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附录 B Van－Kampen 定理

假设 $X_1, X_2$ 是拓扑空间 $X$ 的两个子空间，交集 $X_0=X_1 \cap X_2$非空。记 $i_l: X_0 \rightarrow X_l(l=1,2)$ 和 $i_l^{\prime}: X_l \rightarrow X(l=0,1,2)$ 都是包含映射，则

$$
i_l^{\prime} \circ i_l=i_0^{\prime}, \quad l=1,2 .
$$

或者说有右图所示的交换图表．
取定 $x_0 \in X_0$ 。在自由乘积 $\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right)$ 中，由子集

$$
\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}
$$

所生成的正规子群记作 $G$ ，并规定

$$
\pi:=\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) / G .
$$

在以上的约定和记号下，Van－Kampen 定理可表述为：

![图片](/uploads/2026-01/68ec7c.jpg)
 
 Van－Kampen 定理 如果 $X_1$ 和 $X_2$ 构成 $X$ 的开覆盖，并且 $X$和 $X_0$ 道路连通，则

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi .
$$

证明 由第二章§5的习题5知道，从 $X$ 和 $X_0$ 道路连通推出 $X_1$ 和 $X_2$ 也道路连通。

由同态 $\left(i_l^{\prime}\right)_\pi: \pi_1\left(X_l, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)(l=1,2)$ 决定同态 $\varphi_0: \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$（见第四章 § 5 习题 1）．于是， $\forall \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)$ ，有

$$
\begin{aligned}
\varphi_0\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) & =\left(i_1^{\prime}\right)_\pi\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2^{\prime}\right)_\pi\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \\
& =\left(i_0\right)_\pi(\alpha)\left(i_0\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right)=1
\end{aligned}
$$

从而 $G \subset \operatorname{Ker} \varphi_0, \varphi_0$ 诱导出一个同态：

$$
\varphi: \pi \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right) .
$$

下面验证 $\varphi$ 是同构，以完成定理的证明．
$\varphi$ 是满同态 只须证明 $\varphi_0$ 是满同态．$\forall\langle a\rangle \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，由于 $X_1$ 和 $X_2$ 构成 $X$ 的开覆盖，对于道路 $a$ ，可取到足够大的自然数 $n$ ，使得当将 $I=[0,1]$ 等分为 $n$ 个区间 $I_1, I_2, \cdots, I_n$ 时，a 把每个 $I_h$映入 $X_1$ 或 $X_2$ 中。对每个分割点 $\frac{h}{n}(h=1,2, \cdots, n-1)$ ，当 $a\left(\frac{h}{n}\right) \in X_l(l=0,1$ 或 2$)$ 时，取 $X_l$ 中从 $x_0$ 到 $a\left(\frac{h}{n}\right)$ 的道路 $w_h$ ，记 $w_0=w_n=e_{x_0}$（ $x_0$ 处的点道路）。记 $a_h$ 是 $a \mid I_h$ 决定的道路，它是 $X_1$或 $X_2$ 中的道路。当它在 $X_l$ 中时，取 $\gamma_h=\left\langle w_{h-1} a_h w_h^{-1}\right\rangle_l \in \pi_1\left(X_l\right.$ ， $x_0$ ）（如果既在 $X_1$ 中，又在 $X_2$ 中，任意取定 $l$ 为 1 或 2 ）．记 $\gamma= \gamma_1 \gamma_2 \cdots \gamma_n \in \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right)$ ，则

$$
\begin{aligned}
\varphi_0(\gamma) & =\left\langle e_{x_0} a_1 w_1^{-1} w_1 a_2 w_2^{-1} \cdots w_{n-1} a_n e_{x_0}\right\rangle \\
& =\left\langle a_1 a_2 \cdots a_n\right\rangle=\langle a\rangle,
\end{aligned}
$$

即 $\langle a\rangle \in \operatorname{Im} \varphi_0$ ．由 $\langle a\rangle$ 的任意性推得 $\varphi_0$ 是满同态．

