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群的自由乘积，自由群

5．群的自由乘积，自由群
从现在起，我们转向一般群（不必是交换群）。
定义 A． 4 设 $\left\{G_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\}$ 是一族群，规定它们的自由乘积 $\underset{i \in \Lambda}{*} G_\lambda$ 是一个群，作为集合
$\underset{\lambda \in \Lambda}{*} G_\lambda=\left\{x_1 x_2 \cdots x_n \mid \quad n \geqslant 0, x_i\right.$ 是某个 $G_\lambda$ 中的非单位元， $x_i$ 与 $x_{i+1}$ 不在同一 $G_\lambda$ 中 $\}$ ，
其中 $n=0$ 的元素只有一个，记作 1 ；乘法规定如下：设 $x_1 x_2 \cdots x_n$ 和 $y_1 y_2 \cdots y_m$ 是两个元素，如果 $i \leqslant l$ 时 $x_{n-i+1}$ 与 $y_i$ 属于同一个 $G_\lambda$ ，且 $x_{n-i} y_i=1$ ，而 $x_{n-l}$ 与 $y_{i+1}$ 不再有此性质，则它们的乘积为：

$$
\begin{aligned}
& \left(x_1 x_2 \cdots x_n\right) \cdot\left(y_1 y_2 \cdots y_m\right) \\
& \quad= \begin{cases}x_1 \cdots\left(x_{n-t} y_{t+1}\right) \cdots y_m, & \text { 若 } x_{n-t}, y_{t+1} \text { 在同一G } ; \\
x_1 \cdots x_{n-t} y_{t+1} \cdots y_m, & \text { 否则. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

乘法的结合律的验证较繁琐，这里省略了．按照定义，每个 $G_\lambda$可自然看作 $\underset{\lambda \in \Lambda}{*} G_\lambda$ 的子群．

命题 A． 8 设 $H$ 是一群，$\forall \lambda \in \Lambda$ ，有同态 $f_\lambda: G_\lambda \rightarrow H$ ，则存在唯一同态 $f: * G_\lambda \rightarrow H$ ，使得 $f \mid G_\lambda=f_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda$ ．

$$
\lambda \in \Lambda
$$

证明 $f$ 在每个 $G_\lambda$ 上已有定义．于是可规定

$$
f\left(x_1 \cdots x_n\right)=f\left(x_1\right) \cdots f\left(x_n\right) .
$$

不难验证它保持运算．
有限多个群 $G_1, \cdots, G_s$ 的自由乘积也可记作 $G_1 * G_2 * \cdots * G_s$ ，但其中 $G_i$ 的顺序是不重要的。

本书中只涉及到有限自由乘积．
记 $i_\lambda: G_\lambda \rightarrow{ }_{\lambda \in \Lambda}^* G_\lambda$ 是包含映射．取定 $\lambda_0 \in \Lambda$ ，作同态 $f_\lambda: G_\lambda \rightarrow G_{\lambda_0}$ 为：若 $\lambda \neq \lambda_0$ ，则 $f_\lambda$ 是平凡的，$f_{\lambda_0}=\operatorname{id}$ ．用命题 A． 8 ，得到同态

$\varphi_{\lambda_0}: \underset{\lambda \in A}{*} G_\lambda \rightarrow G_{\lambda_0}$ ，使得 $\varphi_{\lambda_0} \circ i_{\lambda_0}=\mathrm{id}, \varphi_{\lambda_0} \circ i_\lambda$ 平凡，$\forall \lambda \neq \lambda_0$ ．
定义 A． 5 群 $G$ 称为自由群，如果有子集 $A \subset G$ ，使得 $\forall x \in G$可唯一地表示成如下形式

$$
\begin{gathered}
x=a_1^k 1 a_2^k \cdots a_{n^n}^k, \quad a_i \in A, a_i \neq a_{i+1}, \\
k_i(i=1,2, \cdots, n) \text { 是非零整数, }
\end{gathered}
$$

称 $A$ 是 $G$ 的一个自由生成元组．
当 $G$ 是自由群时，$\forall x \in G$ 都不是有限阶的，因此它生成的子群 $\langle x\rangle$ 是自由循环群。比较自由群与自由乘积的定义，不难看出

