最后更新: 2025-12-01 20:08 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

曲率和挠率张量的定义

在平直欧氏空间和闵氏时空中，平直性表现为几个方面．首先，在平直空间中一个矢量沿一条闭合曲线平行移动回到起点，移动后的矢量与原矢量一样，不会发生变化．也就是说，在平直时空中任意两点间都可以平行移动矢量，与路径的选择无关．其次，平直空间中张量的两次导数是对易的．最后，平直时空中刚开始平行的测地线会保持平行．

曲率描述了一个时空流形的弯曲程度，刻画了与平直性的偏离，因此上述平直性的三个表现需要修改，都与曲率张量有关．首先，在弯曲空间中，矢量或者张量的平行移动与路径选取有关．在无穷小的区域中我们可以由此定义黎曼张量．其次，在弯曲空间中张量的两次协变导数不再对易，对易子与曲率张量有关。最后，弯曲空间中起初平行的测地线不能保持平行，由此我们可以得到测地偏离方程，依赖于曲率张量．
6.1 曲 率 张 量

6．1．1 曲率和挠率张量的定义
我们从第一种观点出发来引进曲率的概念．在一个弯曲空间中，一个矢量沿闭合圈的平行移动将会给出矢量的一个变换．最终的变换依赖于圈所包括的总曲率．而曲率的一个局域描述是黎曼（曲率）张量．想象我们沿着由两个矢量 $\widehat{A}$ 和 $\widehat{B}$ 定义的闭合圈平行移动一个矢量 $\widehat{V}$ ，如图 6.1 所示．

注意这里定义的圈是非常小的，两个矢量实际上给出的更多的是方向而非大小。当这个矢量 $\widehat{V}$ 回到起点时如何变化呢？首先，它是原矢量的一个线性变换，因此包含一个上指标和一个下指标。其次，它依赖于矢量 $\widehat{A}$ 和 $\widehat{B}$ 确定的路径，因此应该包含另外两个指标与 $A^\nu$ 和 $B^\mu$ 收缩。此外，张量必然对上述两个矢量相关的指标反对称，因为交换矢量相应于把闭合圈反向，所以平行移动矢量会得到相反的结果。最终，我们期待

$$
\delta V^\rho=(\delta a)(\delta b) A^\nu B^\mu R^\rho{ }_{\sigma \mu \nu} V^\sigma,
$$

其中 $R^\rho{ }_{\sigma \mu \nu}$ 是一个 $(1,3)$ 型张量，称为黎曼张量，或者直接称为曲率张量．这里 $\delta a$ 和
 ![图片](/uploads/2025-11/28be23.jpg)
 
 $\delta b$ 是形成圈的两个矢量的大小．这个张量的一个性质是

$$
R_{\sigma \mu \nu}^\rho=-R_{\sigma \nu \mu}^\rho
$$

黎曼张量的具体表达式可以从上面的定义中得到。我们先忽略两个矢量沿着对方的方向做平行移动是否封闭的问题，假定它们平移后确实得到上面的平行四边形，则不妨假定出发的位置是 $p$ 点，无穷小矢量 $\widehat{A}$ 从 $p$ 到 $q$ ，而 $\widehat{B}$ 从 $p$ 到 $s$ ，形成平行四边形后的另一个点是 $r$ ．在同一个坐标系下，这些点的坐标是

$$
p: x^\mu, \quad q: x^\mu+\epsilon^\mu, \quad s: x^\mu+\delta^\mu, \quad r: x^\mu+\epsilon^\mu+\delta^\mu .
$$

一个矢量 $V^\mu$ 的平行移动要求 $\nabla_\nu V^\mu=\partial_\nu V^\mu+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma=0$ 可以变形为

$$
\partial_\nu V^\mu=-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma
$$

如果矢量 $V^\mu(p)=V_0^\mu$ 是沿着 $\widehat{A}$ 移动到 $q$ 点，则有

$$
\frac{V^\mu(q)-V_0^\mu}{\epsilon^\nu}=-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma
$$