$\varphi$ 是单同态 这部分证明较复杂．先作一些技术准备．对 $X_1$或 $X_2$ 中在 $x_0$ 处的闭路 $u$ ，我们来规定 $\pi$ 中的一个元素 $[u] . u$ 在 $X_l(l=1$ 或 2$)$ 中，它代表了 $\pi_1\left(X_l, x_0\right)$ 的元素 $\langle u\rangle_l$ ，将其看作 $\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right)$ 中的元素，就决定了 $\pi$ 中的一个元素，也就是 $\langle u\rangle_1$ 的 $G$ 陪集．问题是当 $u$ 在 $X_0$ 中时，它同时可从 $X_1$ 和 $X_2$ 两个途径决定 $\pi$ 中元素，即 $\langle u\rangle_1$ 的 $G$ 陪集和 $\langle u\rangle_2$ 的 $G$ 陪集．然而，若记 $\langle u\rangle_0$ 是 $u$ 代表的 $\pi_1\left(X_0, x_0\right)$ 中的元素，则

$$
\begin{aligned}
\langle u\rangle_l & =\left(i_l\right)_\pi\left(\langle u\rangle_0\right), \quad l=1,2, \\
\langle u\rangle_1\langle u\rangle_2^{-1} & =\left(i_1\right)_\pi\left(\langle u\rangle_0\right)\left(i_2\right)_\pi\left(\langle u\rangle_0^{-1}\right) \in G,
\end{aligned}
$$

从而 $\langle u\rangle_1,\langle u\rangle_2$ 属于同一个 $G$ 陪集．因此 $u$ 总是唯一决定 $\pi$ 中的一个元素，将它记作 $[u]$ ．不难看出
（i）若 $u_1, u_2$ 都是 $x_0$ 处闭路，且 $u_1 u_2$ 在 $X_1$ 或 $X_2$ 中，则 $\left[u_1 u_2\right] =\left[u_1\right]\left[u_2\right]$ ．
（ii）若 $u, v$ 都是 $x_0$ 处闭路，并且在 $X_1$ 或 $X_2$ 中 $u \simeq v$ ，则 $[u]$

$=[v]$ ．
现在来证 $\varphi$ 是单的．设 $\omega \in \pi$ ，使 $\varphi(\omega)=1$ ，要证 $\omega=1 . \omega$是 $\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right)$ 的一个 $G$ 陪集，设它含元素 $\left\langle a_1\right\rangle_{l_1}\left\langle a_2\right\rangle_{l_2} \cdots\left\langle a_n\right\rangle_{l_n}$ ，其中 $\left\langle a_h\right\rangle_{l_h} \in \pi_1\left(X_{l_h}, x_0\right), l_h=1$ 或 $2(h=1, \cdots, n)$ 。于是 $\omega=\left[a_1\right]\left[a_2\right] \cdots\left[a_n\right]$.

构作 $x_0$ 处闭路 $a$ ，使得 $a \left\lvert\, I_h=\left[\frac{h-1}{n}, \frac{h}{n}\right]\right.$ 决定的道路就是 $a_h, h=1, \cdots, n$ ，则 $a$ 代表的 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 中的元素

$$
\langle a\rangle=\left\langle a_1\right\rangle\left\langle a_2\right\rangle \cdots\left\langle a_n\right\rangle=\varphi_0\left(\left\langle a_1\right\rangle_{l_1}\left\langle a_2\right\rangle_{l_2} \cdots\left\langle a_n\right\rangle_n\right)=\varphi(\omega)=1,
$$

从而有 $a$ 到 $e_{x_0}$ 的定端同伦 $H: I \times I \rightarrow X$ ．
取能被 $n$ 整除的足够大的正整数 $m$ ，使得 $I \times I$ 等分成的 $m^2$ 个小正方形的每一块被 $H$ 映入 $X_1$或 $X_2$ 。记 $A_{j k}=\left(\frac{j}{m}, \frac{k}{m}\right), j, k=0$ ， $\cdots, m$ ．把 $H$ 在线段 $A_{j-1 k} A_{j k}$ 和 $A_{j k-1} A_{j k}$ 上的限制道路分别记作
$u_{j k}$ 和 $v_{j k}$（见右图）。当 $H\left(A_{j k}\right) \in X_i(l=0,1$ 或 2$)$ 时，取 $X_i$ 中从 $x_0$到 $H\left(A_{j k}\right)$ 的道路 $w_{j k}$（如果 $H\left(A_{j k}\right)=x_0$ ，则记 $w_{j k}=e_{x_0}$ ）．
 ![图片](/uploads/2026-01/58f9a9.jpg)
 
