最后更新: 2026-01-15 22:25 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录 A 关于群的补充知识

我们假设读者已具备群的初步知识，包括群，同态，同构，子群，正规子群，商群，元素的阶，交换群（或称 Abel 群）等概念，以及循环群，自由循环群等具体例子。

本附录介绍本书中要用到的关于群的一些知识．主要是有限生成交换群的直和分解定理和秩，以及群的交换化。交换群中的运算称作加法，用＂＋＂表示，单位元记作 0 ，相应地把平凡群称作零群，平凡同态称作零同态，都记作 0 。

1．自由交换群与有限生成交换群
定义 A． 1 交换群 $F$ 称为自由交换群，如果有子集 $A \subset F$ ，使得 $\forall x \in F$ 可唯一表示成 $A$ 中有限个元素的整系数线性组合：

$$
x=\sum_{i=1}^k n_i a_i, \quad a_i \in A, n_i \in \mathbf{Z}
$$

称 $A$ 为 $F$ 的一个基．
如果自由交换群 $F$ 有一个基 $A$ 只包含有限个元素，则称 $F$ 是有限基自由交换群。

设 $A$ 是自由交换群 $F$ 的基，$H$ 是一交换群，则从 $A$ 到 $H$ 的任一对应 $\theta: A \rightarrow H$ 可按下式唯一决定同态 $\varphi: F \rightarrow H$ ，

$$
\varphi\left(\sum_{i=1}^k n_i a_i\right)=\sum_{i=1}^k n_i \theta\left(a_i\right) .
$$

称 $\varphi$ 是 $\theta$ 的线性扩张．
定义 A． 2 如果交换群 $H$ 有一有限子集

$$
A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_r\right\},
$$

使得 $H$ 的每个元素 $x$ 可表成

$$
x=\sum_{i=1}^r n_i a_i
$$

的形式，则称 $H$ 是有限生成交换群，称 $A$ 是它们的一个生成元组。

命题 A． 1 交换群 $H$ 是有限生成的 $\Longleftrightarrow H$ 是一个有限基自由交换群的商群。

证明 ⟵．设 $j: F \rightarrow H$ 是满同态，其中 $F$ 是有限基自由群。设 $\left\{f_1, f_2, \cdots, f_r\right\}$ 是 $F$ 的基，则显然 $\left\{j\left(f_1\right), \cdots, j\left(f_r\right)\right\}$ 是 $H$ 的生成元组。

⟶．取 $H$ 的生成元组 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_r\right\}$ ．构作 $F$ 为

$$
F=\left\{\left(n_1, \cdots, n_r\right) \mid n_i \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

则 $F$ 在向量加法下是有限基自由交换群．规定对应 $j: F \rightarrow H$ 为 $j\left(n_1, \cdots, n_r\right)=\sum_{i=1}^r n_i a_i$ 。则 $j$ 是满同态。

推论 有限生成交换群的商群也是有限生成的．
根据本书的需要，从现在起，我们只讨论有限生成的交换群。
设 $H$ 是有限生成交换群，$h \in H$ 称为有限阶的，如果存在 $r \in N$ ，使得 $r h=0$ 。记 $T_H$ 是 $H$ 的全部有限阶元素构成的集合，则 $T_H$是 $H$ 的子群，称为 $H$ 的挤子群．

设 $H_0$ 是 $H$ 的子群，规定

$$
C\left(H_0\right):=\left\{h \in H \mid \text { 存在 } r \in \boldsymbol{N} \text {, 使得 } r h \in H_0\right\} \text {. }
$$

它是 $H$ 的一个子群。特别地，$C\left(T_H\right)=C(0)=T_H$ ．
命题 A． 2 （1）$H / C\left(H_0\right)$ 无有限阶非 0 元素；
（2）$C\left(H_0\right) / H_0$ 的每个元素都是有限阶的．
证明（1）设 $h \in H$ ，使得它代表的商群元素 $\langle h\rangle \in H / C\left(H_0\right)$ 是有限阶的，则有 $r \in N$ ，使得 $r\langle h\rangle=0$ ，即 $r h \in C\left(H_0\right)$ ．由定义，存在 $r^{\prime} \in N$ ，使得 $r^{\prime}(r h) \in H_0$ ，于是 $h \in C\left(H_0\right),\langle h\rangle=0$ ．
（2）由 $C\left(H_0\right)$ 的定义直接得出．

