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最大对称空间

6.3 最大对称空间

基灵矢量是保度规群的无穷小生成元，也就是说基灵矢量形成封闭的李代数。严格地说，这些矢量并非常数矢量，而是矢量场。在 $n \geqslant 2$ 维时，一个流形的基灵矢量场数目可以比其维数大。在一个给定的点，矢量可能是线性相关的．对于 $\sum_n c_n \widehat{V}^{(n)}$ ，如果 $c_n \in R$ 且 $\widehat{V}^{(n)}$ 是基灵矢量，则组合后仍是基灵矢量，但如果 $c_n \in \mathcal{F}(\mathcal{M})$ 是函数，则线性组合后并非基灵矢量。然而，如果 $\widehat{X}, \widehat{Y}$ 是基灵矢量，它们的对易子 $[\widehat{X}, \widehat{Y}]$ 仍是基灵矢量。换句话说，基灵矢量场构成李代数，这个代数是时空流形保度规群的李代数。下面我们证明基灵矢量场的对易子仍是基灵矢量场。

定理 两个基灵矢量场的对易子仍是基灵矢量场。
证明 令 $\widehat{X}, \widehat{Y}$ 是基灵矢量场，它们的对易子为

$$
[\widehat{X}, \widehat{Y}]^\mu=\left[X^\sigma \partial_\sigma, Y^\rho \partial_\rho\right]^\mu=X^\sigma \partial_\sigma Y^\mu-Y^\sigma \partial_\sigma X^\mu
$$

然后我们考虑

$$
\begin{aligned}
\nabla^{(\nu}[\widehat{X}, \widehat{Y}]^{\mu)}= & \nabla^\nu\left(X^\sigma \partial_\sigma Y^\mu-Y^\sigma \partial_\sigma X^\mu\right)+(\nu \leftrightarrow \mu) \\
= & \left(\nabla^\nu X^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma Y^\mu\right)+X^\sigma \nabla^\nu \nabla_\sigma Y^\mu \\
& -\left(\nabla^\nu Y^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma X^\mu\right)-Y^\sigma \nabla^\nu \nabla_\sigma X^\mu+(\nu \leftrightarrow \mu) \\
= & -\left(\nabla^\sigma X^\nu\right)\left(\nabla_\sigma Y^\mu\right)-X^\sigma \nabla^\nu \nabla^\mu Y_\sigma \\
& +\left(\nabla^\sigma Y^\nu\right)\left(\nabla_\sigma X^\mu\right)+Y^\sigma \nabla^\nu \nabla^\mu X_\sigma+(\nu \leftrightarrow \mu) \\
= & -X^\sigma R_\sigma^{\nu \mu}{ }_\rho Y^\rho+Y^\sigma R_\sigma^{\nu \mu}{ }_\rho X^\rho+(\nu \leftrightarrow \mu) \\
= & 0 .
\end{aligned}
$$

因此，$[\widehat{X}, \widehat{Y}]$ 确实是基灵矢量场。基灵矢量场的集合 $\{\widehat{X}\}$ 是保度规群的李代数。
$n$ 维平直空间 $R^n$ 有 $n$ 个平移和 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个转动基灵矢量．固定一个点 $P$ ，最多有 $n$ 个平移。而保持点 $P$ 不动，考虑可能的转动，任意选择两个坐标轴即可定义此平面中的转动．所以总共有

$$
n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}
$$

个基灵矢量．$n$ 维弯曲时空的局部是一个平直时空．可以期待 $n$ 维平直时空是我们能够得到的对称性最好的空间．最大对称时空是具有最多可能基灵矢量场的时空．

定理 一个 $n$ 维时空最多拥有 $n(n+1) / 2$ 个基灵矢量场。
证明 对一个基灵矢量，$\nabla_{(\mu} \xi_{\nu)}=0$ ．由于

$$
\nabla_\sigma \nabla_\rho \xi_\mu=-R_{\sigma \rho \mu}^\lambda \xi_\lambda,
$$

在点 $X$ 处基灵矢量场的所有导数都由 $\xi_\sigma$ 和 $\xi_{\sigma ; \rho}$ 的线性组合确定，所以 $\xi_\mu(x)$ 的泰勒展开为

$$
\xi_\rho(x)=A_\rho{ }^\lambda(x ; X) \xi_\lambda(X)+B_\rho{ }^{\lambda \nu}(x ; X) \xi_{\lambda ; \nu}(X),
$$