 规定 $\pi$ 中元素

$$
\begin{aligned}
\lambda_{j k} & =\left[w_{j-1 k} u_{j k} w_{j k}^{-1}\right], \\
\mu_{j k} & =\left[w_{j k-1} v_{j k} w_{j k}^{-1}\right] .
\end{aligned}
$$

则 $\lambda_{j m}=\mu_{0 k}=\mu_{m k}=1$ ，并且

$$
\begin{aligned}
\lambda_{j k-1} \mu_{j k} & =\left[w_{j-1 k-1} u_{j k-1} w_{j k-1}^{-1}\right]\left[w_{j k-1} v_{j k} w_{j k}^{-1}\right] \\
& =\left[w_{j-1 k-1} u_{j k-1} v_{j k} w_{j k}^{-1}\right] \\
& =\left[w_{j-1 k-1} v_{j-1 k} u_{j k} w_{j k}^{-1}\right] \\
& =\mu_{j-1 k} \lambda_{j k} .
\end{aligned}
$$

于是

$$
\lambda_{j k-1}=\mu_{j-1 k} \lambda_{j k} \mu_{j k}^{-1}
$$

记 $\eta_k=\lambda_{1 k} \lambda_{2 k} \cdots \lambda_{m k}(k=0,1, \cdots, m)$ ，则 $\forall k=0, \cdots, m-1$ ，有

$$
\begin{aligned}
\eta_{k-1} & =\lambda_{1 k-1} \lambda_{2 k-1} \cdots \lambda_{m k-1} \\
& =\mu_{0 k} \lambda_{1 k} \lambda_{2 k} \cdots \lambda_{m k} \mu_{m k}^{-1}=\eta_k .
\end{aligned}
$$

于是 $\eta_0=\eta_m=\lambda_{1 m} \lambda_{2 m} \cdots \lambda_{m m}=1$ ．
记 $r=\frac{m}{n}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& a_h \simeq u_{r h+10} u_{r h+20} \cdots u_{r(h+1) 0}, \\
& {\left[a_k\right]=\lambda_{r h+10} \lambda_{r h+20} \cdots \lambda_{r(h+1) 0} .}
\end{aligned}
$$

于是 $\eta_0=\left[a_1\right]\left[a_2\right] \cdots\left[a_n\right]=\omega$ 。从而 $\omega=1$ ．
定理证毕。
定理的条件中，$X$ 道路连通可以去掉，因为当 $X$ 不道路连通时，只用把它换成 $X_0$ 所在的道路分支。

下面用母元和关系的语言来表述 Van－Kampen 定理．

设拓扑空间 $X$ 分解为开集 $X_1$ 与 $X_2$ 之并，使得交集 $X_0= X_1 \cap X_2$ 非空并且道路连通．取定基点 $x_0 \in X_0$ ．设基本群 $\pi_1\left(X_i, x_0\right)$有表示 $\left\{A_i, R_i\right\}$ ，其中 $A_i$ 是母元组，$R_i$ 为关系组，$i=0,1,2$ ．记 $l_i: X_0 \rightarrow X_i$ 是包含映射，$i=1,2$ ．规定 $A_1 \sqcup A_2$ 上的关系组

$$
R:=\left\{\left(l_1\right)_\pi(\alpha)\left(l_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in A_0\right\} .
$$

Van－Kampen 定理 在上面的记号和约定下，$\pi_1\left(X, x_0\right)$ 有表示 $\left\{A_1 \sqcup A_2 ; R_1 \sqcup R_2 \sqcup R\right\}$ ．
（ 山是无交并的记号）。

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