科数网数学目录

有理数 无理数 实数及其运算 科学记数法 倒数与相反数 绝对值 平方根与立方根 二次根式 二次根式的应用举例 根式方程 乘方运算 幂运算 单项式与多项式 多项式的加、减、乘法 平方和、平方差、立方和、立方差和完全平方公式 多项式的除法 因式分解(上) 因式分解(下) 余式定理及其推论 余式定理及其推论的应用 根与系数的关系 分式与分式的加减 分式乘除与分式方程 分式分解与待定系数法 分式化简求值 等差与等比求和公式 阅读：待定系数法及其应用 连分数 多项式的公因式与最高公因式 多项式的公倍式与最低公倍式 数学竞赛：多项式基本性质 进阶：辗转相除法 阅读：第一次数学危机 一元一次方程 二元一次方程 三元一次方程组 无理方程初步 解应用问题 不等式与数轴表示 不等式举例 不等式组 不等式证明举例 一元一次不等式的应用 形如(a x b)(c x d) 的解法举例 绝对值不等式 一元二次不等式 一元高次不等式 二元一次不等式的图象 数学竞赛：基本不等式研究 数学竞赛：AM－GM 不等式 数学竞赛-柯西不等式与Titu引理 数学竞赛-排序不等式与切比雪夫不等式 直角坐标系、图像在坐标中的平移与函数图像 函数的定义(初中) 正比例函数与一次函数 一次函数与一次方程和一次不等式关系 一次函数应用题与训练 反比例函数 反比例函数举例 函数的递增与递减 分段函数 一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式Δ 根与系数的关系(韦达定理) 一元二次方程应用题 函数奇偶性初步 二次函数y=ax^2图像 一般二次函数的图像 二次函数图像总结 给点求二次函数 二次函数极值 利用判别式Δ求函数的极值 一元二次方程图象解法 利用二次函数的图象解一元二次不等式 多项式函数的增减性 高次多项式函数的极值 几何基础思维导图 定义、公理、定理、引理、推论、悖论、命题、观察、猜想与证明 点线面体与欧氏几何 长度的测量、直线和平面 方向、角度与平行 全等和叠合 相似、相似、比例尺比 尺规作图 集合 简易逻辑 充分、必要、定理与证明 线段、射线、直线 角、余角、补角、邻补角、对顶角、同位交、内错角、同旁内角 两直线关系 平行线的定理 性质与判定 角平分线 线段的垂直平分线(中垂直) 三角形思维导图 三角形的定义与稳定性 三角形的三边关系与三角关系 三角形的外角 内心 重心 外心 垂心 旁心 多边形内角和公式 全等三角形 等腰与等边三角形 角平分线定理于垂直平分线的做法 勾股定理 相似多边形 比例尺与黄金分割点 相似三角形的判定 相似三角形的性质 平行截割定理与三角形内角平分线定理 相似多边形与位似变换 三角形周长 三角形面积 中位线定理 射影定理 理论与实践：相似测量 四边形思维导图 多边形的内角和与外角和 平行四边形及其性质 平行四边形四边对角线平方和定理 四边形的判定定理 中位线定理与梯形 矩形、棱形与正方形 矩形、棱形与正方形训练 平行四边形的面积与完美矩形 平行线等分线段定理 圆思维导图 圆、弦、半径、直径、优弧、劣弧、弓形的定义 圆的对称性 垂径定理与弦心距 弧、弦、弦心距的关系 扇形与弧长 三点共圆与三角形的外心与垂心 圆心角与圆周角 直线与圆的位置关系 圆的切线 三角形的内切圆 三角形外接圆 两圆的位置关系 圆与圆的位似(了解即可) 圆的内接四边形 圆的外切四边形 圆与正多边形与正多边形的尺规作图 正多边形的性质(外接圆、内切圆与对称性) 圆周的周长与面积与扇形的周长与面积 弦切角与弦切角定理(考试不考) 切割线定理、相交弦定理与圆幂定理 圆柱的侧面展开 圆锥的侧面展开 圆的关系图 图像变换思维导图 平移变换 旋转变换 轴对称图形 中心对称图形 投影与三视图 位似变换 基本几何体的平面展开图与图形变换的综合应用 三角函数思维导图 锐角三角比 特殊的三级函数值与计算器的使用 三级函数的关系 解直角三角形 正弦、余弦与正切 三角函数的综合计算 正弦定理与余弦定理 解斜三角形 三角形的面积公式 统计与概率思维导图 数据的收集、整理与扇形图的制作 用统计图描述数据 总体与样本 用Excel绘制统计图 频数分布表与频数分布图 平均数、众数与中位数 方差 均方差 随机事件 概率(初中版) 用频率估计 概率在遗传学上的应用(生男与生女的奥秘) 最小二乘法 阅读：几何概率 多项式及其代数运算 多项式的加法与乘法 多项式的带余除法 余式定理的通俗解释 因式定理 最高公因式与辗转相除法 多项式插值公式 多项式的导数与换元展开式 多项式的换元展开式—泰勒公式 求根公式 多项式根的研究 两个多项式的公根与多项式的重根 实系数多项式的实数根-中间值定理与二分法 实数多项式根的界定与斯图姆定理Sturm 实系数多项式实根的计算-秦九韶方法 二元二次方程组 辗转相除法-公因式与最高公因式

集合(高中) 集合的交集、并集、差集和补集 集合运算的性质 命题与量词 充分条件与必要条件 第三次数学危机 课外阅读：希尔伯特旅馆 高考研究：集合问题解析 映射 函数 函数的运算与复合函数 几个特殊函数图像 函数的单调性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数的对称性 函数的零点与二分法 函数的极值与最值 函数的图像与作图 比较大小-万能公式法 反函数和它的图象 阅读：实数的完备性 阅读：函数的连续性 高考研究：函数对称性、奇偶性与周期性 高考研究：函数的综合利用 一元二次方程 一元二次函数 一元二次及高次不等式 一元三次方程的求根公式 不等式的性质 均值不等式（重点掌握） 均值不等式例题(函调和不等式) 糖水不等式 绝对值不等式 三角不等式 柯西不等式 权方和不等式 伯努利不等式 若尔当不等式 对数平均不等式 琴生不等式 常用不等式缩放汇总 不等式恒成立问题 思维导图 幂函数 幂函数的图像 指数函数 指数函数的图像 对数函数 对数的运算法则 换底公式 对数函数的图像 指数、对数、幂函数图像关系研究 常用对数与自然对数 指数方程与对数方程 指数对数常用的近似值 高考研究：比较大小 课外阅读：历史上的对数 课外阅读：素数个数与对数 课外阅读：噪音、PH试纸与地震级数 序：三角函数背景概述 角度制，弧度制 单位圆与三角函数 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 诱导公式 正弦图像与余弦图像 正切函数图像 倾斜角与斜率 三角函数图像与性质总结 两角和与两角差公式 二倍角与三倍角公式 半角公式 万能公式 和差化积公式 积化和差公式 余弦定理 正弦定理 解三角形 解三角方程 振幅、频率与相位 函数 y = A sin(ω x α) 的图象 函数 y = A sin(mx α) 图像平移 函数的平移变换与伸缩变换 将同角的正弦与余弦和化为一个三角函数 附录1：三角恒等式第一版 附录2：三角恒等式第二版 高考研究：三角函数的最值与范围问题 导数的意义 重新审视导数的定义 导数表与自然常数e 导数的四则运算与复合函数的导数 利用导数求曲线的切线与法线 利用导数判断零点 利用导数判断函数单调性 函数的极大值与极小值 函数的最大值与最小值 高考研究:极值点偏移 高考研究:导数重构 三次函数的单调区间和极值 导数常见的缩放与构造参数恒成立问题 高考研究：利用导数研究恒(能)成立问题 利用导数证明不等式 高考研究：利用导数判断零点 阅读：利用二阶导数判断函数的凸凹性 向量、模、单位向量 向量加法、减法与平行四边形和三角形法则 向量的模长 向量的单位化 两向量的夹角 平面向量基本定理 正交分解与坐标表示 向量的线性运算、线性相关与线性无关 向量内积(数量积） 向量投影(高中版) 点到平面的距离公式 向量外积(向量积) 平面向量的坐标运算 向量垂直 向量平行 定比分点公式与中点坐标公式 向量判断三点共线 方向向量与法向量 向量计算面积 用向量证明余弦定理、正弦定理、和差角公式 空间向量 右手坐标系与左手坐标系 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算 空间向量的模、数量积与夹角 判断三向量共面 空间向量在立体几何里的应用 空间向量在解析几何里的应用 高考研究：空间向量的基本概念与性质 高考研究：向量的数量积 高考研究：向量垂直、平行、与向量夹角 复数的诞生与历史渊源 复数的基本概念与几何意义 复数的模、辐角与共轭复数 虚数i的周期 复数的加、减、乘、除 复数加减的几何意义 复数的三角形式及乘除法表示 复数乘除的几何意义与复数旋转任意角度 复数的乘方与棣莫弗定理 复数的开方与虚根成对定理 高次多项式根与系数的关系 共轭复数的三角形式 复数的指数表示(选学) 欧拉公式与推导 高考研究：复数的基本运算 阅读：三元数与四元数 数列的基本概念 等差数列 等比数列 数学归纳法 反证法 数列的周期性 数列的单调性 数列计算-累加法求a_n 数列计算-累乘法求a_n 数列计算-倒数变换法求a_n 数列计算-对数法求a_n 数列计算-不动点迭代法求a_n 数列计算-待定系数法求a_n 数列计算-递推法求a_n 数列计算-特征方程法求a_n 数列通项计算综合运用 数列求和-公式法求S_n 数列求和-错位相减法求S_n 数列求和-倒序相加法求S_n 数列求和-裂项相消法求S_n 数列求和-奇数项与偶数项求和S_n 数列求和-分组转化求和 高考研究-数列的综合法 高考压轴题：数列与概率的综合运用 附录：数列的极限 直线的倾斜角与斜率 两直线平行与垂直(解析几何) 直线方程(点斜/斜截/截距/两点式/一般式) 直线的参数方程与方向向量 直线的方程(点法式) 两条直线相交、平行与重合 两点之间的距离 点到直线的距离公式 两平行直线距离 两条直线的夹角 直线束与不等式解集 圆的标准方程 直线与圆的位置 直线与圆的切线 直线与圆的弦长 圆与圆的关系与圆切线的条数 圆的离心率 圆的第二定义-阿波罗尼斯圆 利用向量解决圆的问题 椭圆的定义与标准方程 椭圆的离心率 椭圆的切线方程 椭圆的第二定义 椭圆的参数方程 点与椭圆位置关系与动点轨迹 直线与椭圆的位置关系 椭圆中点弦斜率与方程 椭圆焦点三角形面积 椭圆的周长和面积 双曲线的定义与标准方程 双曲线离心率 双曲线的渐近线与共轭双曲线 双曲线的第二定义 抛物线的定义 抛物线的离心率与准线 圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的极坐标方程 漫谈：为什么引入离心率 漫谈：圆锥曲线的焦点 漫谈：圆锥曲线的准线 漫谈：解析几何的发展与圆锥曲线的终极统一 阅读：椭圆和双曲线的第三定义 圆锥曲线的直径 圆锥曲线的切线 坐标轴平移与旋转 一般的坐标变换公式 一般二元二次方程的讨论 高考研究：直线和圆锥曲线的位置关系 高考研究：动点与最值问题 空间直角坐标系 斜二测画法与投影图 点、直线、平面的集合表示与位置概述 平面三大公理 直线与直线的位置关系 异面直线 直线与平面平行 直线与平面垂直、点、直线到平面的距离 斜交、三垂线定理与三射线定理 平面与平面平行与二面角 柱、锥、台、球 概述 棱柱、棱锥和棱台的表面积 棱柱、棱锥和棱台的体积 圆柱、圆锥和圆台的表面积 圆柱、圆锥和圆台的体积 球与球的面积 球与球缺的体积 空间向量 空间向量的内积(数量积) 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示与坐标运算 向量共线 定比分点公式 空间两点间的距离 空间两向量之间的夹角 点到平面的距离与正射影 空间向量应用1：点、线、面的向量表示 空间向量应用2: 空间中直线、平面的平行 空间向量应用3: 空间中直线、平面的垂直 空间向量应用4: 空间距离研究 空间向量应用5: 空间角度研究 平面的法向量 深入理解：空间向量在求距离问题中的应用 经典例题：用向量解决几何证明题 经典例题：用向量内积解决几何问题 经典例题：空间向量的平行与向量共面的判定 课外阅读：空间向量外积 课外阅读：空间的直线方程与球面方程 漫谈：已知经纬度求球面上两点间的距离 附录：等积原理(祖暅原理) 附录：正多面体只有五种与平面欧拉公式 附录：球面积推导与球的体积推导 高考研究：立体图形的表面积与体积 高考研究：空间向量与立体几何 高考研究：球的切、接问题 加法原理与乘法原理 排列 组合 环形排列 重复排列 重复组合 排列组合常见模型-先选后排 排列组合常见模型-捆绑模型 排列组合常见模型-插空法 排列组合常见模型-隔板法 排列组合常见模型-地图涂色 排列组合常见模型-特殊元素法 排列组合常见模型-平均分组法 排列组合常见模型-元素顺序固定模型 排列组合常见模型-站立多排模型 排列组合常见模型-环排模型 延伸-抽屉原理(鸽巢原理) 延伸-容斥原理 连加符号与连乘符号 二项式定理 二项式定理性质 二项式定理应用-系数研究 二项式定理应用-整除和精度问题 高考研究：两个计数原理 高考研究：排列与组合 随机事件与样本空间的概念 事件的集合表示与古典概率 事件的运算 概率加法公式 事件的独立性 互斥事件、对立事件与独立事件 用频率估计概率 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 练习：古典概率里的“取”模型 练习：古典概率里的“放”模型 随机变量及其分布列 离散型随机变量数学期望 离散型随机变量的方差 两点分布与二项分布 超几何分布 正态分布 正态分布的标准化 统计学 简单随机抽样与分层随机抽样 统计图表 频率直方分布图的制作 用频率分布直方图估计总体分布 平均数、中位数与众数 极差、方差与标准差 百分位数与四分位数 成对数据与相关系数 多组成对数据的相关性 一元线性回归方程与最小二乘法 一元线性回归模型的应用与非线性数据的处理 独立检验 阅读：最小二乘法的推导与蒙特卡洛算法 阅读：敏感问题的统计 阅读：夹角余弦与文本分类 高考研究：数学期望综合练习 高考研究：随机变量分布与检验 高考研究：统计学压轴大题研究 高考研究：数列与概率的组合，新高考不可忽视的压轴大题