命题 A． 9 如果 $G$ 是自由群，$A$ 是自由生成元组，则

$$
G \cong \underset{a \in A}{*}\langle a\rangle .
$$

6．用母元和关系表示一个群
拓扑学中，常用母元和关系来表现一个群。在许多场合，这种方法有几何直观性，应用起来方便而自然。

设 $X$ 是一个非空集合．$\forall x \in X$ ，可构造一个自由循环群 $Z(x)$如下： $\boldsymbol{Z}(\boldsymbol{x})=\left\{\boldsymbol{x}^n \mid \boldsymbol{n} \in \boldsymbol{Z}\right\}$ ，乘法为 $\boldsymbol{x}^n \cdot \boldsymbol{x}^m=\boldsymbol{x}^{n+m}$ 。

规定自由群

$$
F(X):=\underset{x \in X}{*} Z(x),
$$

则 $X \subset F(X)$ ，并且是 $F(X)$ 的一个自由生成元组．称 $F(X)$ 是由 $X$所生成的自由群．

设 $R$ 是 $F(X)$ 的一组元素，$[R]$ 是由 $R$ 生成的 $F(X)$ 的正规子群（即包含 $R$ 的最小正规子群），引进记号

$$
\{X ; R\}:=F(X) /[R],
$$

它是 $F(X)$ 的一个商群．
设 $G$ 是一个群，$X$ 是 $G$ 的一个生成元组．于是自由群 $F(X)$ 的每个元素 $x_1^{k_1} \cdots x_{n^n}^k\left(x_i \in X\right)$ 自然地决定 $G$ 中有同一形式的元素，由此规定了从 $F(X)$ 到 $G$ 的一个满同态．因此 $G$ 可看作 $F(X)$ 的一个商群，记上述同态的核为 $N$ ，则 $G=F(X) / N$ ．如果 $F(X)$ 的一个元素组 $R$ 生成的正规子群就是 $N$ ，则 $G=\{X ; R\}$ ．把 $X$ 与 $R$ 一起称为 $G$ 的一个表示，它们分别称为这个表示的母元组和关系组．当 $X$ 与 $R$ 都是有限集合时，就称 $X$ 与 $R$ 为 $G$ 的一个有限表示。

如果 $X$ 是 $G$ 的自由生成元组，则 $G=F(X)$ ，于是

$$
G=\{X ; \varnothing\},
$$

或简单写成 $G=\{X\}$ ．
下面再给出两个简单的例子。
若 $G$ 是以 $a$ 和 $b$ 为基的自由交换群，则

$$
G=\left\{a, b ; a b a^{-1} b^{-1}\right\} .
$$

设 $x$ 是 $n$ 阶循环群 $Z_n$ 的生成元，则

$$
Z_n=\left\{x ; x^n\right\} .
$$

用母元和关系来看群的自由乘积，有很简单的表达形式．当两个群都用母元和关系来表示时，则它们的自由乘积的一个表示可用以下方式得到：把两个群的母元组作无交并，两个群的关系组也作无交并，分别得到自由乘积的表示中的母元组和关系组。以上结果的论证这里略去了．

7．群的交换化
设 $G$ 为群，$\forall a, b \in G$ ，记

$$
[a, b]=a^{-1} b^{-1} a b
$$

称作 $a$ 与 $b$ 的换位子．容易看出，$a b=b a \Longleftrightarrow[a, b]=1$ ．记

$$
G^{\prime}=\{x \in G \mid x \text { 是有限个换位子的乘积 }\} \text {, }
$$

则容易看出 $G^{\prime}$ 是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的换位子群．$G^{\prime}$ 还是 $G$ 的一个正规子群。因为如果 $x \in G^{\prime}, y \in G$ ，则

$$
y^{-1} x y=\left[y, x^{-1}\right] x \in G^{\prime} .
$$

记 $\widetilde{G}=G / G^{\prime}$ ．不难验证，$\widetilde{G}$ 是一个交换群，称为 $G$ 的交换化．
命题 $\mathbf{A .} 10$ 设 $f: G_1 \rightarrow G_2$ 是一个同态，记 $G_i^{\prime}$ 是 $G_i$ 的换位子群，$j_i: G_i \rightarrow \widetilde{G}_i$ 是投射 $(i=1,2)$ ，则 $f\left(G_i^{\prime}\right) \subset G_2^{\prime}$ ，并且存在同态 $\widetilde{f}$ ：

