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里奇张量和里奇标量

6．1．3 里奇张量和里奇标量
利用黎曼张量，我们可以进一步通过收缩构造其他张量．首先是里奇（Ricci）张量．

定义 里奇张量为黎曼张量的如下收缩：

$$
R_{\mu \nu}=R^\lambda{ }_{\mu \lambda \nu}=g^{\lambda \rho} R_{\mu \lambda \nu \rho} .
$$

对于非克里斯托弗的联络，也许存在其他收缩．对克里斯托弗联络而言，里奇张量是唯一可以从黎曼张量通过收缩得到的张量．里奇张量是一个对称张量：

$$
R_{\mu \nu}=R_{\nu \mu} .
$$

对里奇张量的进一步收缩，或者求迹，得到里奇标量．

定义 里奇标量为里奇张量的如下收缩：

$$
R=R_\mu^\mu=g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}
$$

里奇标量也称为标量曲率，是一个标量，不依赖于坐标系的选择．即使不采用坐标基，我们也可以得到同样的标量曲率。

利用里奇张量和里奇标量，我们可以定义爱因斯坦张量．
定义 爱因斯坦张量为里奇张量和里奇标量的如下组合：

$$
G_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}
$$

利用比安基恒等式，可以证明

$$
\begin{aligned}
0 & =g^{\nu \sigma} g^{\mu \lambda}\left(\nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu}+\nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu}\right) \\
& =\nabla^\mu R_{\rho \mu}-\nabla_\rho R+\nabla^\nu R_{\rho \nu}
\end{aligned}
$$

或者

$$
\nabla^\mu R_{\rho \mu}=\frac{1}{2} \nabla_\rho R
$$

因此，爱因斯坦张量满足

$$
\nabla^\mu G_{\mu \nu}=0
$$
 爱因斯坦张量是一个对称张量，在广义相对论中至关重要．
如果我们从黎曼张量中去除所有可能的收缩，可以定义外尔（Weyl）张量。
定义 外尔张量为从黎曼张量中去除所有可能的非零收缩：

$$
C_{\rho \sigma \mu \nu}=R_{\rho \sigma \mu \nu}-\frac{2}{n-2}\left(g_{\rho[\mu} R_{\nu] \sigma}-g_{\sigma[\mu} R_{\nu] \rho}\right)+\frac{2}{(n-1)(n-2)} R g_{\rho[\mu} g_{\nu] \sigma}
$$

由定义，$C_{\rho \sigma \mu \nu}$ 所有可能的收缩都为零，但是它保持黎曼张量所有的对称性：

$$
\begin{aligned}
C_{\rho \sigma \mu \nu} & =C_{[\rho \sigma][\mu \nu]}, \\
C_{\rho \sigma \mu \nu} & =C_{\mu \nu \rho \sigma}, \\
C_{\rho[\sigma \mu \nu]} & =0 .
\end{aligned}
$$

易见，它只能在三维或者三维以上定义．在三维中，外尔张量恒为零．当 $n \geqslant 4$ 时，它满足某种形式的比安基恒等式：

$$
\nabla^\rho C_{\rho \sigma \mu \nu}=-2 \frac{(n-3)}{(n-2)}\left(\nabla_{[\mu} R_{\nu] \sigma}+\frac{1}{2(n-1)} g_{\sigma[\nu} \nabla_{\mu]} R\right) .
$$

外尔张量的一个重要性质是在共形变换

$$
g_{\mu \nu} \rightarrow \Omega^2(x) g_{\mu \nu}
$$

下不变。
一个度规称为共形平直的，如果它与平直时空度规间只差一个共形因子，即 $g_{\mu \nu}= \Omega^2 \eta_{\mu \nu}$ ，其中 $\eta_{\mu \nu}$ 是平直空间度规．

定理 一个度规是共形平直的，当且仅当其相应的外尔张量恒为零．
比如说，一个二维的黎曼流形总是共形平直的．
在三维中，我们可以定义科顿（Cotton）张量

$$
C^{i j}=\varepsilon^{i k l} \nabla_k\left(R_l^j-\frac{1}{4} R \delta_l^j\right),
$$
满足：
（1）对称无迹；
（2）横向（或者协变守恒）：$\nabla_i C^{i j}=0$ ；
（3）在共形变换下 $C^{i j} \rightarrow \Omega^{-5} C^{i j}$（称为具有共形权 $-5 / 2$ ）．

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