本章思维导图 集合的概念 实数的完备性与有界函数 区间、邻域与几个不等式 基本初等函数 几类特殊的函数 函数的性质(有界、无界)与复合函数 数列的极限 数列极限的计算 函数的极限-函数自变量趋于无穷大时的极限 函数的极限-函数自变量趋于有限值时的极限 函数的极限的性质与海涅定理 函数极限的计算方法 夹逼准则 第一重要极限 sinx/x 单调有界收敛准则、柯西数列与柯西收敛准则 第二重要极限 (1+1/x)^x 无穷小与无穷大、无穷小的主部 无穷小与无穷大比较、等价无穷小 0/0 与 ∞/∞ 未定型求法 函数连续性 函数的间断点 初等函数、反函数、复合函数的连续性 连续函数的最大值与最小值定理 零点定理、介值定理与康托尔一致性定理 附录：常见100个极限列表 重点辅导：等价无穷小注意事项 重点辅导：怎样求 e^x类型极限 重点辅导：洛必达法则这么用为什么不对 课外阅读：调和级数、交错调和级数、巴塞尔问题和黎曼级数 课外阅读：第二次数学危机 本章思维导图 光滑曲线、切线与弧长的长度 导数的定义 左右导数与不可导函数 重新审视导数的定义 切线与法线方程 函数的可导性与连续性的关系 函数和差积商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数求导链式法则 二阶导数及其意义 高阶导数及莱布尼茨公式 隐函数的导数 参数方程的导数 相关变化率 微分的定义 微分形式的不变性 费马引理与罗尔中值定理（Fermat & Rolle theorem） 拉格朗日中值定理 Lagrange Theorem 柯西中值定理 Cauchy Theorem 洛必达法则 L Hospital Rule 泰勒公式Taylor 常见函数的泰勒展开以及麦克劳林公式 泰勒公式佩亚诺余项与拉格朗日余项 泰勒公式举例 函数单调性的判别 函数的极大值与极小值(零点、驻点、极值点) 函数的最大值与最小值 曲线的凹凸性与拐点 曲线的渐近线 函数图形的描绘 弧微分、曲率与渐开线、摆线、渐屈线 快速求方程的近似解-二分法 快速求方程的近似解-牛顿迭代法、切线法、割线法 导数在经济学中的应用 总结：驻点、拐点、极值点、零点、间断点 附录：导数与微分到底有什么区别 本章思维导图 积分学起源与原函数 不定积分及其几何意义 不定积分的性质与积分表 第一类换元积分法(凑积分法) 第二类换元积分法(变量替换法) 三角函数的积分（专项训练） 无理函数的积分(专项训练) 分部积分法 有理函数的不定积分 定积分的概念 定积分的几何意义 定积分的性质与积分中值定理 变上限定积分 积分中值定理 牛顿一莱布尼兹公式（微积分基本定理） 牛顿一莱布尼兹公式应用举例 定积分的换元法 定积分计算常见技巧 定积分的分部积分 定积分的应用1--直角坐标系与参数方程求曲面的面积 计算曲面面积-X型 计算曲面面积-Y型 平面曲面的面积-极坐标法 定积分的应用2-计算曲线的弧长 定积分的应用3-旋转体的立体体积 平行截面面积为已知的立体的体积 定积分的应用4-旋转曲面的面积 定积分在物理上的应用举例 定积分在经济学上的应用 广义积分(反常积分)、P积分、柯西主值P.V. 广义积分的的审敛法 瑕积分、p积分 瑕积分敛散性的判别法 含参变量的正常积分 含参变量的广义积分 欧拉第二型积分-伽玛函数 Γ Gamma Function 欧拉第一型积分-贝塔函数B Function 本章思维导图 引子 微分方程 *解的存在与唯一性定理 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性非齐次微分方程(常数变易法) 全微分方程与积分因子 一阶微分方程的实际应用案例 可降阶的微分方程 二阶线性微分方程的通解结构 形如 y''+py'+qy=0 的二阶常系数齐次线性方程的解法 形如 y''+py'+qy=f(x) 二阶常系数非齐次微分方程 n阶常系数齐次线性微分方程的解法 幂级数展开法、常数变易法与拉普拉斯变换法 二阶微分方程的实际案例 二级微分方程的两个典型应用-弹簧振子与LC震荡器 欧拉方程 伯努利微分方程 差分方程 阅读：波动方程 本章思维导图 空间向量与空间坐标系 向量的三角形法则与平行四边形法则 向量的坐标运算 向量内积(数量积) 方向角与方向角余弦 向量投影 向量外积(向量积) 向量的混合积 向量的张量积与直积 法向量与平面的点法式方程 平面的一般方程、三点式方程与截距式方程 点到平面的距离 两平面的夹角与两平面的垂直与平行 直线的方向向量与空间直线的方程 空间直线的参数方程 空间两直线的夹角(含平行与垂直) 点到直线的距离与异面直线的距离 直线与平面夹角与空间直线与平面的关系 平面束 曲面和二次曲面总览 旋转曲面 柱面 椭球面与二次锥面 抛物面 马鞍面(双曲抛物面) 单叶双曲面与双叶双曲面 空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程与螺旋线 空间曲线在坐标面上的投影 附录：常见空间区域的图形 本章思维导图 n维欧氏空间、聚点、点列 领域、区域与聚点 二元函数的概念 二元函数的二重极限与累次极限 二元函数的连续性 偏导数 偏导数的几何意义 高阶偏导数与拉普拉斯方程 全微分 全微分的计算 多元函数复合求导链式法则 Part1 复合求导链式法则 Part2 多元复合函数求导举例 Part3 多元复合函数的高阶偏导数 Part4 全微分形式的不变性 隐函数存在定理 隐函数求导方程组的情况与雅可比行列式Jacobi 多元隐函数方程组举例 逆映射的存在性定理与雅可比矩阵 二元函数泰勒公式Taylor 数量场 向量场 向量导数 空间曲线的切线和法平面 切平面与法线方程 方向导数 梯度 什么是梯度？为什么梯度下降最快？ 梯度场 等值线 多元函数的极值与最值 理解：二元函数的极值与Hesse黑塞矩阵 条件极值与拉格朗日乘数法 多元函数里的最小二乘法 阅读：曲面论初步 本章思维导图 二重积分的概念 二重积分的定义与几何意义 二重积分的性质与中值定理 直角坐标系下二重积分的计算 X型区域上的二重积分 Y型区域上的二重积分 极坐标系下二重积分的计算 二重积分举例 二重积分换元法与雅可比行列式 二重积分换元法举例 三重积分的概念 利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分 三重积分举例 三重积分的一般换元法 重积分应用1-空间立体的体积 重积分应用2-曲面的面积 重积分应用3-质量与质心 重积分应用4-转动惯量与引力 第一类曲线积分(对弧长积分) 第一类曲线积分的性质 第一类曲线积分计算举例 第二类曲线积分(对坐标积分) 理解：重新审视第二类曲线积分的教程定义 第二类曲线积分计算举例 两类曲线积分的关系 曲线积分基本定理 第一类曲面积分(对面积的曲面积分) 第一类曲面积分的计算举例 第一类曲线积分解题指导 第二类曲面积分Part1-曲面的侧 第二类曲面积分Part2-曲面积分概述 第二类曲面积分Part3-定义与计算 第二类曲面积分Part4-计算方法 第二类曲面积分的举例 两类曲面积分之间的关系 单连通区域及其正向边界 格林公式Green公式 格林公式的挖洞法与补线法 格林公式举例 曲线积分与路径无关 格林公式的解读 微分算子与格林第一公式、第二公式、第三公式 格林公式的应用-恰当方程 格林公式的证明 理解：通量与散度 高斯公式 Gauss公式 高斯公式举例 高斯第一公式、高斯第二公式与高斯第三公式 斯托克斯公式 斯托克斯公式举例 理解：环流量与旋度 本章思维导图 常数项级数的概念 柯西收敛准则与调和级数、几何级数与p级数 收敛级数的基本性质 正项级数敛散性的判别法（上） 正项级数敛散性的判别法（下） 正项级数审敛性举例 交错级数收敛性判断与莱布尼兹定理 绝对收敛和条件收敛 函数项级数的概念 函数项级数的一致收敛 幂级数及其阿贝尔收敛判别法 幂级数在其收敛区间内的基本性质 幂级数和函数的性质 函数展开成幂级数 函数展开的意义与举例求近似值 幂级数展开求积分、微分方程和欧拉公式 傅里叶变换简述 正交函数与三角函数的正交系 傅里叶级数与傅里叶系数 函数展开成傅里叶级数举例 与周期延拓 正弦级数与余弦级数 利用傅里叶展开求级数的和 一般周期函数的傅里叶级数 平面向量与空间向量 数量场与向量场 向量场的通量与散度 向量场的环量与旋度 保守场与势函数 外微分 外微分运算性质 外微分简介 一般形式的斯托克斯公式 哈密尔顿算子与拉普拉斯算子

