最后更新: 2025-11-28 14:39 查看: 5 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

黎曼张量的对称性和恒等式

6．1．2 黎曼张量的对称性和恒等式
黎曼张量不同分量之间存在对称性．下面我们研究这些对称性并给出黎曼张量独立分量的个数。我们可以做一个一般性的讨论．假设是在 $n$ 维空间中，由于有四个指标，看起来黎曼张量可能有 $n^4$ 个分量。这当然是不对的。首先，由于 $R^\mu{ }_{\nu \rho \sigma}=-R^\mu{ }_{\nu \sigma \rho}$我们至多有 $n^2 \times \frac{n(n-1)}{2}$ 个分量．其次黎曼张量还有其他一些对称性．我们可以定义一个新的 $(0,4)$ 型张量 $R_{\mu \nu \sigma \rho}=g_{\mu \lambda} R_{\nu \sigma \rho}^\lambda$ ，它满足：
（1）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=-R_{\mu \nu \rho \sigma}$ ，即后两个指标反对称；
（2）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=-R_{\nu \mu \sigma \rho}$ ，即前两个指标反对称；
（3）$R_{\mu \nu \sigma \rho}=R_{\sigma \rho \mu \nu}$ ，即交换前后两组指标对称；
（4）第一比安基（Bianchi）恒等式：$R_{\mu \nu \sigma \rho}+R_{\mu \sigma \rho \nu}+R_{\mu \rho \nu \sigma}=0$ ，或者记作 $R_{\mu[\nu \sigma \rho]}=$
0.

这些等式可以通过选取黎曼法坐标来证明，但实际上它们是张量方程，可以代数地证明．在黎曼法坐标下，有

$$
\left.R_{\mu \nu \sigma \rho}\right|_{\mathrm{RNC}}=\frac{1}{2}\left(\partial_\mu \partial_\sigma g_{\nu \rho}-\partial_\nu \partial_\sigma g_{\mu \rho}+\partial_\nu \partial_\rho g_{\mu \sigma}-\partial_\mu \partial_\rho g_{\nu \sigma}\right)
$$

由此很容易验证上面的对称性质．由于这些关系都是张量关系，在其他参考系中也必然成立．

利用以上的对称性，我们可以限定黎曼张量的独立分量数目．我们先考虑上述性质中的前二条．我们可以记 $R_{[\mu \nu][\sigma \rho]} \rightarrow Y_{(M, N)}$ ，其中 $M, N$ 代表一组反对称指标，因此有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个分量．再考虑第三条性质，可见 $M, N$ 间是对称的，这告诉我们独立的分量个数可能是 $\frac{1}{8} n(n-1)(n(n-1)+2)$ ．最后，由比安基恒等式 $R_{\mu[\nu \sigma \rho]}=0$ ，以及其他关系，我们发现 $R_{[\mu \nu \sigma \rho]}=0$ ．这个全反对称条件将给出 $n(n-1)(n-2)(n-3)

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