最后更新: 2025-12-01 20:08 查看: 12 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲率和挠率张量的定义

在平直欧氏空间和闵氏时空中，平直性表现为几个方面．首先，在平直空间中一个矢量沿一条闭合曲线平行移动回到起点，移动后的矢量与原矢量一样，不会发生变化．也就是说，在平直时空中任意两点间都可以平行移动矢量，与路径的选择无关．其次，平直空间中张量的两次导数是对易的．最后，平直时空中刚开始平行的测地线会保持平行．

曲率描述了一个时空流形的弯曲程度，刻画了与平直性的偏离，因此上述平直性的三个表现需要修改，都与曲率张量有关．首先，在弯曲空间中，矢量或者张量的平行移动与路径选取有关．在无穷小的区域中我们可以由此定义黎曼张量．其次，在弯曲空间中张量的两次协变导数不再对易，对易子与曲率张量有关。最后，弯曲空间中起初平行的测地线不能保持平行，由此我们可以得到测地偏离方程，依赖于曲率张量．
6.1 曲 率 张 量

6．1．1 曲率和挠率张量的定义
我们从第一种观点出发来引进曲率的概念．在一个弯曲空间中，一个矢量沿闭合圈的平行移动将会给出矢量的一个变换．最终的变换依赖于圈所包括的总曲率．而曲率的一个局域描述是黎曼（曲率）张量．想象我们沿着由两个矢量 $\widehat{A}$ 和 $\widehat{B}$ 定义的闭合圈平行移动一个矢量 $\widehat{V}$ ，如图 6.1 所示．

注意这里定义的圈是非常小的，两个矢量实际上给出的更多的是方向而非大小。当这个矢量 $\widehat{V}$ 回到起点时如何变化呢？首先，它是原矢量的一个线性变换，因此包含一个上指标和一个下指标。其次，它依赖于矢量 $\widehat{A}$ 和 $\widehat{B}$ 确定的路径，因此应该包含另外两个指标与 $A^\nu$ 和 $B^\mu$ 收缩。此外，张量必然对上述两个矢量相关的指标反对称，因为交换矢量相应于把闭合圈反向，所以平行移动矢量会得到相反的结果。最终，我们期待

$$
\delta V^\rho=(\delta a)(\delta b) A^\nu B^\mu R^\rho{ }_{\sigma \mu \nu} V^\sigma,
$$

其中 $R^\rho{ }_{\sigma \mu \nu}$ 是一个 $(1,3)$ 型张量，称为黎曼张量，或者直接称为曲率张量．这里 $\delta a$ 和
 ![图片](/uploads/2025-11/28be23.jpg)
 
 $\delta b$ 是形成圈的两个矢量的大小．这个张量的一个性质是

$$
R_{\sigma \mu \nu}^\rho=-R_{\sigma \nu \mu}^\rho
$$

黎曼张量的具体表达式可以从上面的定义中得到。我们先忽略两个矢量沿着对方的方向做平行移动是否封闭的问题，假定它们平移后确实得到上面的平行四边形，则不妨假定出发的位置是 $p$ 点，无穷小矢量 $\widehat{A}$ 从 $p$ 到 $q$ ，而 $\widehat{B}$ 从 $p$ 到 $s$ ，形成平行四边形后的另一个点是 $r$ ．在同一个坐标系下，这些点的坐标是

$$
p: x^\mu, \quad q: x^\mu+\epsilon^\mu, \quad s: x^\mu+\delta^\mu, \quad r: x^\mu+\epsilon^\mu+\delta^\mu .
$$

一个矢量 $V^\mu$ 的平行移动要求 $\nabla_\nu V^\mu=\partial_\nu V^\mu+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma=0$ 可以变形为

$$
\partial_\nu V^\mu=-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma
$$

如果矢量 $V^\mu(p)=V_0^\mu$ 是沿着 $\widehat{A}$ 移动到 $q$ 点，则有

$$
\frac{V^\mu(q)-V_0^\mu}{\epsilon^\nu}=-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma
$$