公式汇总 二阶行列式及其意义 三阶行列式的几何意义 四阶行列式的计算() 排列及其逆序数 n 阶行列式 上三角与下三角行列式 行列式的转置 余子式与代数余子式 代数余子式的异乘变零定理 行列式按行展开 反对称行列式与准对称行列式 范德蒙德Vandermonde行列式 克莱默Cramer法则 方程组解的判定 拉普拉斯定理 Laplace 雅可比行列式与雅可比矩阵及其意义 行列式技巧荟萃（1） 行列式技巧荟萃（2） 本章思维导图 矩阵重要公式汇总 矩阵的定义 矩阵的加减与数乘 矩阵的乘法 矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵乘法(矩阵左乘) 矩阵乘法（矩阵右乘） 矩阵变换-缩放矩阵，旋转矩阵，平移矩阵，线性变换，仿射变换，齐次坐标 矩阵乘法的意义：物理理解 矩阵的应用：生态、规划与定位 矩阵的幂运算与特征值 可交换矩阵 矩阵的转置 对称矩阵与反对称矩阵 伴随矩阵 逆矩阵(上) 逆矩阵(下) 正交矩阵 矩阵的迹tr 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵的求法（） 矩阵的等价 逆矩阵求解方程组() 对角形矩阵 矩阵的秩的意义 矩阵秩的性质 分块矩阵 分块矩阵的逆与分块矩阵的转置 对角矩阵的行列式 Cauchy-Binet 柯西-比内公式 雅可比矩阵 过渡矩阵 矩阵的特征值分解PAP 阅读：矩阵的LU分解 阅读：矩阵的CR分解 阅读：矩阵的QR分解 阅读：矩阵的奇异值SVD分解 阅读：奇异值分解（SVD)介绍和可视化理解 阅读：一文让你通俗理解奇异值分解SVD 矩阵思维导图 向量空间公式汇总 向量的概念及运算 集合论、向量空间及其子空间 线性变换、矩阵与数域的关系 解空间与正交补 方程的向量表示及线性表示 向量线性表示与组合的几何意义 向量组的等价（） 向量组等价的几何意义 线性相关与线性无关 线性相关与线性无关的性质 极大无关组及其几何意义 极大线性无关组的求法 向量组秩的概念 矩阵的秩的意义(向量版) 向量组的秩与矩阵的秩的关系 向量空间的基、坐标、维数与同构 基变换与过渡矩阵 基变换的几何意义 线性映射与线性变换 线性变换的性质 线性映射与矩阵 线性变换的矩阵表示与相似矩阵 本章思维导图 方程组解公式汇总 线性方程组解的表示(向量视角) 方程的解与向量的几何理解 线性方程组有解的几何意义 齐次线性方程组解的结构(理论部分) 三元齐次线性方程组 齐次方程组解的结构(基础解系) 齐次方程组解的性质 非齐次线性方程组解的结构与几何意义 三元非齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的结构(基础解系) 非齐次方程解的性质 解空间 两个线性方程组的公共解与同解 考研试题训练 最小二乘法的几何意义 本章思维导图 本章公式汇总 向量的内积、长度 向量内积几何意义 向量的外积 向量外积(叉积)的几何意义 向量单位化 向量间距离 向量投影 向量正交 施密特正交化过程 施密特正交化例题 本章思维导图 本章公式汇总 为什么引入特征值与特征向量 特征值与特征向量的几何意义 特征值与特征向量的求法() 特征值与特征向量的性质 矩阵的迹 特征子空间的几何意义 代数重根与几何重根 矩阵相似与对角化 矩阵相似的几何意义 相似矩阵的性质 矩阵与对角形 λ 相似的判定与性质 矩阵可对角化 λ 的通俗解释 对称矩阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的对角化 λ 正交矩阵与正交变换 若尔当Jordan标准型 阅读：张量积 本章思维导图 本章公式汇总 二次型的意义 二次型的定义 阅读：为什么只研究二次线而没有三次性 矩阵的合同 二次型化标准形（配方法） 二次型化标准形（初等变换法） 二次型化标准形（正交变换法） 惯性定理 正定二次型与图像判定 合同、惯性定理与合同变换的几何意义 二次型应用-多元函数极值 本章思维导图 引论 线性代数的意义 线性函数、多项式、群与环 线性映射的意义 线性变换的意义 线性几何推广与高维度空间 近世代数对数学的整体思考 酉空间，酉矩阵，辛空间，辛矩阵这样的译名缘由 延伸阅读：多项式与《线性代数》 复习1:行列式的性质 复习2:矩阵的性质 复习3：线性表示 复习4：相似与对角化 复习5:三大性质与正定

排列数、组合数与二项式定理 随机试验及其性质 随机事件之间的关系与运算 概率三条公理与加法定理 古典概率模型 古典概率例题 古典模型1：“取”模型 古典模型2：“放”模型 古典模型3：彩票中奖概率 古典模型4：生日问题() 古典模型5：抽屉原理 古典模型6：帽子模型 古典模型7：容斥原理 古典模型8：分装模型 几何概率模型 几何模型1:蒲丰投针问题 几何模型2:碰面问题 几何模型3:线段长度问题 几何模型4:贝特朗悖论 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 Bayes 事件的独立性与零件的可靠性 两两独立与相互独立 阅读：概率的频率派与贝叶斯派 课外阅读：三门问题(蒙提霍尔问题) 本章思维导图 随机变量的定义 密度函数PDF与分布函数CDF 密度函数和分布函数性质与举例 离散型(两点分布) 离散型(二项分布) 离散型(多项分布) 离散型(几何分布与无记忆) 离散型(负二项分布) 离散型(超几何分布) 离散型(泊松分布 Poisson) 泊松定理(二项分布的泊松近似) 连续型(均匀分布) 连续型(指数分布与无记忆性) 连续型(正态分布-Part1) 连续性(一般正态分布化为标准正态分布-Part2） 正态分布表的使用与上a分位数-Part3 连续型(标准正态分布3σ原则与举例-Part4) 阅读：正态分布的密度函数是如何推导出来？ 连续型(伽马分布garmma) 连续型(贝塔Beta分布) 连续性(韦布尔分布Weibull ) 连续型(瑞利分布Rayleigh) 连续型(柯西分布Cauchy ) 连续型(狄利克雷Dirichlet 分布) 连续型(幂律分布) 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 本章思维导图 本章思维导图 二维随机试验 联合分布函数 二维离散型随机变量及其联合分布律 二维连续型随机变量及其联合密度函数 边缘概率分布 二维均匀分布 二维正态分布 二维条件分布 二维相互独立性 二维离散型随机变量函数的分布 二维连续型随机变量函数的分布 卷积公式-为什么引入卷积 和的分布与差的分布 商的分布 积的分布 最大值与最小值分布 多变量的卷积 阅读：生成函数的引入 生成函数的定义 生成函数的唯一性和收敛性 阅读：傅里叶变换与概率论 本章思维导图 数学期望的定义 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 数学期望应用举例 方差与标准差 方差的性质 协方差 相关系数 变异系数 炬、协方差矩阵、偏度系数、峰度系数 矩母函数 阅读：矩Moment-一阶矩、二阶矩、三阶矩、四阶矩的理解 本章思维导图 依概率收敛 按分布收敛 马尔可夫不等式 切比雪夫不等式 切比雪夫Chebyshev大数定律 伯努利Bernoulli大数定律 辛钦Khinchin大数定律(独立同分布) 马尔可夫Markov大数定律 林德伯格-列维(独立同分布)中心极限定理 德莫弗一拉普拉斯中心极限定理 二项分布的泊松估计与中心极限定理估计 李雅普诺夫中心极限定理 斯特林公式与概率 本章重难点解析与思维导图 总体与个体 抽样与经验分布函数 直方图 茎叶图与箱线图 平均数、中位数、众数、分位数、 统计量、样本均值与样本方差 为什么样本方差除以n-1而总体方差除以n 原点矩与中心矩 次序统计量 偏度系数与峰度系数 卡方分布χ²-独立检验-Part1 卡方分布χ²-拟合度检验-Part2 卡方分布χ² t分布 F分布 正态抽样的均值与方差 阅读：卡方分布χ²-前世今生-Part4 阅读：卡方分布χ²-前世今生-Part5 参数估计概述与思维导图 点估计(矩估计法) 点估计(极大似然估计) 无偏性 有效性 相合性 区间估计概述 置信区间 枢轴变量 双侧置信区间与单侧置信区间 单个正态总体的参数的区间估计 两个正态总体的参数的区间估计 附表：参数估计服从分布表与例题 本章思维导图 预备知识与假设检验通俗解释 假设检验 一个正态-期望检验（Z检验/U检验/t检验） 一个正态-方差检验（卡方χ2检验） 两个正态-期望检验(Z检验与t检验) 两个正态-方差检验 （F检验法） 单侧检验 总体分布的卡方检验法 p值和 p值检验法 正态分布均值、方差检验表 卡方χ^2分布的拟合度检验与列联分析 拟合优度检验 单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 回归分析引言 一元线性回归 回归方程的显著性检验 预测与控制 非线性回归的线性化处理 随机过程 马尔科夫链 递推关系与种群动力学 复习1:基本概念与概率公式 复习2：几个常见的分布 复习3:一维随机变量和分布的求法 复习4:二维随机变量与分布的求法 复习5:数学期望与方程 复习6：大数定律 复习7:重要统计量 复习9:矩估计 复习8:三大分布

