最后更新: 2026-01-15 22:32 查看: 1 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录 B Van－Kampen 定理

假设 $X_1, X_2$ 是拓扑空间 $X$ 的两个子空间，交集 $X_0=X_1 \cap X_2$非空。记 $i_l: X_0 \rightarrow X_l(l=1,2)$ 和 $i_l^{\prime}: X_l \rightarrow X(l=0,1,2)$ 都是包含映射，则

$$
i_l^{\prime} \circ i_l=i_0^{\prime}, \quad l=1,2 .
$$

或者说有右图所示的交换图表．
取定 $x_0 \in X_0$ 。在自由乘积 $\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right)$ 中，由子集

$$
\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}
$$

所生成的正规子群记作 $G$ ，并规定

$$
\pi:=\pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) / G .
$$

在以上的约定和记号下，Van－Kampen 定理可表述为：

![图片](/uploads/2026-01/68ec7c.jpg)
 
 Van－Kampen 定理 如果 $X_1$ 和 $X_2$ 构成 $X$ 的开覆盖，并且 $X$和 $X_0$ 道路连通，则

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi .
$$

证明 由第二章§5的习题5知道，从 $X$ 和 $X_0$ 道路连通推出 $X_1$ 和 $X_2$ 也道路连通。

由同态 $\left(i_l^{\prime}\right)_\pi: \pi_1\left(X_l, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)(l=1,2)$ 决定同态 $\varphi_0: \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$（见第四章 § 5 习题 1）．于是， $\forall \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)$ ，有

$$
\begin{aligned}
\varphi_0\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) & =\left(i_1^{\prime}\right)_\pi\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2^{\prime}\right)_\pi\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \\
& =\left(i_0\right)_\pi(\alpha)\left(i_0\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right)=1
\end{aligned}
$$

从而 $G \subset \operatorname{Ker} \varphi_0, \varphi_0$ 诱导出一个同态：

$$
\varphi: \pi \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right) .
$$

下面验证 $\varphi$ 是同构，以完成定理的证明．
$\varphi$ 是满同态 只须证明 $\varphi_0$ 是满同态．$\forall\langle a\rangle \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，由于 $X_1$ 和 $X_2$ 构成 $X$ 的开覆盖，对于道路 $a$ ，可取到足够大的自然数 $n$ ，使得当将 $I=[0,1]$ 等分为 $n$ 个区间 $I_1, I_2, \cdots, I_n$ 时，a 把每个 $I_h$映入 $X_1$ 或 $X_2$ 中。对每个分割点 $\frac{h}{n}(h=1,2, \cdots, n-1)$ ，当 $a\left(\frac{h}{n}\right) \in X_l(l=0,1$ 或 2$)$ 时，取 $X_l$ 中从 $x_0$ 到 $a\left(\frac{h}{n}\right)$ 的道路 $w_h$ ，记 $w_0=w_n=e_{x_0}$（ $x_0$ 处的点道路）。记 $a_h$ 是 $a \mid I_h$ 决定的道路，它是 $X_1$或 $X_2$ 中的道路。当它在 $X_l$ 中时，取 $\gamma_h=\left\langle w_{h-1} a

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