只包含 $\xi_\sigma$ 和 $\xi_{\sigma ; \rho}$ ，其中 $A, B$ 是依赖于 $g_{\mu \nu}$ 和 $X$ 的函数，因此它们对所有的基灵矢量都一样．一组基灵矢量 $\xi_\rho^n(x)$ 称为线性独立的，如果它们不满足 $\sum_n c_n \xi_\rho^n(x)=0$ ，其中 $c_n$ 为常数。因此在 $n$ 维中最多有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个基灵矢量：
（1）$\xi_\lambda(X): n$ 个；
（2）$\xi_{\lambda ; \nu}(X): \frac{n(n-1)}{2}$ 个，因为 $\xi_{(\lambda ; \nu)}(X)=0$ ．

最大对称空间是在所有点上都均匀（homogeneous）和各向同性（isotropic）的空间．均匀意味着空间中没有哪个点是特殊的，总存在基灵矢量把任意给定点移到它附近的任何其他点。而各向同性是在保持某点 $X$ 固定时使 $\xi^\lambda(X)=0$ 而使 $\xi_{\lambda ; \nu}(X)$ 取所有可能的值．各向同性意味着在流形上任意一个点，各个方向都是相同的，也就是说具有转动不变性．

命题 最大对称空间即常曲率空间，它的黎曼张量必然取如下形式：

$$
R_{\lambda \rho \sigma \nu}=K\left(g_{\lambda \sigma} g_{\rho \nu}-g_{\lambda \nu} g_{\rho \sigma}\right),
$$

其中 $K$ 是一个常数，

$$
K=\frac{R}{n(n-1)}
$$

证明 假设 $\widehat{\xi}$ 是一个基灵矢量场，其协变导数也是一个张量．对于张量 $\nabla_\sigma \xi_\rho$ ，我们有

$$
\left(\nabla_\mu \nabla_\nu-\nabla_\nu \nabla_\mu\right) \nabla_\sigma \xi_\rho=R_{\rho \mu \nu}^\lambda \nabla_\sigma \xi_\lambda+R_{\sigma \mu \nu}^\lambda \nabla_\lambda \xi_\rho .
$$

利用基灵方程 $\nabla_\sigma \xi_\rho=-\nabla_\rho \xi_\sigma$ ，以及我们前面提到的等式 $\nabla_\mu \nabla_\nu \xi_\rho=R^\lambda{ }_{\mu \nu \rho} \xi_\lambda$ ，由 （6．100）式可以得到

$$
\begin{aligned}
0= & \nabla_\mu\left(R_{\nu \sigma \rho}^\lambda \xi_\lambda\right)-\nabla_\nu\left(R_{\mu \sigma \rho}^\lambda \xi_\lambda\right)-R_{\rho \mu \nu}^\lambda \nabla_\sigma \xi_\lambda-R_{\sigma \mu \nu}^\lambda \nabla_\lambda \xi_\rho \\
= & \left(\nabla_\mu R_{\nu \sigma \rho}^\lambda-\nabla_\nu R_{\mu \sigma \rho}^\lambda\right) \xi_\lambda \\
& +R_{\nu \sigma \rho}^\lambda \nabla_\mu \xi_\lambda-R_{\mu \sigma \rho}^\lambda \nabla_\nu \xi_\lambda-R_{\rho \mu \nu}^\lambda \nabla_\sigma \xi_\lambda+R_{\sigma \mu \nu}^\lambda \nabla_\rho \xi_\lambda \\
= & \left(\nabla_\mu R_{\nu \sigma \rho}^\lambda-\nabla_\nu R_{\mu \sigma \rho}^\lambda\right) \xi_\lambda \\
& +\left(R_{\nu \sigma \rho}^\lambda \delta_\mu^\gamma-R_{\mu \sigma \rho}^\lambda \delta_\nu^\gamma-R_{\rho \mu \nu}^\lambda \delta_\sigma^\gamma+R_{\sigma \mu \nu}^\lambda \delta_\rho^\gamma\right) \nabla_\gamma \xi_\lambda .
\end{aligned}
$$