思维导图 复数概念及其四则运算 共轭复数 复数的代数表示法 复数的三角表示 复数的指数表示 一个复数的三种表示 复数的乘法与除法 复数乘法的几何意义 棣莫弗公式与切比雪夫多项式 复数的方根 复数模的三角不等式 无穷大与复球面 复数函数和实数函数互相转换 临域、边界点、开集与有界 欧拉公式的证明 区域、单连通域、多连通域和圆盘域 单值函数与黎曼面的基本概念 复变函数 复数的导数与微分 解析函数 柯西-黎曼方程 平移映射与旋转映射 复数导数的几何意义 极限与连续性 求导法则与 可导可微连续的关系 柯西-黎曼方程的极坐标形式 区域解析 调和函数与共轭调和函数 指数函数（复数） 多值函数 初等复函数-对数函数（复数） 幂函数（复数） 初等复函数-幂函数 初等复函数-正弦余弦与双曲函数（复数） 反三角函数（复数） 解析函数求解方法 一个重要的复函数：反演映射 w=1/z(上) 一个重要的复函数：反演映射 w=1/z(中) 一个重要的复函数：反演映射 w=1/z(下) 阅读：环绕数、辐角函数 分式线性映射-保圆性 解析函数-保角性 解析函数-伸缩率不变性 共形映射(保形映射) 思维导图 复变函数的积分 复积分的物理意义-复势与流势 光滑曲线的方向与积分周线的参数化 复变函数积分的计算 第一型重要复积分 w= ∫z dz 第二型重要复积分 复反演积分 w= ∫1/z dz 复积分模计算上界 柯西-古萨定理 复合闭路定理 原函数与牛顿-莱布尼兹公式 柯西积分公式 平均值公式 高阶导数定理 复变函数里的最大模原理 柯西不等式（复数） 刘维尔定理与代数学基本定理 莫雷拉定理Morera 调和函数 狄利克雷问题与泊松积分公式 思维导图 复数序列及其收敛性 泰勒Taylor展开定理(复数) 泰勒展开里六个基础函数的证明 泰勒级数展开例题 洛朗级数 洛朗(Laurent)级数 洛朗展开例题 条件收敛域绝对收敛 幂级数的概念 收敛圆与收敛半径 求收敛半径的方法 阿贝尔 ( Abel ) 定理 幂级数的性质与展开 为什么洛朗展开会有负幂次项部分？ 孤立奇点 零点 判断极点的阶数 函数在无穷远点的性态 留数的概念 留数的计算举例 留数定理 函数在无穷远点的留数 奇点的流体力学意义 微积分里实数R上的广义积分 形如Rcos Rsin 积分 傅里叶分析中的广义积分(形如Rex积分) 泊松型积分 菲涅尔积分 共轭映射 对数留数与辐角原理 儒歇定理 解析函数在拓扑上有何特殊 阅读：留数定理能和安培环路定理 分式线性映射概述（默比乌斯变换） 分式线性映射的应用-地球投影 单叶解析函数的映射 共形映射与反共形映射 分式线性映射-保角性 分式线性映射-保对称性 分式线性映射-唯一性 保角性 共形映射的求法 分式线性映射的求法举例 两个重要的分式线性函数 相似映射与倒数映射 幂函数映射 指数函数映射 周期、频率和角频率关系 信号与信号的正交分解 周期函数的傅里叶级数 奇延拓与偶延拓 频谱图与相位图 一般函数的傅里叶变换 理解：为什么一个函数乘以e^jwt做旋转，然后积分，就达到分离频率的效果 傅立叶变换的性质 傅里叶变换例题 信号的提取 傅里叶背景5：δ函数 傅里叶背景6：δ函数的性质(上) 傅里叶背景6：δ函数的性质(中) 傅里叶背景6：泊松求和公式(下) 傅里叶背景6：δ函数的微分 傅里叶背景6：δ函数的积分 傅里叶背景6：δ函数的性质与帕塞瓦尔（Parseval）等式 δ函数的傅里叶变换(广义傅里叶变换) 傅里叶背景7：采样函数 傅里叶背景7：单边谱与双边谱 傅里叶背景8：卷积 卷积与卷积定理 傅里叶背景9:傅里叶变换的性质与常见函数 傅里叶变换的微分性质 傅里叶变换的积分特性 傅里叶变换背景13-傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶变换10-频移特性与解调制与解调 傅里叶变换背景11-为什么时域卷积等于频域相乘 补充：复数与正交信号完全指南 拉普拉斯变换的引入 拉普拉斯变换的物理意义 Laplace 变换的定义 理解：如何理解1的拉普拉斯变换是1/s 拉氏变换的条件与冲激函数δ的拉氏变换 周期函数的拉普拉斯变换 Laplace性质1-线性性质与相似性质 Laplace性质2-延迟性质与位移性质 Laplace性质3-微分性质 Laplace性质4-积分性质 Laplace性质5-卷积与卷积定理 利用 Laplace 变换计算广义积分 Laplace 拉普拉斯逆变换-反演积分公式 Laplace 逆变换简表的使用 Laplace 初值定理与终值定理 Laplace 拉普拉斯解微分方程 拉普拉斯变换在求物理上应用 拉普拉斯变换在线性系统的动态特性中的应用 利用 Matlab 实现 Laplace 变换 补充：利用留数计算反演积分的定理证明 Z变换的定义以及逆变换 Z变换的性质与差分方程

匀变速直线运动公式大全 质点、参考系、位移与速度 速度、速率、平均速度与瞬时速度 加速度 实验：探究小车速度随时间变化的规律 物体运动-综合训练 匀变速直线运动 匀变速直线运动的核心公式 匀变速直线运动的重要推论公式 自由落体运动 竖直上抛运动 练习：试题精选 练习：匀变速直线运动中的多物体和多过程问题 练习：匀变速试题精选 强化训练：直线运动图像的理解和应用 强化训练：用函数法解决非常规图像问题 强化训练：图像间的相互转化 强化训练：追及相遇问题 强化训练：图像法在追及相遇问题中的应用 力学概念与公式 重力与重心 弹力与胡克定律 摩擦力 强化训练:力的综合分析 摩擦力的突变问题 力的合成和分解 试验：探究两个互成角度的力的合成规律 力的分解的两种常用方法 专训：活结、死结、与定杆、定杆与力分析 牛顿第一定律(惯性定律) 牛顿第二定律(加速度定律) 牛顿第三定律(作用力和反作用力定律) 超重和失重 共点力平衡的条件 国际单位制SI 试验：探究弹簧弹力与形变量的关系 强化训练：动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题 专题训练：力学问题综合分析 试验：探究加速度与力、质量的关系 专项训练：牛顿第二定律中的连接体模型 专项训练：牛顿第二定律中的临界值与图像问题 强化训练：传送带模型和滑块木板模型 平动和转动 转动惯性 力矩与力偶 力矩的平衡条件 刚体平衡的条件 曲线运动概念与公式 曲线运动与速度的合成与分解 小船渡河模型 练习:关联速度的问题 平抛运动 专项训练：斜面或圆弧面有关的平抛运动 斜抛运动 练习：抛体运动压轴题 圆周运动 向心力与向心加速度 练习：圆周运动的动力学举例 试验：探究平抛运动特点 试验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 离心力与圆周运动的应用-洗衣机原理 练习：圆周运动的临界问题 开普勒三大定律 万有引力定律 万有引力与重力的关系 练习：天体质量和密度的计算 称太阳质量 第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度 练习：卫星运行参量的分析 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 专项训练：天体的追及问题 失重与超重试验 专题训练：卫星的变轨和对接问题 专题训练：双星或多星模型 专题训练：星球瓦解与黑洞 阅读:黑洞 附录1：飞机静止空中，12小时后会到美国吗？ 功与能公式大全 功 功率 练习：变力做功的与功率计算 机车启动问题 动能与动能定理 练习：变力做功与图像研究 重力势能 弹性势能 机械能守恒 练习：机械能守恒的基础训练 专训：利用机械能守恒解决运动问题 试验：验证能量守恒 训练：功能关系的理解应用和训练 训练：能量守恒定律的理解和应用 专训：动能定理在往复运动问题中的应用 高考压轴：滑块、传送带、多运动模型 冲量与动量 动量定理 动量守恒定理 反冲现象与火箭发射 弹性碰撞和非弹性碰撞 自然界中的守恒定律 练习：应用动量定理处理流体模型的冲击力问题 练习：爆炸、反冲运动和人船模型 练习：碰撞问题 试验：验证动量守恒 练习：滑块—弹簧模型 练习：滑块—斜(曲)面模型 练习：子弹打木块模型 练习:滑块—木板模型 练习：动量和能量的综合问题 练习：力学三大观点的综合应用 阅读:能量的本质是什么 机械振动与机械波公式大全 简谐振动与简谐运动 理解：简谐振动与相位 简谐运动的描述(振幅、频率、周期与相位) 简谐运动的数学分析Acos(wt+φ)以及相位 单摆及其周期公式 用单摆测量重力加速度 受迫振动 共振 练习：振动图像 机械波与横波和纵波 波长、频率、波速与周期 练习：机械波的图像与描述 练习：波传播的周期性与多解性问题 波的反射与折射 波的干涉与衍射 多普勒效应 波的干涉衍射多普勒效应训练 阅读：飞机的音爆、次声波与超声波 静电场公式汇总 静电现象 库仑定律 电场与电场强度 电场强度的叠加 练习：电场强度的理解和计算 电场线的应用与静电的利用与防止 电势能、等势面与电势 电势差与电场强度的关系 训练：电场线、等势面及运动轨迹问题 带电粒子在电场中的运动 电容、电容器与触摸屏 平行板电容器 实验：观察电容器的充、放电现象 带电粒子在电场中的直线运动 带电粒子在匀强电场中的偏转 示波器 静电的利用与防护 练习：带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转 练习：带电粒子在交变电场中的偏转 电场中功能关系的综合问题 电场中的图像问题 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 电场中的力电综合问题 带电粒子在组合场中的运动 高中物理思维导图-Part2(电磁学专区) 电学公式汇总 串联、并联 与电流的概念 欧姆定律及电阻定律 电子是怎么流动的？是电子一个个流动的吗 实验：测量金属的电阻率 游标卡尺和螺旋测微器 实用：多用电表 电子元件、集成电路与芯片 电动势 闭合电路欧姆定律与电池发展史 实验：伏安法测电源的电动势和内阻 实验：安阻法测电动势和内阻 实验：伏阻法测电动势和内阻 家庭电路与安全用电 电功、电功率、焦耳定律与闭合电路中的能 水能、风能、太阳能与核能 能量的转换与守恒与环境保护 电源的U－I图像 含容电路的分析 实验：用多用电表测量电学中的物理量 试验：导体电阻率的测量 测量电路与控制电路的选择 实验器材的选取与实物图的连接 实验：定值电阻在电学实验中的应用 电磁学公式汇总 磁现象、磁场、磁感线、安培定则 磁感应强度B与磁通量Φ 安培力 安培力的应用(电磁炮、直流电动机、扬声器) 练习：安培力作用下的平衡和加速问题 洛伦兹力 带电粒子在匀强磁场中的运动初步 练习：洛伦兹力作用下带电体的运动 回旋加速器 质谱仪 电生磁-安培定则(右手螺旋定则) 磁生电-电磁感应现象 楞次定律与右手定则 练习：楞次定律里判断感应电流的方向 练习：楞次定律的总结与例题 实验：楞次定律里影响感应电流方向的因素 法拉第电磁感应定律 练习：电磁感应现象的理解和判断 练习：法拉第动生电动势 练习：感应电动势 电磁感应应用-超速电子眼、发动机和航母阻拦索 电磁感应的互感与自感 电磁感应中的涡流 带电粒子在匀强磁场中的运动 电磁流量计 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 叠加场在科技中的四种应用 霍尔效应的原理和分析 电磁感应中的电路问题 电磁感应中电荷量的计算 电磁感应中的图像问题 带电粒子在叠加场中的运动 带电粒子在交变电、磁场中的运动 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 带电粒子在立体空间中的偏转 实验：探究影响感应电流方向的因素 电磁感应中的动力学问题 电磁感应中的能量问题 动量定理在电磁感应中的应用 动量守恒定律在电磁感应中的应用 动态圆 交流电 交流电的周期、频率、相位、峰值与有效值 练习：交变电流“四值”的理解和计算 变压器 练习：理想变压器的原理及应用 练习：理想变压器的动态分析 远距离输电-交流电 PK 直流电 阅读：交流电转为直流电与直流电转为交流电 发电机和电动机 练习：正弦式交变电流的产生及变化规律 实验：探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系 麦克斯韦电磁场理论 LC电磁振荡 电磁波的产生1-电磁振荡、调制、调频、调幅 电磁波的传播2-无线电波 电磁波的接收3-解调 电磁波谱 练习：电磁波的特点及应用 阅读：电磁波的作用 阅读：电磁炉、Wifi、蓝牙与5G简介 传感器及其工作原理 传感器的应用 练习：传感器训练 实验：利用传感器制作简单的自动控制装置 光的反射与折射 光的全反射 光导纤维(光纤) 光的干涉与杨氏双缝实验 实验：用双缝干涉测量光的波长 光的衍射与泊松亮斑 光的偏振 激光 几何光学与物理光学的综合应用 实验：测量玻璃的折射率 传感器及其敏感元件 常见传感器的工作原理 传感器的应用 光是什么？粒子说与波动说概述 光电效应 光电效应的应用与光的波粒二象性 光的波粒二象性 光子假说、普朗克常量、光电方程与康普顿效应 练习：光的波粒二象性与物质波 德布罗意波(物质波) 不确定性关系与量子力学的建立 分子的大小 实验：用油膜法估测油酸分子的大小 分子热运动-扩散现象与布朗运动 分子力与物体的内能 分子运动的统计学规律 气体的三要素-体积、温度与压强 气体的等温变化(T不变)-玻意耳定律 气体的等容变化(V不变)-查理定律 气体的等压变化(P不变)- 盖·吕萨克定律 理想气体的状态方程 练习：气体状态变化的图像问题 晶体、非晶体与固体 液体的表面张力、浸润现象与毛细现象 液晶 半导体、纳米材料与石墨烯 物体的内能 热力学第一定律-能量守恒定律 热力学第二定律-热传递方向性与熵增定律 热力学第三定律-绝对零度定律 摄氏温度与热力学温度的转换 练习：热力学第一定律与图像的综合应用 练习：分子间作用力、分子势能和内能 练习：气体压强的计算 练习：气体实验定律及应用 实验：探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系 专训：气体模型-玻璃管液封模型 专训：气体模型-汽缸活塞类模型 专训：气体模型-变质量气体模型 现代物理认为的原子结构 原子的结构、电子的发现与X射线 氢原子光谱与波尔原子模型 练习：氢原子能级及能级跃迁 放射现象、X射线、α射线、β射线、γ射线与半衰期 质子、核力、原子核方程与质能方程 放射性同位数 放射性的应用 裂变与聚变 练习：核反应及核能的计算 练习：放射性元素的衰变与半衰期 阅读：质子、中子与同位素的发现 粒子物理以及中微子和正电子的发现 粒子的分类与夸克模型 训练：原子核的衰变及半衰期 阅读：普朗克黑体辐射理论 恒星的形成与演化 牛顿力学的成就与局限性 宇宙起源和演 相对论时空 阅读：相对论时空观 附录2：量子纠缠与薛定谔的猫 复习二：高中物理公式（下）

