最后更新: 2026-01-15 22:28 查看: 3 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

群的自由乘积，自由群

5．群的自由乘积，自由群
从现在起，我们转向一般群（不必是交换群）。
定义 A． 4 设 $\left\{G_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\}$ 是一族群，规定它们的自由乘积 $\underset{i \in \Lambda}{*} G_\lambda$ 是一个群，作为集合
$\underset{\lambda \in \Lambda}{*} G_\lambda=\left\{x_1 x_2 \cdots x_n \mid \quad n \geqslant 0, x_i\right.$ 是某个 $G_\lambda$ 中的非单位元， $x_i$ 与 $x_{i+1}$ 不在同一 $G_\lambda$ 中 $\}$ ，
其中 $n=0$ 的元素只有一个，记作 1 ；乘法规定如下：设 $x_1 x_2 \cdots x_n$ 和 $y_1 y_2 \cdots y_m$ 是两个元素，如果 $i \leqslant l$ 时 $x_{n-i+1}$ 与 $y_i$ 属于同一个 $G_\lambda$ ，且 $x_{n-i} y_i=1$ ，而 $x_{n-l}$ 与 $y_{i+1}$ 不再有此性质，则它们的乘积为：

$$
\begin{aligned}
& \left(x_1 x_2 \cdots x_n\right) \cdot\left(y_1 y_2 \cdots y_m\right) \\
& \quad= \begin{cases}x_1 \cdots\left(x_{n-t} y_{t+1}\right) \cdots y_m, & \text { 若 } x_{n-t}, y_{t+1} \text { 在同一G } ; \\
x_1 \cdots x_{n-t} y_{t+1} \cdots y_m, & \text { 否则. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

乘法的结合律的验证较繁琐，这里省略了．按照定义，每个 $G_\lambda$可自然看作 $\underset{\lambda \in \Lambda}{*} G_\lambda$ 的子群．

命题 A． 8 设 $H$ 是一群，$\forall \lambda \in \Lambda$ ，有同态 $f_\lambda: G_\lambda \rightarrow H$ ，则存在唯一同态 $f: * G_\lambda \rightarrow H$ ，使得 $f \mid G_\lambda=f_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda$ ．

$$
\lambda \in \Lambda
$$

证明 $f$ 在每个 $G_\lambda$ 上已有定义．于是可规定

$$
f\left(x_1 \cdots x_n\right)=f\left(x_1\right) \cdots f\left(x_n\right) .
$$

不难验证它保持运算．
有限多个群 $G_1, \cdots, G_s$ 的自由乘积也可记作 $G_1 * G_2 * \cdots * G_s$ ，但其中 $G_i$ 的顺序是不重要的。

本书中只涉及到有限自由乘积．
记 $i_\lambda: G_\lambda \rightarrow{ }_{\lambda \in \Lambda}^* G_\lambda$ 是包含映射．取定 $\lambda_0 \in \Lambda$ ，作同态 $f_\lambda: G_\lambda \rightarrow G_{\lambda_0}$ 为：若 $\lambda \neq \lambda_0$ ，则 $f_\lambda$ 是平凡的，$f_{\lambda_0}=\operatorname{id}$ ．用命题 A． 8 ，得到同态

$\varphi_{\lambda_0}: \underset{\lambda \in A}{*} G_\lambda \rightarrow G_{\lambda_0}$ ，使得 $\varphi_{\lambda_0} \circ i_{\lambda_0}=\mathrm{id}, \varphi_{\lambda_0} \circ i_\lambda$ 平凡，$\forall \lambda \neq \lambda_0$ ．
定义 A． 5 群 $G$ 称为自由群，如果有子集 $A \subset G$ ，使得 $\forall x \in G$可唯一地表示成如下形式

$$
\begin{gathered}
x=a_1^k 1 a_2^k \cdots a_{n^n}^k, \quad a_i \in A, a_i \neq a_{i+1}, \\
k_i(i=1,2, \cdots, n) \text { 是非零整数, }
\end{gathered}
$$

称 $A$ 是 $G$ 的一个自由生成元组．
当 $G$ 是自由群时，$\forall x \in G$ 都不是有限阶的，因此它生成的子群 $\langle x\rangle$ 是自由循环群。比较自由群与自由乘积的定义，不难看出

命题 A． 9 如果 $G$ 是自由群，$A$ 是自由生成元组，则

$$
G \cong \underset{a \in A}{*}\langle a\rangle .
$$

6．用母元和关系表示一个群
拓扑学中，常用母元和关系来表现一个群。在许多场合，这种方法有几何直观性，应用起来方便而自然。

设 $X$ 是一个非空集合．$\forall x \in X$ ，可构造一个自由循环群 $Z(x)$如下： $\boldsymbol{Z}(\boldsymbol{x})=\left\{\boldsymbol{x}^n \mid \boldsymbol{n} \in \boldsymbol{Z}\right\}$ ，乘法为 $\boldsymbol{x}^n \cdot \boldsymbol{x}^m=\boldsymbol{x}^{n+m}$ 。

规定自由群

$$
F(X):=\underset{x \in X}{*} Z(x),
$$

则 $X \subset F(X)$ ，并且是 $F(X)$ 的一个自由生成元组．称 $F(X)$ 是由 $X$所生成的自由群．

设 $R$ 是 $F(X)$ 的一组元素，$[R]$ 是由 $R$ 生成的 $F(X)$ 的正规子群（即包含 $R$ 的最小正规子群），引进记号

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