最后更新: 2025-12-28 16:08 查看: 11 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二分法

## 二分法的通俗理解
二分法的核心逻辑可以通俗理解为 **“猜数字游戏的最优策略”**，它是一种在**有序区间**内，通过不断**对半缩小范围**来找到目标值的方法。

### 生活中的例子：猜1~100的数字 
假设我心里想一个1~100之间的整数，你要猜这个数，我只会告诉你“大了”或“小了”。
1.  **第一步**：你先猜中间值 **50**。
    - 我如果说“大了”，说明目标数在 **1~49** 之间；
    - 我如果说“小了”，说明目标数在 **51~100** 之间。
    这一步直接把猜测范围缩小了一半。
2.  **第二步**：在新的区间里再取中间值。
    - 比如范围是1~49，中间值是25，再猜25；
    - 再根据“大了/小了”的反馈，继续把范围对半分。
3.  **重复操作**：每次都猜当前区间的中间值，每次都排除一半的可能，直到猜中数字。

这个过程就是**二分法**，它的优势是效率极高——猜1~100的数字，最多只需要7次就能确定答案（因为 $2^7=128>100$）。

数学/编程中的二分法：找方程的根或有序数组的元素
在数学和编程里，二分法的应用需要满足一个**前提条件**：
- 找方程根时：函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$（区间两端点函数值一正一负，说明中间必有一个根）。
- 找数组元素时：数组必须是**有序**的（升序或降序）。

### 以找方程 $f(x)=x^2-2=0$ 的正根（即 $\sqrt{2}\approx1.414$）为例
1.  确定初始区间：因为 $f(1)=-1<0$，$f(2)=2>0$，所以根在 $[1,2]$ 之间。
2.  取中间值 $x_0=\frac{1+2}{2}=1.5$，计算 $f(1.5)=2.25-2=0.25>0$。
    因为 $f(1)\cdot f(1.5)<0$，所以根在 $[1,1.5]$ 之间。
3.  再取中间值 $x_1=\frac{1+1.5}{2}=1.25$，计算 $f(1.25)=1.5625-2=-0.4375<0$。
    因为 $f(1.25)\cdot f(1.5)<0$，所以根在 $[1.25,1.5]$ 之间。
4.  重复上述步骤，区间会越来越小，当区间的长度小于我们设定的精度（比如0.001）时，就可以用区间内的任意值作为 $\sqrt{2}$ 的近似解。

## 二分法数学原理

在求方程近似根的方法中最直观、最简单的方法是二分法．二分法以连续函数的介值定理为基础。考虑方程（2．1）。设函数 $f(x) \in C[a, b], f(a) f(b)<0$ ，且方程（2．1）在 $[a, b]$ 上存在唯一根 $x^*$ 。二分法的基本思想是用对分区间的方法，根据分点处函数 $f

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