充分条件与必要条件 集合及其性质 集合与幂集 有限集与无限集 可列集 实数系的完备性 实数的公理化 实数的构造:戴德金Dedekind分割 实数的加法结构、乘法结构与稠密性 实数、代数数与超越数 区间/邻域与紧区间 最大数与最小数 上界与下界 上（下）确界与确界存在定理 确界的第二定义 连通性与振幅 逻辑记号的对偶法则 平均值不等式 柯西-施瓦茨Cauchy–Schwarz不等式 三角形不等式 数列极限的定义 极限是数列的一种趋势 数列极限的定义 确界与数列联系 收敛数列的基本性质 无穷大量 无穷大与无穷小联系 无穷级数 收敛数列的四则运算法则 收敛数列保号性定理与夹逼定理 不定式 柯西命题Cauchy 斯托尔茨 Stolz定理 单调有界数列收敛定理 自然对数 e 与欧拉尝试γ 圆周率 π 非负项级数 由迭代生成的数列与不动点定理 闭区间套定理 柯西 Cauchy 收敛准则 子列的定义 波尔查诺-维尔斯特拉斯 Bolzano－Weierstrass 凝聚定理 海涅-波莱尔 Heine－Borel 有限覆盖定理 上极限和下极限的基本性质 上极限和下极限与极限的关系 上极限和下极限的运算 压缩映射原理 牛顿求根法 Newton 求根法 实数系理论简介 什么是实数？ 构造实数系模型的方法 第八篇 极限续论 映射与逆映射 函数的定义与延拓 反函数 反函数存在定理 函数的四则运算与复合运算 绝对值函数与取整函数 符号函数与狄利克雷函数 黎曼函数 初等函数 图形合成法 函数周期性、奇偶性、有界性 函数的单调性与极值 函数极限 函数极限与连续性的定义 函数极限的惟一性定理与局部有界性定理 其他类型函数极限的定义 海涅归结原理 函数极限的四则运算与夹逼准则 两个重要极限 局部比较定理 复合函数的极限 函数极限的存在定理 函数极限的柯西收敛准则 无穷小与无穷大基本概念 等价量 高阶无穷小 1∞不定式极限 连续性定义及其推广 连续函数的四则运算 初等函数的连续性定理 间断点及其分类 连续延拓原理 黎曼函数的连续性 零点定理 连续函数的介值定理 值域定理 连续函数的最值定理 一致连续性 一致连续性的几个基本性质 有界开区间上的一致连续性定理 单调函数 反函数的连续性定理 超越函数 导数的概念与定义 导数的定义 左侧导数与右侧导数 初等函数求导公式 四则运算法则 反函数求导公式 复合函数的求导法则 高阶导数 莱布尼兹 Leibniz 公式 隐函数求导法 参数方程求导法 微分的定义 可微性 微分的几何意义 高阶微分 一阶微分的形式不变性 曲线的弧长概念 弧长的微分和曲线的自然参数方程 曲率 费马定理 Fermat 罗尔定理 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 柯西 Cauchy 中值定理 泰勒公式 Taylor 公式 若干初等函数的 麦克劳林 Maclaurin 公式 带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 中值定理应用与达布Darboux定理 用局部 Taylor 公式计算极限 洛必塔 L Hospital 法则应用 函数的单调性 函数的极值与最值 函数的凸凹性 用导数判定凸性与拐点 琴生不等式 Jensen 赫尔德不等式 Hölder 闵可夫斯基不等式 Minkowski 函数渐近线 函数作图的一般步骤 极坐标方程图像 隐函数及参数方程的作图 第五篇 微分学基本定理与应用 曲边梯形的面积计算问题 原函数与不定积分 基本不定积分表及其应用 线性运算公式 不定积分计算-换元法 不定积分计算-代入法 不定积分计算-分部积分法 不定积分的可积性概念 有理函数的不定积分计算 部分分式分解定理的证明 有理三角函数的积分 可以有理化的无理函数的不定积分 定积分-面积计算的新方法 Riemann 黎曼积分的定义 微积分基本定理 Riemann 可积的充分必要条件 几类重要的可积函数 零测度集与几乎处处连续函数 勒贝格 Lebesgue 定理 定积分的性质 积分第一中值定理 作为积分限函数的定积分 Abel 变换与积分第二中值定理 定积分的计算 对称性在积分计算中的应用 广义积分的定义和性质 线性运算公式 广义的牛顿-莱布尼兹公司Newton-Leibniz 公式 无界区间上广义积分收玫与被积函数的渐近性质 分部积分法与换元法 广义积分的绝对收敛性判别法 广义积分的 Abel－Dirichlet 判别法 非负函数的广义积分与级数的联系 积分应用学-函数图像的面积 参数方程形式下的面积公式 极坐标形式下的面积计算 曲线弧长的计算 一般体积公式 旋转体的体积计算 旋转曲面的面积 质量、质心、形心 关于旋转体的古尔丁 Guldin 定理 平面曲线的形心 定积分近似计算 求积高斯法 沃利斯公式Wallis 公式与 斯特林公式Stirling 公式 从开普勒三大定律到万有引力定律 第七篇 广义积分与积分学的应用 数项级数与p级数 级数的基本性质 数列的上极限与下极限 正项级数 达朗贝尔 D Alembert 比值判别法 柯西 Cauchy 根值判别法 柯西 Cauchy 积分判别法 莱布尼兹 Leibniz 交错型级数 绝对收敛与条件收敛 级数收敛的 阿贝尔-狄利克雷 Abel－Dirichlet 判别法 收敛级数的性质 级数的相乘 无穷乘积 无穷乘积敛散性的判别法 点态收敛与一致性收敛 函数项级数的例子 内闭一致收敛 柯西一致收敛准则 函数项级数一致收敛的比较判别法 函数项级数一致收敛的 Abel－Dirichlet 判别法 一致收敛级数的性质 连续性定理与Dini 定理 逐项积分定理 逐项求导定理 幂级数的收敛域-Abel第一定理与Cauchy-Hadamard 公式 幂级数的分析性质-Abel 第二定理 函数的幂级数展开 Taylor 展开式的积分型余项 基本初等函数的 Taylor 级数展开式 附录:复数项幂级数与 Euler 公式 课外阅读：处处不可导的连续函数 第十篇 无穷级数与幂级数 del 序：Fourier 傅里叶变换 傅里叶级数的引入与正交函数系 傅里叶级数的定义 傅里叶级数举例与计算 正弦级数和余弦级数 一般周期函数的 Fourier 级数 复数形式下的 Fourier 级数 Fourier 级数的黎曼引理 Fourier 级数收敛的局部性定理 Fourier 级数收敛的Dini 判别法 Fourier级数的狄利克雷判别法 最佳平方逼近 贝塞尔不等式Bessel与Parseval等式 Fourier 级数的一致收玫性 Fourier级数的逐项积分定理 Fourier级数逐项求导定理 魏尔施特拉斯一致逼近定理 帕塞瓦尔Parseval公式等式的证明 平面点集 欧几里得Euclid 范数和距离 内点，外点，边界点，聚点和孤立点 欧几里得空间基本定理 R×R 上的完备性定理 二元函数与多元函数 多元函数Euclid 空间上的映射 二元函数的极限 累次极限 二元函数的连续性 有界闭域上连续函数的性质（最大、最小值定理） 有界函数介值性定理 偏导数的概念与连续性 偏导数的几何意义与切平面 高阶偏导数 关于混合偏导数的求导顺序 全微分的概念 全微分的几何意义 高阶全微分 复合函数的链式求导法则 一阶微分的形式不变性 隐函数求导法(一个方程的情况) 隐函数求导(方程组的情况) 隐函数存在定理 隐函数存在 方程组的情况 反函数存在定理 微分表达式的变量代换 曲线的切向量、切线和法平面 曲面的法向量，法线和切平面 方向导数 梯度 中值定理与二元泰勒公式 Taylor 极值与黑塞矩阵 Hesse 最小二乘法与牧童经济模型 Lagrange 拉格朗日乘子法 多个约束条件下的 Lagrange 乘子法 约束条件为不等式的例子 拉格朗日极值的充分条件 向量值函数的全导数 平面图形的面积与面积上的积分 二重积分几何意义、定义与性质 直角坐标系下二重积分 二重积分计算举例 二重积分变量代换与雅可比行列式的意义 二重积分的变量变换公式证明与举例 用极坐标计算二重积分 二重积分极坐标计算例题 三重积分 球坐标、柱坐标与三重积分的变量替代 三重积分计算举例 重积分的应用 n重积分的例子 反常二重积分 牛顿的困惑 阅读：Peano 曲线 第一类曲线积分 第一类曲线积分举例 第二类曲线积分 第二类曲线积分例题 势函数 两类曲线积分的联系 格林Green 公式 格林公式举例 区域D有洞的格林公式 调和函数 格林定理Green 利用格林公式证明高斯Gauss的代数基本定理 利用格林公式证明Brouwer 不动点定理 第一类曲面积分的物理意义与定义 第一类曲面积分的性质与举例 有向曲面与第二类曲面积分的物理意义 第二类曲面积分计算举例 Gauss 高斯公式背景与定义 高斯公式举例 斯托克斯 Stokes 公式 空间曲线积分与路线无关的条件 含参变量常义积分、可导性定理与第二类完全椭圆积分 含参变量广义积分 贝塔beta函数与第一类欧拉Euler积分 伽玛Gamma 函数与第二类欧拉Euler积分 B函数和伽玛函数总结 勒让德公式 legendre 余元公式 斯特林公式Stirling 狄利克雷积分 拉普拉斯积分 菲涅尔积分 Fresnel 第十六篇 含参变量的积分 第十五篇 曲线与曲面积分 数量场和向量场 保守场