上面的讨论对于时空没有要求。最后的关系式中包含正比于基灵矢量的项，以及与基灵矢量的一阶协变导数相关的项。如果考虑最大对称空间，前面的讨论告诉我们，基灵矢量的个数加上其协变导数的独立个数等于最大对称空间的基灵矢量的数目，因此， （6．101）式不应该把基灵矢量和基灵矢量的协变导数联系起来，否则这些量就并非线性独立的．这意味着（6．101）式在最大对称空间中成立的条件是基灵矢量前面的系数以及基灵矢量协变导数前面的系数都必须等于零。再利用基灵矢量的定义，我们知道其协变导数对称化以后不会给出限制，因此我们只需要考虑其反对称部分前面的系数即可．这样我们得到

$$
\begin{gathered}
\nabla_\mu R_{\nu \sigma \rho}^\lambda=\nabla_\nu R_{\mu \sigma \rho}^\lambda, \\
R_{\nu \sigma \rho}^\lambda \delta_\mu^\gamma-R_{\mu \sigma \rho}^\lambda \delta_\nu^\gamma-R_{\rho \mu \nu}^\lambda \delta_\sigma^\gamma+R_{\sigma \mu \nu}^\lambda \delta_\rho^\gamma-(\lambda \leftrightarrow \gamma)=0 .
\end{gathered}
$$

对（6．102）式第二式进行适当的缩并，我们发现

$$
\begin{aligned}
& (n-1) R_{\nu \sigma \rho}^\lambda=R_{\nu \rho} \delta_\sigma^\lambda-R_{\nu \sigma} \delta_\rho^\lambda, \\
& n R_\rho^\mu=R \delta_\rho^\mu, \quad R=\text { 常数. }
\end{aligned}
$$

这实际上等价于上面得到的黎曼张量与里奇标量间的关系。
常曲率空间被 $K$ 唯一地确定．在固定的维数，除去平直时空外，还有其他最大对称时空。对于黎曼流形而言：
（1）$K=0$ ，欧氏平直空间．
（2）$K>0$ ，球面（ $R>0$ ，正常数曲率）．如果取球坐标，我们可以很容易得到其标量曲率 $R \propto 1 / a^2$ ，其中 $a$ 是球面的半径．这里标量曲率与半径的依赖关系很容易通过量纲分析来得到：度规场是无量纲的，黎曼张量的量纲是长度量纲的负二次幂，而球面唯一的尺度是其半径，所以标量曲率一定与半径的平方成反比．
（3）$K<0$ ，即 $R<0$ ，双曲空间．对于双曲空间，我们可以取所谓的庞加莱坐标，在其中度规为

$$
\mathrm{d} s^2=\frac{L^2}{r^2}\left(\mathrm{~d} r^2+\mathrm{d} \boldsymbol{x}^2\right),
$$

其中 $L$ 称为双曲空间的半径．当然，由于双曲空间非紧，$L$ 只是这个空间的一个尺度．计算这个空间的标量曲率可得 $R \propto-1 / L^2$ ．

因此，在宇宙学中如果我们认为宇宙学原理成立，则其中的空间可以是上面三种空间中的一种，分别对应平直宇宙、闭宇宙和开宇宙。双曲空间的典型例子是 $H^2: 2$维双曲面，即庞加莱上半平面，或者罗巴切夫斯基空间。

对于赝黎曼流形，分类如下：如果 $R=0$ ，对应闵氏时空．如果 $R>0$ ，对应德西特 （de Sitter）时空．德西特时空在宇宙学中有着重要的应用．在宇宙学的标准模型中，极早期宇宙存在一个暴胀时期．此时，近似于存在着一个正的宇宙学常数，标度因子的增长是指数形式的，因此这个阶段可以认为是一个近似德西特时期。而在宇宙现阶段，观测发现宇宙处于加速膨胀中，源于暗能量的驱动．在将来，宇宙将进人渐近德西特时空阶段。然而，德西特时空有一些奇特的性质：它存在一个宇宙学视界，可以定义温度和熵．由于宇宙学视界的存在，德西特时空中的物理是很奇怪的，对于观测者而言只有有限多个自由度．

最后，当 $R<0$ 时，对应着反德西特时空．反德西特时空也有很有趣的物理应用．近年来，量子引力的重要发展来自所谓的 AdS／CFT 对应：反德西特时空中的量子引力与其边界上的共形场论等价．这个对应关系实现了量子引力的全息原理，提供了量子引力的全新定义．

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