}^\alpha p^\lambda p_\alpha=0
$$

（6．81）式第一项 $p^\lambda \partial_\lambda p_\mu=m \frac{\mathrm{~d} x^\lambda}{\mathrm{d} \tau} \partial_\lambda p_\mu=m \frac{\mathrm{~d} p_\mu}{\mathrm{d} \tau}$ 表示动量分量沿测地线的变化，而第二项为

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{\lambda \mu}^\alpha p^\lambda p_\alpha & =\frac{1}{2} g^{\sigma \alpha}\left(\partial_\lambda g_{\sigma \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \sigma}-\partial_\sigma g_{\lambda \mu}\right) p^\lambda p_\alpha \\
& =\frac{1}{2}\left(\partial_\lambda g_{\sigma \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \sigma}-\partial_\sigma g_{\lambda \mu}\right) p^\lambda p^\sigma \\
& =\frac{1}{2} \partial_\mu g_{\lambda \sigma} p^\lambda p^\sigma
\end{aligned}
$$

因此，测地线方程给出

$$
m \frac{\mathrm{~d} p_\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{1}{2} \partial_\mu g_{\lambda \sigma} p^\lambda p^\sigma .
$$

如果 $g_{\lambda \sigma}$ 与某坐标 $x^\mu$ 无关，则相应的动量 $p_\mu$ 沿测地线是守恒的，

$$
\partial_\mu g_{\lambda \sigma}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} p_\mu}{\mathrm{d} \tau}=0 .
$$

所以，时空流形的基灵矢量给出粒子运动的守恒量。一般性地，我们可以考虑基灵矢量 $\widehat{\xi}$ 与粒子 4－动量的内积沿测地线的变化：

$$
\begin{aligned}
p^\mu \nabla_\mu\left(\xi_\nu p^\nu\right) & =p^\mu \xi_\nu \nabla_\mu p^\nu+p^\mu p^\nu \nabla_\mu \xi_\nu \\
& =p^\mu p^\nu \nabla_\mu \xi_\nu \\
& =p^\mu p^\nu \nabla_{(\mu} \xi_{\nu)}
\end{aligned}
$$

由基灵方程知

$$
\nabla_{(\mu} \xi_{\nu)}=0 \Rightarrow p^\mu \nabla_\mu(\widehat{\xi} \cdot \widehat{p})=0,
$$

也就是说，内积 $\widehat{\xi} \cdot \widehat{p}$ 是守恒量．

定理 如果时空流形存在基灵矢量场 $\widehat{\xi}$ ，而沿测地线运动的粒子（无论是有质量还是无质量）具有 4 －动量 $\widehat{p}$ ，则 $\widehat{\xi} \cdot \widehat{p}$ 是沿测地线不变的守恒量，

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}(\widehat{\xi} \cdot \widehat{p})=0 .
$$

每一个基灵矢量都定义了一个与测地运动相关的守恒量。这在讨论粒子在弯曲时空中的运动时是非常有用的。由定义，度规在基灵矢量方向上是不变的。不严格地说，一个自由粒子在此方向上感觉不到任何力，其动量分量因此也是守恒的。我们可以与平直时空的情形做类比。我们知道平直时空中时间平移不变性意味着能量守恒，空间平移不变性意味着动量守恒，而转动不变性意味着角动量守恒。这些守恒量都可以按照我们刚才的讨论来理解。

进一步地，我们可以定义基灵张量，它满足

$$
\nabla_{(\mu} K_{\left.\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l\right)}=0 .
$$

与基灵矢量一样，我们有

$$
p^\mu \nabla_\mu\left(K_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} p^{\nu_1} \cdots p^{\nu_l}\right)=0 .
$$
也就是说，基灵张量也可以定义粒子运动的守恒量．一个基灵张量的简单例子是考虑基灵矢量对称化的张量积。

由于基灵矢量是时空流形的对称性，利用基灵矢量我们不仅可以定义点粒子的守恒量，也可以来定义整个时空的守恒量。如果我们有一个类时基灵矢量 $\widehat{\xi}$ ，可以定义

$$
J_T^\mu=\xi_\nu T^{\mu \nu} \Rightarrow \nabla_\mu J_T^\mu=0
$$

则

$$
E_T=\int_{\Sigma} J_T^\nu n_\mu \sqrt{\gamma} \mathrm{d}^3 x
$$

对任何类空超曲面的积分都是不变的，即为一个守恒量．如果存在类空基灵矢量，我们可以定义守恒的动量或者角动量。

在本节最后我们给出与基灵矢量相关的两个有用的等式：

$$
\begin{aligned}
\nabla_\mu \nabla_\sigma \xi^\rho & =R_{\sigma \mu \nu}^\rho \xi^\nu \\
\xi^\lambda \nabla_\lambda R & =0
\end{aligned}
$$

它们将在后面的讨论中用到，具体证明留作练习．

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