推论 $H / T_H$ 无有限阶非 0 元素．

引理 设 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ 都是整数，它们的最大公约数 $\left(r_1, r_2\right.$ ， $\left.\cdots, r_n\right)=1$ ．则存在 $A \in G L_n^0(\boldsymbol{Z})$ ，使得

$$
A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

这里 $G L_n^{\circ}(\boldsymbol{Z})$ 是全体以整数为元素、行列式等于 1 的 $n$ 阶方阵的集合。

证明 对 $n$ 作归纳．$n=1$ 显然．
设对 $n-1$ 已证．$\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=1$ ．记 $r=\left(r_{n-1}, r_n\right)$ ．则存在整数 $s$ 和 $t$ ，使得 $s r_{n-1}+t r_n=r$ ．作 $A^{\prime} \in G L_n^0(\boldsymbol{Z})$ 为

![图片](/uploads/2026-01/048c65.jpg)
 
 由于 $\left(r_1, \cdots, r_{n-2}, r\right)=\left(r_1, \cdots, r_{n-1}, r_n\right)=1$ ，根据归纳假设，存在 $B \in G L_{n-1}^0(\boldsymbol{Z})$ ，使得

$$
B\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_{n-2} \\
r
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

令 $A=\left(\begin{array}{llll} & & & 0 \\ & B & & \vdots \\ & & & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) A^{\prime}$ ，则 $A$ 为所求．
定理 A． 1 没有有限阶非 0 元素的有限生成交换群是自由群．

证明 设 $H$ 是有限生成交换群。它没有有限阶非 0 元素．假设 $H$ 的生成元组包含元素个数的最小值为 $n$ ，并且 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$是一个生成元组．用反证法说明 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 自由生成 $H$ ．否则，

有不全为 0 的整数 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ ，使得 $r_1 a_1+r_2 a_2+\cdots+r_n a_n=0$ ．由于 $H$ 没有有限阶非 0 元素，不妨可设最大公约数 $\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=$ 1 ．由引理，存在 $A \in G L_n^0(Z)$ ，使得

$$
A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

令 $\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) A^{-1}$ ，则 $\left\{b_i\right\}$ 也是 $H$ 的生成元组，并且

$$
\begin{aligned}
b_1 & =\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right) A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right) \\
& =\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\sum_{i=1}^n r_i a_i=0
\end{aligned}
$$

于是 $\left\{b_2, \cdots, b_n\right\}$ 也是 $H$ 的生成元组，它只有 $n-1$ 个元素．与假设矛盾．

推论 设 $H_0$ 是有限生成交换群 $H$ 的子群，则 $H / C\left(H_0\right)$ 是自由交换群。特别地，$H / T_H$ 是自由交换群。

2．直和
交换群的直和就是普通群的直积概念。两个交换群 $H_1$ 和 $H_2$的直和是一个交换群，记作 $H_1 \oplus H_2$ ，其集合为

$$
\left\{\left(h_1, h_2\right) \mid h_i \in H_i, i=1,2\right\} .
$$

加法由

$$
\left(h_1, h_2\right)+\left(h_1^{\prime}, h_2^{\prime}\right)=\left(h_1+h_1^{\prime}, h_2+h_2^{\prime}\right)
$$