也就是说

$$
V^\mu(q)=V_0^\mu-\Gamma_{\nu \sigma}^\mu(p) V_0^\sigma \epsilon^\nu .
$$

进一步地，我们把矢量从 $q$ 平移到 $r$ ，则有

$$
\begin{aligned}
V_C^\mu(r)= & V^\mu(q)-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(q) V^\kappa(q) \delta^\nu \\
= & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-\left(V_0^\kappa-\Gamma_{\sigma \rho}^\kappa(p) V_0^\rho \epsilon^\sigma\right)\left(\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)+\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \epsilon^\lambda\right) \delta^\nu \\
\approx & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-V_0^\kappa \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \delta^\nu \\
& -V_0^\kappa\left(\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)-\Gamma_{\lambda \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\nu \rho}^\mu(p)\right) \epsilon^\lambda \delta^\nu
\end{aligned}
$$

其中下标 $C$ 代表矢量移动的路径是先经过 $q$ 再到 $r$ ，我们只保留到二阶小量．另一方面，如果我们选择另一条路径 $C^{\prime}$ 从 $p$ 到 $s$ 再到 $r$ ，则有

$$
\begin{aligned}
V_{C^{\prime}}^\mu(r) \approx & V_0^\mu-\Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) V_0^\kappa \epsilon^\nu-V_0^\kappa \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p) \delta^\nu \\
& -V_0^\kappa\left(\partial_\nu \Gamma_{\lambda \kappa}^\mu(p)-\Gamma_{\nu \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\lambda \rho}^\mu(p)\right) \epsilon^\lambda \delta^\nu
\end{aligned}
$$

这样，经过不同路径平行移动到达同一点 $r$ 的矢量间的差别是

$$
V_{C^{\prime}}^\mu(r)-V_C^\mu(r)=V_0^\kappa R_{\kappa \lambda \nu}^\mu(p) \epsilon^\lambda \delta^\nu,
$$

其中

$$
R_{\kappa \lambda \nu}^\mu(p)=\partial_\lambda \Gamma_{\nu \kappa}^\mu(p)-\partial_\nu \Gamma_{\lambda \kappa}^\mu(p)+\Gamma_{\nu \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\lambda \rho}^\mu(p)-\Gamma_{\lambda \kappa}^\rho(p) \Gamma_{\nu \rho}^\mu(p) .
$$

如前面所述，在这个推导中，我们实际上假定了平行移动两个矢量后得到一个封闭的平行四边形．这相当于假定了无挠条件以及选择了坐标基矢，从而有 $[\widehat{A}, \widehat{B}]=0$ ．

更一般地，我们发现两个矢量场要形成封闭的多边形，实际上需要考虑这两个矢量场的对易子。如图 6.2 所示，此时我们得到一个五边形。我们应该考虑一个矢量（张量）沿着封闭的五边形做平行移动回到原点后的变化情况，如图 6.3 所示．这将导致如下对黎曼张量的形式化定义。

考虑沿图 6.3 中所示的五边形对矢量 $\widehat{W}$ 做平行移动．由协变导数的定义，我们知道
$$
\widehat{W}_{p q}=\left(1-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}(q)
$$

其中 $\widehat{W}_{p q}$ 代表沿 $p q$ 平行移动到 $q$ 点的矢量．平行移动得到的矢量与原来该点的矢量不同．更一般地，我们可以通过指数映射来给出从 $p$ 到 $q$ 沿着 $p q$ 得到的平行移动矢量，记作

$$
\widehat{W}_{p q}=\left.\exp \left(-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}\right) \widehat{W}\right|_q,
$$

![图片](/uploads/2025-11/2f4cf7.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-11/ae3d6c.jpg)
  
  
  它定义了平行移动到 $q$ 点的矢量 $\widehat{W}$ ，与原来该点的矢量不同．如果展开到二阶，我们有

$$
\widehat{W}_{p q}=\left(1-\epsilon \nabla_{\widehat{V}}+\frac{1

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