引言 数的扩充-复数 数域的概念 集合、幂集、映射与变换 求和号与乘积号 充分必要条件 一元高次代数方程的基础知识 高等代数基本定理 实数域上代数方程的根 线性方程组与初等变换 矩阵、增广矩阵与方程组的解 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 m维向量空间 向量组的线性相关与线性无关 向量组的秩与线性等价 极大线性无关组 集合内的等价关系 向量组的秩与矩阵的秩 矩阵的行秩与列秩 线性方程组的基础解系 基础解系的求法 线性方程组的一般理论 矩阵的加减运算 矩阵的乘法 矩阵乘法的几何意义 矩阵乘法的基本性质 矩阵运算和秩的关系 n 阶方阵 矩阵的初等变换 逆矩阵 几类特殊的n 阶方阵 分块矩阵与秩的不等式 矩阵的分块求逆 Sylvester秩不等式 平行六面体的有向体积 n阶方阵的行列式函数 行列式 detA 行列式对任意行（列）的展开公式 分块矩阵行列式及其性质 行列式应用-方程的解、逆矩阵、伴随矩阵、Cramer法则 矩阵乘积的行列式 矩阵的秩与k阶子式 阅读：Laplace 拉普拉斯展开式 阅读：Binet-Cauchy 比内-柯西公式 引言 线性空间与线性变换 线性空间的基本概念 线性相关与线性无关 基和维数 向量的坐标、泰勒展开与坐标运算 基变换、坐标变换与过渡矩阵 子空间与解空间 子空间的交与和、维数公式 子空间的直和与补空间 商空间、同余类与剩余类 线性映射 线性空间的同构 线性映射的核、像集和余核 线性映射的运算 线性映射的矩阵 线性变换的基本概念 线性变换在不同基下的矩阵 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 特征多项式的基本性质 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 商空间中的诱导变换 双线性函数与二次型 双线性函数在不同基下的矩阵与合同 二 次 型 二次型的标准形 二次型标准形的计算方法 复二次型与实二次型的分类、规范形 实二次型的分类与正惯性指数 正定二次型 欧几里得空间的定义 有限维的欧氏空间 施密特（Schmidt）正交化 正交补与同构 正交变换 正交变换的特征值与性质 对称变换 用正交矩阵化实对称矩阵成对角形 酉空间与酉矩阵 酉变换 正规变换与厄米特变换 四维时空空间的度量与广义洛仑兹变换 辛空间 辛变换与辛矩阵 幂零线性变换与循环不变子空间 幂零线性变换与循环基 Jordan 标准形的存在性 Jordan 标准形的唯一性 Jordan 标准形的计算方法 最小多项式与Hamilton-Cayley定理 矩阵序列的极限 矩阵函数 矩阵函数的求法 欧氏空间中的旋转 有理整数环的基本概念 整除性理论与理想 因子分解唯一定理与算术基本定理 同余式与剩余类 Euler 函数、费马小定理与剩余定理 模m的剩余类环 一元多项式环 一元多项环的整除理论 K[x] 内的理想 在线性代数中的应用 因式分解唯一定理 重因式 中国剩余定理与格朗日插值多项式 Jordan－Chevally 分解定理 C R Q 上多项式的因式分解与高等代数基本定理 高斯引理与爱森斯坦判别法 Z[x] 有理整数环内多项式的因式分解 多项式根的分布与斯图姆定理 单变量有理函数域与分式 有理分式分解为准素分式 群、环和域的基本概念 多元多项式环的基本概念 整除性与因式分解 多变量有理函数域 对称多项式 对称多项式的基本定理、判别式与方幂和 结式 结式的计算 n维仿射空间 R内的仿射变换与正交变换 R中二次超曲面的分类 R中二次超曲面的仿射分类 多元函数的极值 n维射影空间 维射变换的性质 线性空间的对偶空间 多重线性映射与笛卡尔积 线性空间的张量积 张量积的性质 线性变换的张量积 张量 张量的加法和乘法 外代数 向量的外积 交错映射的性质

物质的分类 物质的分类-重难点辅导（1） 离子反应 离子反应-重难点辅导(1) 离子反应-重难点辅导(2) 物质的量摩尔与阿伏加德罗常数 物质的量-重难点辅导（1） 阿佛加德罗常数与微观离子-重点难点辅导（2） 气体的摩尔体积 物质的分离、提纯、蒸馏、萃取。分液方法概述 物质的检验与溶液的配置 容量瓶的使用与溶液的配置-重难点辅导(1) 氧化反应、还原反应与配平方程式 氧化还原反应-知识点辅导（1） 氧化还原反应-知识点辅导（2） 物质的量浓度 同位素、化学反应-知识点辅导（3） 氯气 卤素单质-知识点辅导（1） 次氯酸和次氯酸盐 实验：室制取氯气-知识点辅导（1） 溴、碘 溴、碘的制备-知识点辅导（1） 硫、硫化亚铁、硫化铜、硫化氢和二氧化硫 硫酸、硫酸盐与硫酸根离子的检验 单质硫的性质及应用-知识点辅导（1） 氮、氮肥、氨气、硝酸、尿素 卤素离子与二氧化硫-知识点辅导（1） 亚硫酸、亚硫酸盐和硫代硫酸盐-知识点辅导（2） 硫酸的性质与硫酸根的检验-知识点辅导（2） 原子结构与电子排列 原子结构 与原子核外电子排布规律-知识点辅导（1） 元素周期表 元素周期表-知识点辅导（1） 同位素与相对原子量 核外电子排布电子式及元素周期率 化学键、离子键、共价键 化学键-知识点辅导（1） 元素周期律-知识点辅导（2） 氢原子的能层与能级 电子云、电子排布与泡利不相容原理 能级、层级与电子排布-知识点辅导（1） 原子结构与元素周期表 电离能与电负性-知识点辅导（2） 分子概述、共价键、σ键，π键能、键长与键角 分子化学键-知识点辅导（1） 分子空间结构 分子共价键的极性、作用力、溶解性与手性 价电子极性微粒构型和杂化-知识点辅导（1） 分子间作用力-知识点辅导（2） 晶体的基本知识 等离子体、液晶 分子晶体与共价晶体 金属晶体与离子晶体 配合物与超分子 晶体和晶体类型-知识点辅导（1） 晶体结构及计算--知识点辅导（2） 分子的极性、手性、范德华力、氢键、DNA 阅读：配位化合物、DNA螺旋、超分子 阅读：金属晶体、晶胞、合金、金属键、硬度 阅读：离子晶体、离子键、室温离子液体 阅读：共价晶体、分子晶体、金刚石、二氧化硅、液晶 钠 钠-知识点辅导（1） 碳酸钠和碳酸氢钠的性质和应用-知识点辅导（2） 镁-知识点辅导(1) 铝-知识点辅导（2） 铁-知识点辅导（3） 吸热、放热与化学能、电能的互相转换 化学反应速率 可逆反应与化学平衡 氧化钠、氧化铁、氢氧化钠、氢氧化铁以及盐 甲烷、饱和烃、烷烃、烃基与同分异构现象 石油、煤、塑料、乙烯、乙炔、苯、烃 乙醇、乙酸、羟基、乙酸、羧酸 糖、油脂和蛋白质 有机化学的发展史 有机化合物表示、同分异构、分类 有机物的命名 脂肪烃、烷烃、烯烃、炔烃 芳香烃、苯、硝、溴苯、TNT 卤代烃 醇、酚、醚、酮、苯酚 醛和酮 羧基、羧酸、酯、酰胺 糖类、氨基酸、多肽、蛋白质、核酸 聚合物、高分子、塑料、橡胶、纤维 有机物合成 有机化合物的分离与提纯 化学的热反应与能量变化 反应热的测量、盖斯定律与焓 燃料热 化学反应的方向与熵 化学平衡常数与化学反应限度 化学反应的速率 氨 水的电离和溶液的pH酸碱性 电离平衡与电离常数 酸碱中和与盐类水解 难溶电解质的沉淀溶解平衡 电池 电解池 电化学腐蚀

本章思维脑图 集合的定义与运算(交集/并集/差集/余集) 集合运算的性质与德摩根率 De Morgan 上极限集与下极限集 笛卡尔积(直积) 集合的映射、特征函数与基 可列集 伯恩斯坦Bernstein定理 可列集(可数集)的性质 代数数与超越数 不可数集与幂集 实数为什么是不可数集 无最大基数定理 点集、度量空间、欧氏空间、领域 聚点、内点、界点、孤立点、开核、导集、闭包 Bolzano-Weierstrass 波尔查诺-威尔斯特拉斯聚点原理 开集与闭集 Heine-Borel海涅-博雷尔有限覆盖定理、紧集与完备集 完备集是什么意思 紧集是什么意思 开集构造定理 闭集套定理 有限覆盖定理 康托尔三分集 康托尔三分集为什么是完备集 集合的定义与运算(差集/余集) 点集上的连续函数 勒贝格测度概述(次可加性) 外测度 外侧度的性质 勒贝格测度为什么使用开集而不使用闭集 可测集 测度的性质(完全可加性) 可测集的特征 σ代数 可测集的充分必要条件 博雷尔 Borel集 不可测集 注记：公理的选择 可测函数 可测函数的判定 可测函数的逼近定理与几乎处处成立 可测函数列的收敛 Egorov 叶戈罗夫定理 依测度收敛 依测度收敛的极限惟一性 Riesz 里斯定理 Lusin 卢津定理 勒贝格积分概述 非负可测函数的积分 勒贝格积分 勒贝格积分的性质 一般可测函数的积分 控制函数 积分的绝对连续性 Levi 列维定理 Fatou 法图引理 Lebesgue 控制收敛定理 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的比较 Fubini 富比尼定理 Tonelli 特勒密定理 可测子集与勒贝格积分的几何意义 概述 Vitali 覆盖定理 Lebesgue 单调函数微分定理 可积函数用连续函数平均逼近 有界变差 Jordan分解定理 Cantor 函数与绝对连续 绝对连续性的性质 牛顿-莱布尼兹公式 概述 Lp 空间 赫尔德（Hölder）不等式 闵可夫斯基不等式 L2空间 标准正交系 Bessel 贝塞尔不等式 Riesz－Fisher 里斯－费舍尔定理 帕塞瓦尔等式 三角函数系标准正交