规定。
任意有限个交换群的直和可类似地规定．
设 $H$ 有一组子群 $H_1, H_2, \cdots, H_n$ ，使得 $\forall h \in H$ 可唯一地表示为 $h=\sum_{i=1}^n h_i, h_i \in H_i$ ．则 $\bigoplus_{i=1}^n H_i\left(=H_1 \oplus \cdots \oplus H_n\right) \cong H$ 。（容易验证，$\left(h_1, h_2, \cdots, h_n\right) \mapsto \sum_{i=1}^n h_i$ 给出 $\bigoplus_{i=1}^n H_i$ 到 $H$ 的同构）。在这种情况，称 $H$ 是 $H_1, H_2, \cdots, H_n$ 的内直和（经常简单地称为直和），记

作 $H=\bigoplus_{i=1}^n H_i$ ，称 $H_i$ 是 $H$ 的 直和因子（也称作直加项）．
设 $F$ 是有限基自由交换群，$\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n\right\}$ 是它的基，记 $\left\langle f_i\right\rangle$是 $f_i$ 生成的自由循环群，则

$$
F=\bigoplus_{i=1}^n\left\langle f_i\right\rangle \cong \overbrace{\mathbf{Z} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}}^{n \Uparrow}=\boldsymbol{Z}^n .
$$

命题 A． 3 设 $H_1, H_2$ 是 $H$ 的子群，$H_1+H_2=H$（即 $\forall h \in H$ ，有表示式 $\left.h=h_1+h_2, h_i \in H_i\right)$ ，并且 $H_1 \cap H_2=0$ ，则 $H=H_1 \oplus H_2$ 。

证明 只须证明对 $h \in H$ ，表示式 $h=h_1+h_2\left(h_i \in H_i\right)$ 是唯一的。若另有 $h=h_1^{\prime}+h_2^{\prime}, h_i^{\prime} \in H_i$ ，则 $h_1-h_1^{\prime}+h_2-h_2^{\prime}=0$ ，因而 $h_1-h_1^{\prime} =h_2^{\prime}-h_2 \in H_1 \cap H_2=0$ ，从而 $h_1-h_1^{\prime}=h_2^{\prime}-h_2=0$ ，即 $h_1=h_1^{\prime}, h_2= h_2^{\prime}$ 。

命题 A． 4 设 $j: H \rightarrow F$ 是满同态，并且 $F$ 是自由交换群，则 $H \cong \operatorname{Ker} j \oplus F$ 。 $\left(\operatorname{Ker} j=j^{-1}(0)\right.$ ，称为 $j$ 的核。）

证明 取 $A$ 是 $F$ 的一个基．规定对应 $\theta: A \rightarrow H$ ，使得 $\forall a \in A, j(\theta(a))=a$ 。由 $\theta$ 线性扩张得到同态 $\varphi: F \rightarrow H$ ，它满足 $j \circ \varphi=$ id ：$F \rightarrow F$ 。从而 $\varphi$ 是单同态。 $\forall h \in H$ ，记 $h_2=\varphi(j(h)), h_1=h-h_2$ 。则 $h_1 \in \operatorname{Ker} j, h_2 \in \operatorname{Im} \varphi$ 。如果 $h \in \operatorname{Ker} j \cap \operatorname{Im} \varphi$ ，则有 $f \in F$ ，使得 $\varphi(f) =h$ ，于是 $h=\varphi(j \circ \varphi(f))=\varphi(j(h))=0$ 。由命题 A． 3 ，

$$
H=\operatorname{Ker} j \oplus \operatorname{Im} \varphi \cong \operatorname{Ker} j \oplus F .
$$

推论 设 $H_0$ 是有限生成交换群 $H$ 的子群，则

$$
H \cong C\left(H_0\right) \oplus\left(H / C\left(H_0\right)\right),
$$

特别地

$$
H \cong T_H \oplus\left(H / T_H\right)
$$

3．有限生成交换群的秩
设 $H$ 是交换群，记 $H^*$ 是所有从 $H$ 到 $\boldsymbol{R}$（看作加法群）的群同态的集合，在 $H^*$ 中规定加法运算和数乘运算如下：
$\forall f, g \in H^*$ ，则 $f+g \in H^*$ ，规定为