$\widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_2$ ，使得右边的图表交换。
证明 因为 $G_1^{\prime}$ 由 $G_1$ 的全体换位子生成，而对每个换位子 $[a, b]$ ，由于 $f([a, b])=[f(a), f(b)] \in G_2^{\prime}$ ，所以 $f\left(G_1^{\prime}\right) \subset G_2^{\prime}$ 。于是 $j_2 \circ f\left(G_1\right)=0$ ，从而它诱导 $\widetilde{f}: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_2$ ，使右面图表可交换。

![图片](/uploads/2026-01/8c360b.jpg)
 
 当 $G_2$ 是交换群时，$\widetilde{G}_2=G_2$ ．于是上面的图表变为下边的图表，并且 $G_1^{\prime} \subset \operatorname{Ker} f$ 。

![图片](/uploads/2026-01/749731.jpg)
 
现在假设 $f: G_1 \rightarrow G_2$ 是满同态。记 $G_0=\operatorname{Ker} f, j_1: G_1 \rightarrow \widetilde{G}_1$ 是投射。设 $j: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_1 / j_1\left(G_0\right)$ 是投射，则 $j \circ j_1\left(G_0\right)=0$ ，从而诱导出同态 $l: G_2 \rightarrow \widetilde{G}_1 / j_1\left(G_0\right)$ ，使得 $l \circ f=j \circ j_1$ 。或者说有下面的交换图表．在这些规定下，有以下命题．

![图片](/uploads/2026-01/688e55.jpg)
 
 命题 A． $11 \mathrm{Ker} l=G_2^{\prime}$ ，从而 $\widetilde{G}_2 \cong \widetilde{G}_1 / j_1\left(G_0\right)$ ．
证明 因为 $\widetilde{G}_1 / j_1\left(G_0\right)$ 是交换群，所以 $G_2^{\prime} \subset \operatorname{Ker} l$ 。只须再证 $\operatorname{Ker} l \subset G_2^{\prime}$ ．
$\forall g_2 \in \operatorname{Ker} l$ ，取 $g_1 \in f^{-1}\left(g_2\right)$ ．于是 $j \circ j_1\left(g_1\right)=l \circ f\left(g_1\right)=$ 257
$l\left(g_2\right)=0$ ，从而 $j_1\left(g_1\right) \in j_1\left(G_0\right)$ ，即存在 $g_0 \in G_0$ ，使得 $j_1\left(g_0\right)= j_1\left(g_1\right)$ 。于是 $j_1\left(g_1 g_0^{-1}\right)=0, g_1 g_0^{-1} \in G_1^{\prime}$ ，则 $g_2=f\left(g_1 g_0^{-1}\right) \in G_2^{\prime}$ 。

推论 若 $f: G_1 \rightarrow G_2$ 是满同态， $\operatorname{Ker} f=G_0$ ．设 $\widetilde{f}: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_2$ 是

![图片](/uploads/2026-01/3ea967.jpg)
 
 $f$ 诱导的同态（命题 A．10），则 $\operatorname{Ker} \widetilde{f}=j_1\left(G_0\right)$ ，其中 $j_1: G_1 \rightarrow \widetilde{G}_1$ 是投射．

证明 根据命题 A．11，有同构 $h: G_1 / j_1\left(G_0\right) \rightarrow \widetilde{G}_2$ ，使得 $h \cdot l=j_2$ ，见左面图表．于是

$$
(h \circ j) \circ j_1=j_2 \circ f,
$$

即 $h \circ j: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_2$ 就是 $f$ 诱导的同态 $\widetilde{f}$ ．从而 $\operatorname{Ker} \widetilde{f}= (h \circ j)^{-1}(0)=j^{-1}\left(h^{-1}(0)\right)=j^{-1}(0)=\operatorname{Ker} j=j_1\left(G_0\right)$ 。

命题 A． $12 \widetilde{G_1 * G_2} \cong \widetilde{G}_1 \oplus \widetilde{G}_2$ ．
证明 记 $i_\lambda: G_\lambda \rightarrow G_1 * G_2$ 是包含映射，$\lambda=1,2$ ；记 $\varphi_1: G_1 * G_2 \rightarrow G_1$ 是满足 $\varphi_1 \circ i_1=\mathrm{id}, \varphi_1 \circ i_2$ 平凡的同态。则有 $\tilde{\varphi}_1: \widehat{G_1 * G_2} \rightarrow \widetilde{G}_1$和 $\tilde{i}_1: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widehat{G_1 * G_1}$ ，使得 $\tilde{\varphi}_1 \circ \tilde{i}_1=\mathrm{id}: \widetilde{G}_1 \rightarrow \widetilde{G}_1$（习题 10）．根据习题 4 （或习题 11），$\widetilde{G}_1 * G_2 \cong \widetilde{G} 1 \oplus \operatorname{Ker} \tilde{\varphi}_1$ ．只用再证明 $\operatorname{Ker} \tilde{\varphi}_1 \cong \widetilde{G}_2$ ．
 ![图片](/uploads/2026-01/a04e38.jpg)
 