也就是说

$$
V^\mu(q)=V_0^\mu-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu(p) V_0^\sigma \epsilon^\nu .
$$

进一步地，我们把矢量从 $q$ 平移到 $r$ ，则有

$$
\begin{aligned}
V_C^\mu(r)= & V^\mu(q)-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(q) V^\kappa(q) \delta^\nu \\
= & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-\left(V_0^\kappa-\Gamma_{\sigma \rho}^\kappa(p) V_0^\rho \epsilon^\sigma\right)\left(\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)+\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \epsilon^\lambda\right) \delta^\nu \\
\approx & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-V_0^\kappa \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \delta^\nu \\
& -V_0^\kappa\left(\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)-\Gamma_{\lambda \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\nu \rho}^\mu(p)\right) \epsilon^\lambda \delta^\nu
\end{aligned}
$$

其中下标 $C$ 代表矢量移动的路径是先经过 $q$ 再到 $r$ ，我们只保留到二阶小量．另一方面，如果我们选择另一条路径 $C^{\prime}$ 从 $p$ 到 $s$ 再到 $r$ ，则有

$$
\begin{aligned}
V_{C^{\prime}}^\mu(r) \approx & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-V_0^\kappa \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \delta^\nu \\
& -V_0^\kappa\left(\partial_\nu \Gamma_{\lambda \kappa}^\mu(p)-\Gamma_{\nu \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\lambda \rho}^\mu(p)\right) \epsilon^\lambda \delta^\nu
\end{aligned}
$$

这样，经过不同路径平行移动到达同一点 $r$ 的矢量间的差别是

$$
V_{C^{\prime}}^\mu(r)-V_C^\mu(r)=V_0^\kappa R_{\kappa \lambda \nu}^\mu(p) \epsilon^\lambda \delta^\nu,
$$

其中

$$
R_{\kappa \lambda \nu}^\mu(p)=\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)-\partial_\nu \Gamma_{\lambda \kappa}^\mu(p)+\Gamma_{\nu \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\lambda \rho}^\mu(p)-\Gamma_{\lambda \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\nu \rho}^\mu(p) .
$$

如前面所述，在这个推导中，我们实际上假定了平行移动两个矢量后得到一个封闭的平行四边形．这相当于假定了无挠条件以及选择了坐标基矢，从而有 $[\widehat{A}, \widehat{B}]=0$ ．

更一般地，我们发现两个矢量场要形成封闭的多边形，实际上需要考虑这两个矢量场的对易子。如图 6.2 所示，此时我们得到一个五边形。我们应该考虑一个矢量（张量）沿着封闭的五边形做平行移动回到原点后的变化情况，如图 6.3 所示．这将导致如下对黎曼张量的形式化定义。

考虑沿图 6.3 中所示的五边形对矢量 $\widehat{W}$ 做平行移动．由协变导数的定义，我们知道
$$
\widehat{W}_{p q}=\left(1-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}(q)
$$

其中 $\widehat{W}_{p q}$ 代表沿 $p q$ 平行移动到 $q$ 点的矢量．平行移动得到的矢量与原来该点的矢量不同．更一般地，我们可以通过指数映射来给出从 $p$ 到 $q$ 沿着 $p q$ 得到的平行移动矢量，记作

$$
\widehat{W}_{p q}=\left.\exp \left(-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}\right|_q,
$$

![图片](/uploads/2025-11/2f4cf7.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-11/ae3d6c.jpg)
  
  
  它定义了平行移动到 $q$ 点的矢量 $\widehat{W}$ ，与原来该点的矢量不同．如果展开到二阶，我们有

$$
\widehat{W}_{p q}=\left(1-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}+\frac{1}{2} \epsilon^2 \nabla_{\widehat{V}} \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}(q)
$$