$$
(f+g)(h)=f(h)+g(h), \quad \forall h \in H ;
$$

$\forall f \in H^*, r \in \boldsymbol{R}$ ，则 $r f \in H^*$ ，规定为

$$
(r f)(h)=r f(h), \quad \forall h \in H .
$$

不难验证，在这两种运算下 $H^*$ 为实线性空间．

设 $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ 是同态，则 $\forall f \in H_2^*, f \circ \varphi \in H_1^*$ 。规定 $\varphi^*: H_2^* \rightarrow H_1^*$ 为 $\varphi^*(f)=f \circ \varphi, \forall f \in H_2^*$ ．不难验证 $\varphi^*$ 是线性映射．容易看出，$\left(\varphi_2 \circ \varphi_1\right)^*=\varphi_1^* \circ \varphi_2^*$ ；若 $\varphi$ 是同构，则 $\varphi^*$ 也是同构。

例如， $\boldsymbol{Z}^*=\boldsymbol{R}$（1 维实线性空间）；设 $\boldsymbol{Q}$ 为有理数加群， $\boldsymbol{Q}^*=\boldsymbol{R}$ ；若 $H$ 的每个元素都是有限阶的，则 $H^*=0$（习题6）．

命题 A． 5 （1）$\left(H_1 \oplus H_2\right)^* \cong H_1^* \times H_2^*$ ；
（2）若 $H_0$ 是 $H$ 的子群，并且 $H / H_0$ 的每个元素都是有限阶的，则 $H_0^* \cong H^*$ 。

证明（1）规定 $\zeta: H_1^* \times H_2^* \rightarrow\left(H_1 \oplus H_2\right)^*$ 如下：$\forall\left(f_1, f_2\right) \in H_1^* \times H_2^*$ ，令 $\zeta\left(f_1, f_2\right) \in\left(H_1 \oplus H_2\right)^*$ 为

$$
\zeta\left(f_1, f_2\right)\left(h_1, h_2\right)=f_1\left(h_1\right)+f_2\left(h_2\right), \forall\left(h_1, h_2\right) \in H_1 \oplus H_2,
$$

则 $\zeta$ 是线性映射．若 $\zeta\left(f_1, f_2\right)=0$ ，则 $\forall h_1 \in H_1$ ，

$$
f_1\left(h_1\right)=\zeta\left(f_1, f_2\right)\left(h_1, 0\right)=0
$$

因此 $f_1=0$ ．同理 $f_2=0$ ，从而 $\left(f_1, f_2\right)=0$ ，这说明 $\zeta$ 是单的．设 $g \in \left(H_1 \oplus H_2\right)^*$ ，由 $f_1\left(h_1\right)=g\left(h_1, 0\right)$ 规定 $f_1 \in H_1^*$ ，由 $f_2\left(h_2\right)=g(0$ ， $\left.h_2\right)$ 规定 $f_2 \in H_2^*$ ，则 $\zeta\left(f_1, f_2\right)=g$ ．从而 $\zeta$ 是满的．于是 $\zeta$ 是同构．
（2）记 $i: H_0 \rightarrow H$ 是包含映射．下面证 $i^*: H^* \rightarrow H_0^*$ 是同构．

若 $i^*(f)=0$ ，即 $\forall h_0 \in H_0, f\left(h_0\right)=0$ ．由 $H / H_0$ 的元素是有限阶的，知 $C\left(H_0\right)=H$ ，即 $\forall h \in H$ ，存在 $r \in N$ ，使得 $r h \in H_0$ ．于是 $r f(h)=f(r h)=0$ ，从而 $f(h)=0$ ．由 $h$ 的任意性得出 $f=0$ ．证明了 $i^*$ 是单的．

设 $g \in H_0^* . \forall h \in H$ ，令 $r_h=\min \left\{r \in N \mid r h \in H_0\right\}$ ，规定 $f: H \rightarrow \boldsymbol{R}$ 为 $f(h)=\frac{1}{r_h} g\left(r_h h\right)$ 。如果 $r h \in H_0$ ，则 $r_h \mid r$ ，从而 $f(h)= \frac{1}{r} g(r h)$ 。由此事实不难验证 $f \in H^*$ ．显然 $i^*(f)=g$ ．$i^*$ 是满的．

