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黎曼张量的对称性和恒等式

6．1．2 黎曼张量的对称性和恒等式
黎曼张量不同分量之间存在对称性．下面我们研究这些对称性并给出黎曼张量独立分量的个数。我们可以做一个一般性的讨论．假设是在 $n$ 维空间中，由于有四个指标，看起来黎曼张量可能有 $n^4$ 个分量。这当然是不对的。首先，由于 $R^\mu{ }_{\nu \rho \sigma}=-R^\mu{ }_{\nu \sigma \rho}$我们至多有 $n^2 \times \frac{n(n-1)}{2}$ 个分量．其次黎曼张量还有其他一些对称性．我们可以定义一个新的 $(0,4)$ 型张量 $R_{\mu \nu \sigma \rho}=g_{\mu \lambda} R_{\nu \sigma \rho}^\lambda$ ，它满足：
（1）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=-R_{\mu \nu \rho \sigma}$ ，即后两个指标反对称；
（2）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=-R_{\nu \mu \sigma \rho}$ ，即前两个指标反对称；
（3）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=R_{\sigma \rho \mu \nu}$ ，即交换前后两组指标对称；
（4）第一比安基（Bianchi）恒等式：$R_{\mu \nu \sigma \rho}+R_{\mu \sigma \rho \nu}+R_{\mu \rho \nu \sigma}=0$ ，或者记作 $R_{\mu[\nu \sigma \rho]}=$
0.

这些等式可以通过选取黎曼法坐标来证明，但实际上它们是张量方程，可以代数地证明．在黎曼法坐标下，有

$$
\left.R_{\mu \nu \sigma \rho}\right|_{\mathrm{RNC}}=\frac{1}{2}\left(\partial_\mu \partial_\sigma g_{\nu \rho}-\partial_\nu \partial_\sigma g_{\mu \rho}+\partial_\nu \partial_\rho g_{\mu \sigma}-\partial_\mu \partial_\rho g_{\nu \sigma}\right)
$$

由此很容易验证上面的对称性质．由于这些关系都是张量关系，在其他参考系中也必然成立．

利用以上的对称性，我们可以限定黎曼张量的独立分量数目．我们先考虑上述性质中的前二条．我们可以记 $R_{[\mu \nu][\sigma \rho]} \rightarrow Y_{(M, N)}$ ，其中 $M, N$ 代表一组反对称指标，因此有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个分量．再考虑第三条性质，可见 $M, N$ 间是对称的，这告诉我们独立的分量个数可能是 $\frac{1}{8} n(n-1)(n(n-1)+2)$ ．最后，由比安基恒等式 $R_{\mu[\nu \sigma \rho]}=0$ ，以及其他关系，我们发现 $R_{[\mu \nu \sigma \rho]}=0$ ．这个全反对称条件将给出 $n(n-1)(n-2)(n-3) / 4!$ 个约束．最终，我们发现黎曼张量独立的分量个数为

$$
\frac{1}{8}\left(n^4-2 n^3+3 n^2-2 n\right)-\frac{1}{24} n(n-1)(n-2)(n-3)=\frac{1}{12} n^2\left(n^2-1\right) .
$$

在讨论黎曼法坐标时，我们已经发现度规的二阶导数无法全为零，不够的自由度数正好是上面的数目．而黎曼张量本身就包含着度规的二阶导数．实际上，在黎曼法坐标
下，时空的线元在某点附近总能写作

$$
\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu+\frac{1}{12} R_{\mu \nu \sigma \rho}\left(x^\mu \mathrm{d} x^\nu-x^\nu \mathrm{d} x^\mu\right)\left(x^\sigma \mathrm{d} x^\rho-x^\rho \mathrm{d} x^\sigma\right)+\cdots .
$$

进一步地，黎曼张量还满足一个重要的恒等式．考虑黎曼张量的协变导数，在黎曼法坐标下有

$$
\begin{aligned}
\nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu} & =\partial_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu} \\
& =\frac{1}{2} \partial_\lambda\left(\partial_\mu \partial_\sigma g_{\rho \nu}-\partial_\mu \partial_\rho g_{\nu \sigma}-\partial_\nu \partial_\sigma g_{\rho \mu}+\partial_\nu \partial_\rho g_{\mu \sigma}\right)
\end{aligned}
$$

对前三个指标轮换后求和，有

$$
\begin{aligned}
& \nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu}+\nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu} \\
&=\frac{1}{2}\left(\partial_\lambda \partial_\mu \partial_\sigma g_{\rho \nu}-\partial_\lambda \partial_\mu \partial_\rho g_{\nu \sigma}-\partial_\lambda \partial_\nu \partial_\sigma g_{\rho \mu}+\partial_\lambda \partial_\nu \partial_\rho g_{\mu \sigma}\right. \\
&+\partial_\rho \partial_\mu \partial_\lambda g_{\sigma \nu}-\partial_\rho \partial_\mu \partial_\sigma g_{\nu \lambda}-\partial_\rho \partial_\nu \partial_\lambda g_{\sigma \mu}+\partial_\rho \partial_\nu \partial_\sigma g_{\mu \lambda} \\
&\left.+\partial_\sigma \partial_\mu \partial_\rho g_{\lambda \nu}-\partial_\sigma \partial_\mu \partial_\lambda g_{\nu \rho}-\partial_\sigma \partial_\nu \partial_\rho g_{\lambda \mu}+\partial_\sigma \partial_\nu \partial_\lambda g_{\mu \rho}\right) \\
&=0
\end{aligned}
$$

（6．38）式可写作

$$
\nabla_{[\lambda} R_{\rho \sigma] \mu \nu}=0 .
$$

它被称为第二比安基恒等式，或者比安基恒等式。它与下面的雅可比恒等式密切相关：

$$
\left[\left[\nabla_\lambda, \nabla_\rho\right], \nabla_\sigma\right]+\left[\left[\nabla_\rho, \nabla_\sigma\right], \nabla_\lambda\right]+\left[\left[\nabla_\sigma, \nabla_\lambda\right], \nabla_\rho\right]=0 .
$$

前面讨论的恒等式可写作与坐标无关的形式．首先定义 $(0,4)$ 张量 $\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}, \widehat{W})= \widehat{g}(\widehat{R}(\widehat{Z}, \widehat{W}) \widehat{X}, \widehat{Y})$ ，则上面的恒等式实际上是

$$
\begin{gathered}
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}, \widehat{W})=-\widehat{R}(\widehat{Y}, \widehat{X}, \widehat{Z}, \widehat{W}) \\
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}, \widehat{W})=-\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{W}, \widehat{Z}) \\
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}, \widehat{W})=\widehat{R}(\widehat{Z}, \widehat{W}, \widehat{X}, \widehat{Y}) \\
\widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z}, \widehat{W})+\widehat{R}(\widehat{Z}, \widehat{Y}, \widehat{W}, \widehat{X})+\widehat{R}(\widehat{W}, \widehat{Y}, \widehat{X}, \widehat{Z})=0 \\
\nabla_{\widehat{X}} \widehat{R}(\widehat{Y}, \widehat{Z}) \widehat{V}+\nabla_{\widehat{Z}} \widehat{R}(\widehat{X}, \widehat{Y}) \widehat{V}+\nabla_{\widehat{Y}} \widehat{R}(\widehat{Z}, \widehat{X}) \widehat{V}=0
\end{gathered}
$$

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