而进一步地把 $\widehat{W}_{p q}$ 沿着 $q r$ 继续平行移动到 $r$ 得到的矢量为

$$
\widehat{W}_{p q r}=\left.\exp \left(-\delta \nabla_{\widehat{U}}\right) \exp \left(-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}\right|_r .
$$

继续平行移动下去，最终回到 $p$ 点，我们得到

$$
\widehat{W}_{\text {pqrstp }}=\left.\exp \left(\delta \nabla_{\widehat{U}}\right) \exp \left(\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \exp \left(-\epsilon \delta \nabla_{[\widehat{U}, \widehat{V}]}\right) \exp \left(-\delta \nabla_{\widehat{U}}\right) \exp \left(-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}\right|_p .
$$

对上式展开到二阶，我们有

$$
\begin{aligned}
\widehat{W}_{p q r s t p}= & \left(1+\delta \nabla_{\widehat{U}}+\frac{1}{2} \delta^2 \nabla_{\widehat{U}} \nabla_{\widehat{U}}\right) \cdot\left(1+\epsilon \nabla_{\widehat{V}}+\frac{1}{2} \epsilon^2 \nabla_{\widehat{V}} \nabla_{\widehat{V}}\right) \\
& \times\left(1-\epsilon \delta \nabla_{[\widehat{U}, \widehat{V}]}\right) \\
& \times\left(1-\delta \nabla_{\widehat{U}}+\frac{1}{2} \delta^2 \nabla_{\widehat{U}} \nabla_{\widehat{U}}\right) \cdot\left(1-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}+\frac{1}{2} \epsilon^2 \nabla_{\widehat{V}} \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}(p)
\end{aligned}
$$

由此我们将得到

$$
\delta \widehat{W}=\widehat{W}_{p q r s t p}-\widehat{W}(p)=\left(\left[\nabla_{\widehat{U}}, \nabla_{\widehat{V}}\right]-\nabla_{[\widehat{U}, \widehat{V}]}\right) \delta \epsilon \widehat{W}(p)
$$

因此，我们可以如下形式化地定义黎曼张量．
定义 黎曼张量 $\widehat{R}: \chi(M) \otimes \chi(M) \otimes \chi(M) \rightarrow \chi(M)$ 是一个 $(1,3)$ 型张量，为

$$
\begin{aligned}
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}) & =\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{Z} \\
& =\nabla_{\widehat{X}} \nabla_{\widehat{Y}} \widehat{Z}-\nabla_{\widehat{Y}} \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Z}-\nabla_{[\widehat{X}, \widehat{Y}]} \widehat{Z}
\end{aligned}
$$

另一方面，两个矢量以及它们互相沿对方的平行移动并不一定构成封闭的平行四边形．简单地说，挠率张量刻画了两个矢量以及互相平行移动后得到的两个矢量组成的平行四边形的非封闭性．如图 6.4 所示，我们可以直接读出挠率张量的定义．

![图片](/uploads/2025-11/922dec.jpg)

定义 挠率张量 $\widehat{T}: \chi(M) \otimes \chi(M) \rightarrow \chi(M)$ 是一个 $(1,2)$ 型张量，为

$$
\widehat{T}(\widehat{X}, \widehat{Y})=\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}-\nabla_{\widehat{Y}} \widehat{X}-[\widehat{X}, \widehat{Y}] .
$$

上面的定义中 $\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z} \in \chi(M)$ 。由定义可以看出

$$
\begin{aligned}
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{Z} & =-\widehat{R}(\widehat{Y}, \widehat{X}) \widehat{Z} \\
\widehat{T}(\widehat{X}, \widehat{Y}) & =-\widehat{T}(\widehat{Y}, \widehat{X})
\end{aligned}
$$

黎曼张量 $\widehat{R}$ 和挠率张量 $\widehat{T}$ 的一个重要性质是它们的多线性：

$$
\begin{aligned}
\widehat{R}(f \widehat{X}, g \widehat{Y}) h \widehat{Z} & =f g h \widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{Z} \\
\widehat{T}(f \widehat{X}, g \widehat{Y}) & =f g \widehat{T}(\widehat{X}, \widehat{Y})
\end{aligned}
$$