定义 A． 3 当 $H$ 是有限生成交换群时，称线性空间 $H^*$ 的维数为交换群 $H$ 的秩，记作 $\operatorname{rank} H$ 。

于是 $\operatorname{rank} \boldsymbol{Z}=1$ ，从而根据命题A。5（1），当 $F$ 是有限基自由交换群，并且一个基含 $n$ 个元素时， $\operatorname{rank} F=n$ ．由此可见有限基自由交换群的每个基含有相同个数元素．

对于一般有限生成交换群 $H$ ，因为 $H \cong T_H \oplus\left(H / T_H\right)$ ，所以用命题 A． 5 中的（1），$H^*=T_H^* \times\left(H / T_H\right)^*=\left(H / T_H\right)^*, \operatorname{rank} H =\operatorname{rank}\left(H / T_H\right)$ 是有限数．

我们要指出，许多文献中对所有交换群都规定秩，并且定义方式与这里不同，但对于有限生成交换群，意义和本书中是一致的．

定理 A． 2 设 $H_0$ 是有限生成交换群 $H$ 的子群，则

$$
\operatorname{rank} H=\operatorname{rank} H_0+\operatorname{rank}\left(H / H_0\right) .
$$

证明 因为 $H \cong C\left(H_0\right) \oplus\left(H / C\left(H_0\right)\right)$ ，所以用命题 A．5（1）

$$
\operatorname{rank} H=\operatorname{rank}\left(C\left(H_0\right)\right)+\operatorname{rank}\left(H / C\left(H_0\right)\right) .
$$

$H_0 \subset C\left(H_0\right)$ ，且 $C\left(H_0\right) / H_0$ 的元素是有限阶的，从而根据命题 A．5（2）， $\operatorname{rank}\left(C\left(H_0\right)\right)=\operatorname{rank} H_0$ 。剩下只用证明 $\operatorname{rank}\left(H / H_0\right)= \operatorname{rank}\left(H / C\left(H_0\right)\right)$ ．

根据代数学中的定理，

$$
H / C\left(H_0\right) \cong\left(H / H_0\right) /\left(C\left(H_0\right) / H_0\right),
$$

而且 $H / C\left(H_0\right)$ 是自由交换群，于是

$$
\begin{aligned}
& H / H_0 \cong C\left(H_0\right) / H_0 \oplus H / C\left(H_0\right), \\
& \operatorname{rank}\left(H / H_0\right)=\operatorname{rank}\left(H / C\left(H_0\right)\right) .
\end{aligned}
$$

4．有限生成交换群的直和分解
设 $F$ 是秩为 $n$ 的自由交换群．$F$ 中元素 $x$ 称为可除的，如果存在自然数 $r>1$ ，和 $x_1 \in F$ ，使得 $x=r x_1$ 。

取定 $F$ 的基 $\left\{y_1, y_2, \cdots, y_n\right\}$ ，设 $x=\sum_{i=1}^n r_i y_i$ ，则 $x$ 不可除 $\Longleftrightarrow r_1, r_2, \cdots, r_n$ 的最大公约数 $\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=1$ 。

当 $x$ 是某个基的成员时，不妨设 $\left\{x, y_2, \cdots, y_n\right\}$ 是基，则 $x$ 的坐标为 $(1,0, \cdots, 0)$ ，这组坐标的最大公因子为 1 ，故 $x$ 不可除．反之，若 $x$ 不可除，不妨设对于基 $\left\{y_i\right\}$ ，有 $x=\sum_{i=1}^n r_i y_i,\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=$ 1．则由前面的引理，存在 $A \in G L_n^{\circ}(\boldsymbol{Z})$ ，使得

$$
A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$

则 $\left\{x_1, \cdots, x_n\right\}:=\left\{\left(y_1, \cdots, y_n\right) A^{-1}\right\}$ 也是基，$x=x_1$ 。我们证明了
命题 A． $6 x$ 不可除 $\Longleftrightarrow x$ 是某个基的一个成员．