1.1 向量的内积(数量积)回顾 1.2 向量的外积(向量积)回顾 1.3 三维欧氏空间中的标架 1.4 向量函数的微分和积分 1.5 二重向量积、拉格朗日恒等式与爱因斯坦求和约定 辅导1：向量内积与向量外积基础知识 辅导2-向量函数的两个重要公式-固定长度 辅导3 向量函数的两个重要公式-单位向量函数的角速度 2.1正则参数曲线与容许参数 2.2 曲线的弧长与弧长参数 2.3 曲线的曲率和活动坐标系Frenet 标架 2.4曲线的挠率和 Frenet 公式 2.5 曲线论基本定理 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开 2.7 存在对应关系的曲线偶 2.8 平面曲线 通俗解释1：曲线的曲率与曲率圆 通俗解释2：密切面、从切面和法平面 通俗解释3-空间曲线论基本定理 通俗解释4-曲线参数方程在一点的展开 同步辅导1-弧长参数 同步辅导2-Frenet活动标架 同步辅导3-挠率Torsion与Frenet公式 同步辅导4-切平面与法线的计算公式 3.1 正则参数曲面、曲纹坐标和容许参数变换 同步辅导1-曲面的基本概念 同步辅导2 球面、柱面、旋转面、双曲抛物面参数表示 3.2 切平面、法线和自然标架 3.3 曲面第一基本形式 通俗解释1-第一基本型就是勾股定理 3.3.1 曲面第一基本形式例题 同步辅导3-曲面第一基本型的应用-求弧长、交角和面积 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 3.5 保长对应和保角对应(1)-保长映射 3.5 保长对应的判定、保角对应 3.5保角对应的应用、等温参数系、 墨卡托投影Mercator 3.6 可展曲面 3.6 直纹面与腰点曲线 3.6.2 包络 辅导-内蕴与外蕴 4.1 第二基本形式 4.2 法曲率 通俗解释1-法曲率与主曲率 4.3 Weingarten 映射、主曲率、欧拉公式 通俗解释1-梅尼埃定理+欧拉公式+迪潘指标线 通俗解释2-高斯映射Gauss 通俗解释3-高斯映射与Meusnier定理 通俗解释4-魏加滕变换Weingarten变换 通俗解释5-曲面第二基本型 4.4 主方向和主曲率的计算 4.5 Dupin 标形和曲面参数方程在一点的标准展开 同步辅导-杜潘Dupin 指标线 4.6 某些特殊曲面 辅导-高斯曲率 辅导-非欧几何-常高斯负曲率-伪球面(曳物线) 辅导-罗氏几何 辅导-庞加莱圆盘 辅导-非欧几何-常高斯正曲率-黎曼几何 5.1 自然标架的运动公式概述 5.1 张量记号、Christoffel符号与爱因斯坦求和约定 5.2 曲面的唯一性定理 5.3 曲面论基本方程 5.4 曲面的存在性定理 5.5 Gauss 定理（1） 5.5 Gauss 绝妙定理（2） 6.1 测地曲率和测地挠率 6.2 测地线(1) 6.2 测地线(2) 6.3 测地坐标系和法坐标系(1) 6.3 测地坐标系和法坐标系(2) 6.4 常曲率曲面 6.5 曲面上切向量的平行移动（1） 6.5 曲面上切向量的平行移动（2） 6.6 抽象曲面 6.7 抽象曲面上的几何学 6.7 抽象曲面上的几何学2 6.7 抽象曲面上的几何学3 6．8 抽象曲面的曲率 6．8 抽象曲面的曲率2 6.9 Gauss－Bonnet 公式（1） 6.9 Gauss－Bonnet 公式（2） 第3节 测地线 7.1 外形式和外代数（1） 7.1 外形式和外代数（2） 7.2 外微分式和外微分（1） 7.2 外微分式和外微分（2） 7.2 外微分式和外微分（3） 7.3 E^3中的标架族(1) 7.3 E^3中的标架族(2) 7.4 曲面上的正交标架场（1） 7.4 曲面上的正交标架场（2） 7.4 曲面上的正交标架场（3） 7.5 曲面上的曲线（1） 7.5 曲面上的曲线（2） 7.6 应用举例 0 张量代数与逆变、协变 1.1 张量微积分 逆变与协变张量 1.2 度规张量 1.3 Christoffel 三指数符号 1.4 协变导数 1.5 协变散度 1.6 张量密度 2.1 仿射联络与仿射几何 2.2 协变微分与 Stokes 定理 2.3 曲度张量 与黎曼张量 2.4平行位移与可积分性 2.5 测地线(极端线) 3.1曲度张量 3.1.1 四维空间之曲度 3.2 曲度空间与平度空间 3.3 测地线 3.4 自然的或极端线的坐标系 3.5 爱因斯坦张量 4.1 广义相对论几何与物理 4.2 广义相对论 4.3 平度时空的加速运动 5.1 爱因斯坦引力理论 等效原理 5.2 Riemann 空间的时，空度量 5.3 时钟（或双生子）的问题 5.4 引力理论 5.5 爱因斯坦方程近似解 5.5.1 时空度量-红移 5.5.2光在引力场之弯曲 5.6 爱因斯坦引力方程式之正确解：施瓦西解法 5.6.1 水星近日点之推前 5.6.2 光之偏折 5.6.3光谱线之引力红移 5.7爱因斯坦方程式之解的问题 5.8 星体内光的测地线 6.1 统一场论的尝试 6.2Einstein－Infeld－Hoffman 的成果-黑洞 6.3引力波 6.4 爱因斯坦:我一生中最严重的错误-宇宙在膨胀 向量的导数 平面上的运动曲线 平面曲线的曲率 曲线的特征方程(正则参数方程) 曲率圆与渐屈线 一般的一阶微分方程 包络线 追踪问题 空间曲线的基本元 原坐标表示法与密切平面方程 螺旋线 空间曲线的唯一性定理 曲率圆与曲率球 曲面族与空间曲线族的包络 代数工具 曲面第一微分型 曲面第二微分型 曲面上曲线的曲率 曲面上点的分类 曲率线 微分几何 Euler 公式 OIinde Rodrigues 公式 Dupin 定理 Gauss 曲率的几何意义 曲率中値的几何意义 活动标架 曲面的可展性 张量分析曲面-第一基本型 张量 基本方程之一Gauss 方程 基本方程之一一Weingarten 方程（第三基本型） Gauss 与 Codazzi 方程 曲率张量

集合概述 集合的运算 有限集合的计数与集合的子集 集合恒等式的证明 序偶与笛卡尔乘积 二元关系 关系的矩阵表示与图表示 关系的运算与复合关系 关系的重要性质 关系的闭包 关系的等价与自然连接 等价关系与划分 偏序关系 次序关系(偏序关系) 函数的基本概念 逆函数与复合函数 集合的特征函数 集合的递归定义 贝安诺公理 基数、有限集与无限集 可列集与不可列集 基数(集合)的比较 康托尔定理 代数系统 代数系统性质 特殊元 同态与同构 概述：群、半群、模、格、环是什么意思 同态，同构与商系统 群、半群与幺半群 群与交换群 变换群、置换群与循环群 环的定义与性质 域 模 左陪集 格与子群格 子环与环同态 练习：综合训练 阅读：群与方程的解的关系 阅读：拉格朗日群 序言：数理逻辑将的是什么 命题、联结词、符号化与优先级 命题公式 命题公式的赋值与真值表(重言式/矛盾式) 等值演算 利用等值演算简化逻辑推理 范式 等值式 基本等值式 析取范式与合取范式 del 范式的性质 极小项与极大项 主析取范式与主合取范式 主范式的应用 用成真赋值和成假赋值确定主范式 联结词的完备集 公式与真值函数 复合联结词 消解规则 消解算法 鸽笼原理基本原理 鸽笼原理的加强形式 基本计数原理 集合的排列 集合元素的组合 牛顿二项式定理 多重集的排列和组合 容斥原理 幂级数型生成函数 指数型生成函数 递推关系 哥尼斯堡（Könisberg）七桥问题 图论的作用 无向图与有向图 顶点的度数与握手定理 连通 邻接矩阵 路径矩阵 二分图 欧拉图和半欧拉图 哈密顿图 哈密顿有向图 最短路 图论模型初步 平面图与欧拉公式 平面图的特征 对偶图 顶点着色 平面图的着色 五色定理 边的着色 树及其性质 生成树与割集 最小生成树 数的计数 有根树与二分树 子树与有序树 最优树 霍夫曼算法 连通度与块 割点与块 网络最大流 最大流最小割定理 二分图的匹配 Hall定理 独立集、覆盖

Malthus 人口模型 与Logistic 回归人口模型 变量分离微分方程 变量分离的一些例题 齐次微分方程 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的求解 一阶线性微分方程求解的常数变易法 一阶线性微分方程求解的积分因子法 一阶微分方程的几何意义及应用 微分方程的求解-数值分析方法：欧拉方法 微分方程解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性 自治方程的平衡点与相线 具有 Allee 效应的 Logistic 模型 分歧 种群生态学模型的进一步探讨 附录1：压缩映象原理与不动点 附录2:一阶微分方程存在唯一性定理及解对初值的连续相依性定理的证明 微分方程组的三种模型：捕食者模型、传染病模型和弹簧模型 捕食－食饵模型的相图分析 定性方法：向量场与解的几何刻画 微分方程组的解析方法：半耦合方程组与猜测-检验法 方程组数值解：欧拉方法 一阶二维线性微分方程组的一般理论 一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解 具有不同实特征值的线性微分方程组 具有复特征值的一阶二维线性微分方程组 具有重特征值的一阶二维微分方程组 迹—行列式平面 简谐振动模型 二阶齐次线性常系数微分方程线性原理 求通解的特征根法 二阶非齐次线性微分方程 比较系数法 I 比较系数法 II 无阻尼强制振动的节拍与共振 一阶二维非线性方程组模型的进一步探索 平衡解、线性化定理,零水平线 同宿、异宿轨线，分离轨线 周期轨线，Poincaré－Bendixon 定理 平衡解分歧，Hopf 分歧 生态学模型分析 附录: Lorenz 方程组 一阶 n 维线性方程组的一般理论 一阶 n维常系数线性方程组 高阶线性微分方程(Laplace拉普拉斯变换法) Laplace 变换表 1.1一阶方程---最简单例子 1.2 合理的物种总量模型 1.3 常值收割与分岔 1.4 周期收割与周期解 1.5 计算庞加莱映射 1.6 探索：一个双参数族 2.1平面线性系统---二阶微分方程 2.2平面系统 2.3 代数预备知识 2.4 平面线性系统 2.5 特征值和特征向量 2.6 求解线性系统 2.7 线性叠加原理 3.1平面系统的相图---不同实特征值 3.2 复特征值 3.3重特征值 3.4 坐标变换 4.1平面系统的分类---迹－行列式平面 4.2 动力学分类 4.3探索：一个 3D 参数空间 5.1 高纬线性代数--- 线性代数预备知识 5.2 特征值和特征向量 5.3 复特征值 5.4 基和子空间 5.5 重特征值 5.6 通有性 6.1高维线性系统-不同特征值 6.2 调和振子 6.3 重特征值 6.4 矩阵指数 6.5 非自治线性系统 7.1 非线性系统---动力系统 7.2 存在唯一性定理 7.3 解的连续依赖性 7.4 变分方程 7.5 探索：数值方法 8.1 非线性系统的平衡点 8.2 非线性的汇点和源点 8.3 鞍点 8.4 稳 定 性 8.5 分岔与霍普夫分岔 8.6 探索：复向量场 9.1 大范围的非线性技巧---零点集 9.2 平衡点的稳定性与李雅普诺夫函数 9.3 梯度系统 9.4 哈密顿系统 9.5 探索：具有常值外力的单摆 10.1 极限集 10.2 局部截面和流盒 10.3 庞加莱映射 10.4 平面动力系统中的单调序列 10.5 庞加莱－本迪克逊定理 10.6 庞加莱－本迪克逊定理的应用 10.7 探索：振荡的化学反应 11.1 传染病模型 1.2 捕食者／猎物系统 11.3 竞 争 物 种 11.4 探索：竞争与收割 12.1 RLC 电路 12.2 里纳德方程 12.3 范德波方程 12.4 一个霍普夫分岔 12.5 探索：神经动力学 13.1 牛顿第二定律 13.2 保守系统 13.3 中心力场 13.4 牛顿中心力系统 13.5 开普勒第一定律 13.6 二体问题 13.7 吹 胀 奇 点 13.8 探索：其他中心力问题 13.9 探索：量子力学系统的经典极限 14.1 洛伦茨系统介绍 14.2 洛伦茨系统的初等性质 14.3 洛伦茨吸引子 14.4 洛伦茨吸引子的一个模型 14.5 混沌吸引子 14.6 探索：Rössler 吸引子 15.1 离散动力系统介绍 15.2 分 岔 15.3 离散的合理模型 15.4 混 沌 15.5 符号动力学 15.6 移位映射 15.7 三分康托集 15.8 探索：立方混沌 15.9 探索：轨道图 16．1 Shilnikov 系统 16.2 马蹄映射 16.3 双螺线吸引子 16.4 同宿分岔 16.5 探索：Chua 电路 17.1 存在唯一性定理 17.2 存在唯一性的证明 17.3 对初始条件的连续依赖性 17.4 延 伸 解 17.5 非自治系统 17.6 流的可微性