 根据命题 A． 11 的推论，我们可得 $\operatorname{Ker} \tilde{\varphi}_1=j .\left(\operatorname{Ker} \varphi_1\right)=$ j．$\left(\left[G_2\right]\right)\left(\left[G_2\right]\right.$ 为 $G_1 * G_2$ 中由 $G_2$ 生成的正规子群，习题 9 说明了 $\left.\left[G_2\right]=\operatorname{Ker} \varphi_1\right)$ 。而 $j \cdot\left(\left[G_2\right]\right)=j \cdot\left(G_2\right)=\tilde{i}_2 \circ j_2\left(G_2\right)=\operatorname{Im} \tilde{i}_2 \cdot \tilde{i}_2$与 $\tilde{i}_1$ 一样，是单同态，从而 $\operatorname{Im} \tilde{i}_2 \cong \widetilde{G}_2$ ．

用归纳法可把命题 A． 12 推广到有限自由乘积的情形：

$$
\widehat{\mathscr{N}_{i=1}^n G_i} \cong \bigoplus_{i=1}^n \widetilde{G}_i .
$$

例如 $G$ 是自由群，基 $A$ 中有 $n$ 个元素，则 $G \cong \overbrace{\boldsymbol{Z} * \cdots * \boldsymbol{Z}}^{n \uparrow}$ ，于是 $\widetilde{G}$ 是 $n$ 维自由交换群。下面两个例子的结果在第四章用到。

例1 设 $G$ 是自由群，$\left\{a_1, \cdots, a_m\right\}$ 是一个基．$b=a_1^2 a_2^2 \cdots a_m^2 . G_0$是 $b$ 生成的正规子群．求 $G / G_0$ 的交换化．

记 $j: G \rightarrow G / G_0$ 的投射，则有满同态 $\widetilde{j}: \widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G / G_0}$ ．根据命题 A． 11 的推论， $\operatorname{Ker} \tilde{j}=j_G\left(G_0\right)$ ，从而 $\widetilde{G / G_0} \cong \widetilde{G} / j_G\left(G_0\right)$ 。根据命题 A． $12, \widetilde{G}$ 是秩为 $m$ 的自由交换群，并且若记 $\widetilde{a}_i=j_G\left(a_i\right)$ ，则 $\left\{\widetilde{a}_1, \widetilde{a}_2\right.$ ， $\left.\cdots, \tilde{a}_m\right\}$ 是 $\widetilde{G}$ 的基；而 $j_G\left(G_0\right)$ 是 $j_G(b)=2\left(\sum_{i=1}^m \tilde{a}_i\right)$ 生成的自由循环群。记 $\widetilde{a}_1^{\prime}=\sum_{i=1}^m \widetilde{a}_i$ ，则 $\left\{\widetilde{a}_1^{\prime}, \widetilde{a}_2, \cdots, \widetilde{a}_m\right\}$ 也是 $\widetilde{G}$ 的基，并且 $j_G\left(G_0\right)$ 是 $2 \widetilde{a}_1^{\prime}$生成的子群．于是 $\widehat{G / G_0} \cong \overbrace{\boldsymbol{Z} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}}^{m-1 \uparrow} \oplus \boldsymbol{Z}_2$ ．

例 2 设 $G$ 是自由群，$\left\{a_1, b_1, \cdots, a_n, b_n\right\}$ 为基．$c=\left[a_1, b_1\right]$ ⋯ $\left[a_n, b_n\right]$ ，记 $G_0$ 是 $c$ 生成的正规子群，计算 $\widetilde{G / G_0}$ ．

做法同例 1．但现在 $G_0 \leqslant G^{\prime}$ ，因此 $j_G\left(G_0\right)=0$ ．于是

$$
\widehat{G / G_0} \cong \widetilde{G} \cong \overbrace{\bar{Z} \oplus \cdots \oplus Z}^{2 n \uparrow} .
$$

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