其中 $f, g, h \in \mathcal{F}(M)$ ．比如说对于挠率张量，

$$
\begin{aligned}
\widehat{T}(f \widehat{X}, g \widehat{Y})= & \nabla_{f \widehat{X}} g \widehat{Y}-\nabla_{g \widehat{Y}} f \widehat{X}-[f \widehat{X}, g \widehat{Y}] \\
= & f\left(\widehat{X}(g)+g \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}\right)-g\left(\widehat{Y}(f)+f \nabla_{\widehat{Y}} \widehat{X}\right) \\
& -f(\widehat{X}(g)+g \widehat{X} \widehat{Y})+g(\widehat{Y}(f)+f \widehat{Y} \widehat{X}) \\
= & f g \widehat{T}(\widehat{X}, \widehat{Y})
\end{aligned}
$$

多线性的意义在于它可以帮助我们给出黎曼张量和挠率张量的分量形式，也保证了上述定义的量在坐标变换下如张量一样变换．首先，我们可以把曲率和挠率定义中的矢量场的分量提出来：

$$
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{Z}=X^\lambda Y^\mu Z^\nu \widehat{R}\left(\widehat{e}_\lambda, \widehat{e}_\mu\right) \widehat{e}_\nu, \quad \widehat{T}(\widehat{X}, \widehat{Y})=X^\mu Y^\nu \widehat{T}\left(\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right) .
$$

因此，我们只须关注与基矢相关的量。如果我们选定坐标基，其满足 $\left[\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right]=0$ ，则挠率张量的表达式为

$$
\begin{aligned}
T_{\mu \nu}^\lambda & =\left\langle\mathrm{d} x^\lambda, \widehat{T}\left(\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right)\right\rangle \\
& =\left\langle\mathrm{d} x^\lambda, \nabla_{\widehat{e}_\mu} \widehat{e}_\nu-\nabla_{\widehat{e}_\nu} \widehat{e}_\mu\right\rangle \\
& =\left\langle\mathrm{d} x^\lambda,\left(\Gamma_{\mu \nu}^\eta-\Gamma_{\nu \mu}^\eta\right) \widehat{e}_\eta\right\rangle \\
& =\Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\Gamma_{\nu \mu}^\lambda,
\end{aligned}
$$

而黎曼张量的表达式为
$$
\begin{aligned}
R_{\lambda \mu \nu}^\kappa & =\left\langle\mathrm{d} x^\kappa, \widehat{R}\left(\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right) \widehat{e}_\lambda\right\rangle=\left\langle\mathrm{d} x^\kappa, \nabla_\mu \nabla_\nu \widehat{e}_\lambda-\nabla_\nu \nabla_\mu \widehat{e}_\lambda\right\rangle \\
& =\left\langle\mathrm{d} x^\kappa, \nabla_\mu\left(\Gamma_{\nu \lambda}^\sigma \widehat{e}_\sigma\right)-\nabla_\nu\left(\Gamma_{\mu \lambda}^\sigma \widehat{e}_\sigma\right)\right\rangle \\
& =\left\langle\mathrm{d} x^\kappa, \partial_\mu\left(\Gamma_{\nu \lambda}^\sigma\right) \widehat{e}_\sigma+\Gamma_{\nu \lambda}^\sigma \Gamma_{\mu \sigma}^\rho \widehat{e}_\rho-(\mu \leftrightarrow \nu)\right\rangle \\
& =\partial_\mu\left(\Gamma_{\nu \lambda}^\kappa\right)+\Gamma_{\nu \lambda}^\sigma \Gamma_{\mu \sigma}^\kappa-(\mu \leftrightarrow \nu) .
\end{aligned}
$$