拓扑空间 闭集、邻域、聚点、闭包、稠密 子空间 连续映射与同胚映射 乘积空间与拓扑基 拓扑的性质-T1,T2,T3,T4的分离程度公理 C1可数公理与C2可数公理 引理Urysohn 及其应用 Tietze 扩张定理 Urysohn 可度量化定理 紧致性 Hausdorff 空间的紧致子集 局部紧致与仿紧 连通性 道路连通性 拓扑性质与同胚 特殊平面空间(平环、莫比乌斯带、Klein瓶) 商空间 商映时 拓扑流形与闭曲面 闭曲面分类定理 映射的同伦 道路类与基本群的定义 S^n 的基本群 基本群的同伦不变性 可缩空间 基本群的计算与应用 Jordan 曲线定理 复叠空间及其基本性质 复叠空间的基本群 同伦提升定理与映射提升定理 复叠变换与正则复叠空间 复叠空间存在定理 单纯复合形 多面体与可剖分空间 单纯复合形的同调群 同调群 同调群的简单性质 Euler－Poincaré 公式 计算同调群的实例 单纯映射和单纯逼近 重心重分和单纯逼近存在定理 连续映射诱导的同调群同态 同伦不变性 球面自映射的映射度 保径映射的映射度及其应用 Lefschetz 不动点定理 欧拉图 哈密顿图

1.1 常微分方程模型与求解 1.2 矢量微分算子与拉普拉斯算子 1.2.2 极坐标系中的拉普拉斯算子 柱坐标系中的拉普拉斯算子 球坐标系中的拉普拉斯算子 2.1 周期函数的傅里叶级数 2.2 半幅傅里叶级数 2.3 傅里叶积分 3.1 傅里叶变换简介 3.1.2傅里叶变换的性质 3.2 δ函数的定义和含义 3.2.2 δ函数的性质 3.2.3 delta函数的辅助函数 3.2.4狄利克雷定理的证明 3.3.1 典型函数的傅里叶变换(上) 3.3.1 典型函数的傅里叶变换(下) 3.4 傅里叶变换应用举例 4.1.1拉普拉斯变换的定义 4.1.2拉普拉斯变换的性质 4.2 典型函数的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换应用举例 5.1.1波动方程-弦振动问题 5.1.2强迫振动与阻尼振动 5.1.3高频传输线问题 5.2 热传导方程 5.3 拉普拉斯方程 5.4 二阶偏微分方程 5.4.2 常系数方程 5.5.1 定解问题-泛定方程与叠加原理 5.5.2 定解问题-初始条件与边界条件 5.5.3波动弦、高频传输和热传导定解 6.1.1弦振动问题的求解 6.1.2解的物理意义及驻波条件 6.2 基本定解问题（1） 6.2 基本定解问题（2） 6.2 基本定解问题（3） 6.3.2二维热传导方程 6.4.1本征函数的正交性 6.4.2热辐射定解问题（1） 6.4.2热辐射定解问题（2）-例题 7.1.1吸收一耗散系统 7.1.1吸收一耗散系统例题 7.1.2吸收一绝热系统 7.2 综合热传导定解问题-对称边界 7.2 综合热传导定解问题-对称边界条件例题 7.2.2 综合热传导定解问题-反对称边界条件 7.2.2 反对称边界条件-例1 7.2.2 反对称边界条件-例2 7.3.1 直角坐标系的拉普拉斯方程 7.3.1 直角坐标系的拉普拉斯方程-例题 7.3.2 极坐标系的拉普拉斯方程 7.3.2 极坐标系的拉普拉斯方程-例题 8.1 本征函数法的引入 8.2.1 非齐次方程的解法-一分为二法 8.2.2 非齐次方程的解法-合二为一法 8.3.1有源热传导定解问题-绝热系统 8.3.2 绝热—耗散系统 8.3.3绝热－辐射系统 8.3.4吸收一耗散系统 8.4 泊松方程的定解问题 8.5非齐次边界条件的处理 8.6 综合定解问题的求解（1） 8.6 综合定解问题的求解（2） 9.1 施图姆－刘维尔本征值问题 9.2 施图姆－刘维尔理论的应用：吊摆问题 9.3 厄米算符本征函数的正交性 10.1 一维波动方程的通解 10.2 一维波动方程的达朗贝尔公式 10.3 双曲型方程的定解问题 10.4 一阶线性偏微分方程的特征线法 10.5 非齐次波动方程：齐次化原理 10.6 三维波动方程 10.6.3泊松公式的物理意义 10.7.1 旁轴波动方程：格林算子法 10.7.2 光学元件与光学系统的格林算子 10.7.3格林算子法的应用 10.8 非线性波动方程：光学孤立子 11.1 傅里叶变换法 11.1.2傅里叶变换法的应用举例（1） 11.1.2傅里叶变换法的应用举例（2） 11.2 拉普拉斯变换法（1） 11.2 拉普拉斯变换法举例（2） 11.3.1对流热传导问题 11.3.2线性衰变的影响 11.3.3有源热传导问题 11.3.4非齐次波动方程问题 11.3.5无边界电报方程问题 11.4 半导体载流子的输运方程 12.1 无界域的格林函数 12.2 三维波动方程问题 12.3 一维有界热传导问题 12.4 格林公式 12.4.2散度定理 12.4.3格林公式 12.5.1拉普拉斯方程的基本解 12.5.2泊松方程的基本积分公式 12.5.3泊松方程的边值问题 12.6 格林函数法的应用：电像法 12.6 格林函数法的应用：电像法（2） 12.7 第二、第三类边值问题的格林函数 12.8 非线性问题的格林函数解法 13.1 几个微分方程的引入 13.2 伽马函数的基本知识 13.3.1贝塞尔方程的广义冥级数解 13.3.2 第一类贝塞尔函数 13.3.3贝塞尔方程的通解 13.4.1 生成函数与递推公式 13.4.3贝塞尔函数积分表示 13.4.4贝塞尔函数渐进公式 13.5.1 贝塞尔函数正交函数集的构造 13.5.2参数形式的贝塞尔函数 15.5.3贝塞尔函数的正交性 13.5.4贝塞尔函数的完备性 13.6 贝塞尔函数应用举例 13.7 球贝塞尔函数 14.1 勒让德方程的引入 14.2 勒让德多项式 14.3.1勒让德多项式的微分性质与积分性质 14.3.3勒让德多项式的生成函数 14.3.4勒让德多项式的递推公式 14.3.5勒让德多项式的例题 14.4 勒让德多项式的正交完备性 14.4 勒让德多项式的正交完备性举例 14.5 勒让德多项式应用举例 15.1 薛定谔方程的一般解 15.2 角向解：球谐函数 15.2.3连带勒让德函数的性质 15.2.4球谐函数 15.2.5球谐函数的性质 15.3 径向解：广义拉盖尔多项式-库仑场中的束缚态 15.3.2广义拉盖尔多项式 15.3.3径向概率密度 15.4 量子谐振子与厄米多项式 15.4.2 厄米多项式微积分性质 15.4.3系统的含时解 偏微分方程的概念 偏微分方程的解与阶 线性偏微分方程 非线性偏微分方程 弦振动方程 热传导方程 Laplace 方程与Poisson 方程 定解问题 三类典型的边值条件 适定性 二阶方程的特征 多个自变量的情形 多个自变量的情形举例 第一标准型与第二标准型 二阶方程分类举例 多个自变量的情形与特征二次型 分离变量法的求解方法 具有 Dirichlet 边值条件的混合问题 具有 Dirichlet 边值条件的混合问题(续) 具有 Neumann 边值条件的混合问题 偏微分方程典型实例 偏微分方程典型实例(续) 偏微分方程典型实例(再续) Duhamel 原理 波动方程的 Duhamel 原理 混合问题 Dirichlet边值条件的齐次化方法 Neumann 边值条件的齐次化 应用 一维波动方程 dAlembert 达朗贝尔 公式的物理意义 dAlembert 达朗贝尔 公式几何解释 依赖区间，决定区域和影响区域 半直线上齐次波动方程的混合问题 非齐次波动方程的 Cauchy 问题 三维齐次波动方程的 Cauchy 问题和球面平均法 二维齐次波动方程的 Cauchy 问题和降维法 依赖区域，决定区域和影响区域 波速与Poisson 公式的物理意义 非齐次波动方程的 Cauchy 问题与基希霍夫公式 能量积分 混合问题解的唯一性 能量不等式 Cauchy 问题解的唯一性和稳定性 热传导方程定解问题的求解 非齐次方程的 Cauchy 问题 半直线上的热传导方程的混合问题 极值原理，最大模估计，唯一性和稳定性 调和函数 调和函数的性质 Green 函数 Green函数性质 球与半空间上的 Dirichlet 问题 半空间上的 Dirichlet 问题 Harnack 不等式及其应用 Fourier 变换及其性质 高维空间的 Fourier 变换与例题 Fourier 变换的应用 薛定谔方程 量子调和振子与埃尔米特函数 氢原子 海森伯格不定性原理 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 广义拉盖尔多项式 简介 拉普拉斯方程 泊松方程 波动方程 热传导方程