在上面的讨论中，如果我们考虑坐标变换下基矢的变换

$$
\widehat{e}_\mu=\frac{\partial x^{\alpha^{\prime}}}{\partial x^\mu} \widehat{e}_{\alpha^{\prime}},
$$

由于前面的变换矩阵可以看作一个函数，因此由多线性，我们可以直接把这些变换矩阵提出，从而保证了曲率和挠率的张量性质。

上面的讨论不止适用于矢量的平行移动，对任意张量 $\widehat{T}$ 的平行移动，也有黎曼张量

$$
\begin{aligned}
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{T}) & =\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{T} \\
& =\nabla_{\widehat{X}} \nabla_{\widehat{Y}} \widehat{T}-\nabla_{\widehat{Y}} \nabla_{\widehat{X}} \widehat{T}-\nabla_{[\widehat{X}, \widehat{Y}]} \widehat{T}
\end{aligned}
$$

对于坐标基底，我们有

$$
\begin{aligned}
{\left[\nabla_\rho, \nabla_\sigma\right] X^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l}=} & R^{\mu_1}{ }_{\lambda \rho \sigma} X^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l}+R^{\mu_2}{ }_{\lambda \rho \sigma} X^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l}+\cdots \\
& -R^\lambda{ }_{\nu_1 \rho \sigma} X^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l}-R_{\nu_2 \rho \sigma}^\lambda X^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l}-\cdots .
\end{aligned}
$$

在上面的表达式中，我们使用了坐标基 $\widehat{e}_\mu=\partial_\mu, \widehat{\theta}^\mu=\mathrm{d} x^\mu$ ．由此我们有 $\widehat{g}=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu$ ，其中 $g_{\mu \nu}$ 是 $x$ 的函数．更一般地，我们可以利用任意基矢来计算黎曼张量，不必是坐标基或者正交归一标架基矢。此时的黎曼张量为

$$
R_{\lambda \mu \nu}^\kappa=\partial_\mu\left(\Gamma_{\lambda \nu}^\kappa\right)+\Gamma_{\sigma \mu}^\kappa \Gamma_{\lambda \nu}^\sigma-(\mu \leftrightarrow \nu)-C_{\mu \nu}^\rho \Gamma_{\rho \lambda}^\kappa,
$$

其中 $C^\rho{ }_{\mu \nu}$ 是在此基底下的结构常数．注意黎曼张量的定义与挠率无关，因此这里的表达式甚至不需要联络是无挠的．对于挠率张量而言，在一般的基底下有

$$
T_{\mu \nu}^\lambda=\Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\Gamma_{\nu \mu}^\lambda-C_{\mu \nu}^\lambda .
$$

有时候利用前面介绍的标架场会带来方便，此时基矢满足 $\widehat{e}_a \cdot \widehat{e}_b=\eta_{a b}$ ，但通常不能写作对某个坐标的偏导数 $\partial_a$ ，而且基矢的对易子不为零，$\left[\widehat{e}_a, \widehat{e}_b\right]=C_{a b}^c \widehat{e}_c$ ．

我们已经看到了黎曼张量的几何意义，下面我们讨论一下挠率张量的几何意义．几何上，我们可以利用图 6.5 来计算挠率．考虑一个点 $p \in M$ 和在切空间 $T_p(M)$ 中的两个无穷小矢量 $\widehat{U}=\epsilon^\mu \widehat{e}_\mu, \widehat{V}=\delta^\nu \widehat{e}_\nu$ ．利用坐标卡，点 $p, q, s$ 的坐标分别为

$$
p: x^\mu, \quad q: x^\mu+\epsilon^\mu, \quad s: x^\mu+\delta^\mu,
$$

也就是说 $\widehat{U}=\overrightarrow{p q}, \widehat{V}=\overrightarrow{p s}$ ．如果我们沿着 $\overrightarrow{p s}$ 平行移动 $\widehat{U}$ ，就得到矢量 $\overrightarrow{s r_1}=\epsilon^\mu- \epsilon^\lambda \Gamma_{\nu \lambda}^\mu \delta^\nu$ ，由此有 $\overrightarrow{p r_1}=\delta^\mu+\epsilon^\mu-\epsilon^\lambda \Gamma_{\nu \lambda}^\mu \delta^\nu$ ．另一方面，如果我们沿着 $\overrightarrow{p q}$ 平行移动

![图片](/uploads/2025-11/392f7b.jpg)
 
 $\widehat{V}$ 就得到矢量 $\overrightarrow{p r_2}=\epsilon^\mu+\delta^\mu-\epsilon^\lambda \Gamma_{\lambda \nu}^\mu \delta^\nu$ ．一般而言，$r_1 \neq r_2$ ，而它们的差为 $\overrightarrow{r_1 r_2}= \left(\Gamma_{\nu \lambda}^\mu-\Gamma_{\lambda \nu}^\mu\right) \epsilon^\lambda \delta^\nu=T_{\nu \lambda}^\mu \epsilon^\lambda \delta^\nu$ ，与挠率张量成正比．

回到黎曼张量的讨论．整体上 $R^\mu{ }_{\nu \rho \sigma} \equiv 0$ 当且仅当度规在某个坐标系里为常数．一方面，如果度规为常数，有 $\partial_\sigma g_{\mu \nu}=0$ ，则 $\Gamma_{\mu \nu}^\rho=0, \partial_\sigma \Gamma_{\mu \nu}^\rho=0$ ，从而 $R_{\nu \rho \sigma}^\mu=0$ 。另一方面，局域地不仅 $\left.g_{\mu \nu}\right|_p=\eta_{\mu \nu}$ ，还有 $\partial_\sigma g_{\mu \nu}=0$ 。在点 $p$ 的基矢可以记作 $\widehat{e}_\mu$ ，其分量为 $\left(\widehat{e}_\mu\right)^\sigma$ ，由构造我们有

$$
g_{\sigma \rho}\left(\widehat{e}_\mu\right)^\sigma\left(\widehat{e}_\nu\right)^\rho(p)=\eta_{\mu \nu}
$$

现在我们把整组基矢从 $p$ 点平行移动到另一点 $q$ 。黎曼张量为零保证不管采取任何路径最终的结果一样，即与路径无关．而平行移动保证矢量间的内积不变，

$$
g_{\sigma \rho}\left(\widehat{e}_\mu\right)^\sigma\left(\widehat{e}_\nu\right)^\rho(q)=\eta_{\mu \nu}
$$

因此我们得到了一组矢量场，帮助我们在任何位置定义一组基矢，在其中度规张量总为常数．关键是这样一组矢量场构成了一组坐标基．对于坐标基有

$$
\left[\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right]=0
$$

反之，如果对易子为零，则我们可以找到坐标 $y^\mu$ 使 $\widehat{e}_\mu=\frac{\partial}{\partial y^\mu}$ ．由挠率张量的定义，对易子为零可以很容易证明．首先，我们有

$$
\left[\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right]=\nabla_{\widehat{e}_\mu} \widehat{e}_\nu-\nabla_{\widehat{e}_\nu} \widehat{e}_\mu-T\left(\widehat{e}_\mu, \widehat{e}_\nu\right) .
$$

由无挠条件，最后一项为零．此外，由于矢量是平行移动的，所以 $\nabla \widehat{e}=0$ ．因此，在任何其他点都有矢量场的对易子为零，由弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理知矢量场是坐标基，而且这组坐标基是整体定义的，在此坐标系下度规场取平直空间的度规。这样我们就证明了，如果黎曼张量整体为零，则时空流形必然是平直的．

在爱因斯坦的广义相对论中我们总是认为挠率为零，无论是对克里斯托弗联络或者自旋联络而言．实际上存在着其他的理论体系认为挠率可以非零，而曲率为零．尽管这些理论有一定的意义，但在本书中我们不准备对这些理论进行介绍．

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