命题 A． $7 \forall x \in F$ ，存在唯一自然数 $r$ 和不可除元素 $x_1$ ，使得 $x=r x_1$ ．称 $r$ 为 $x$ 的高度，$x_1$ 为 $x$ 的底．

证明 任取基 $\left\{y_1, \cdots, y_n\right\}$ ，设 $x=\sum_{i=1}^n r_i y_i$ ．记 $r=\left(r_1, \cdots, r_n\right)$ ， $x_1=\sum_{i=1}^n \frac{r_i}{r} y_i$ 。则 $x_1$ 不可除，且 $x=r x_1$ ．

若另有 $x=r^{\prime} x_1^{\prime}$ ，其中 $r^{\prime}$ 也是自然数，$x_1^{\prime}$ 不可除，记 $x_1^{\prime}= \sum_{i=1}^n r_i^{\prime} y_i$ ，则 $r_i=r^{\prime} r_i^{\prime}$ ．于是 $r=\left(r_1, \cdots, r_n\right)=\left(r^{\prime} r_1^{\prime}, \cdots, r^{\prime} r_n^{\prime}\right)= r^{\prime}\left(r_1^{\prime}, \cdots, r_n^{\prime}\right)=r^{\prime} ; r\left(x_1-x_1^{\prime}\right)=x-x=0$ ，因此 $x_1=x_1^{\prime}$ 。

定理 A． 3 设 $F$ 是秩为 $n$ 的自由交换群，$F_0$ 是 $F$ 的子群，则 $F_0$ 也是有限基自由交换群，其秩 $s \leqslant n$ ；并且存在 $F$ 的基 $\left\{x_1, \cdots\right.$ ， $\left.x_n\right\}$ ，使得 $\left\{k_1 x_1, \cdots, k_s x_s\right\}$ 是 $F_0$ 的基，其中 $k_i \in N$ ，且 $k_i \mid k_{i+1}(i=1$ ， $\cdots, s-1)$ 。

证明 对 $F$ 的秩 $n$ 作归纳证明．$n=0$ 时结论显然成立．

设对秩为 $n-1$ 时结论成立．考虑秩为 $n$ 的情形．设 $F_0$ 的非零元中，$a$ 在 $F$ 中高度最小。并设 $k_1$ 是 $a$ 的高度。设 $a$ 的底为 $x_1$ ，并设 $\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$ 为 $F$ 的基。记 $A$ 是 $x_1$ 生成的自由循环群，$F^{\prime}$ 是 $\left\{x_2, \cdots, x_n\right\}$ 生成的自由群，则 $F=A \oplus F^{\prime}$ 。记 $A_0=F_0 \cap A$（它是 $a$ 生成的自由循环群），$F_0^{\prime}=F_0 \cap F^{\prime}$ ．下面验证 $F_0=A_0 \oplus F_0^{\prime}$ ．显然 $A_0 \cap F_0^{\prime}=0 . \forall b \in F_0$ ，设 $b=\sum_{i=1}^n r_i x_i$ ．若 $k_1 \nmid r_1$ ，则存在 $l \in \boldsymbol{Z}$ ，使得 $0< r_1+l k_1<k_1 . b+l a \in F_0$ ，其高度 $=\left(r_1+l k_1, r_2, \cdots, r_n\right)<k_1$ ，矛盾，说明 $k_1 \mid r_1$ ．于是 $b=\frac{r_1}{k_1} a+\sum_{i=2}^n r_i x_i$ ，其中 $\frac{r_1}{k_1} a \in A_0, \sum_{i=2}^n r_i x_i \in F_0^{\prime}$ ．由命题 A． $3, F_0=A_0 \oplus F_0^{\prime}$ ．

因为 $F^{\prime}$ 是秩为 $n-1$ 的自由交换群，所以对 $F^{\prime}, F_0^{\prime}$ 可用归纳假设，取 $\left\{x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right\}$ 是 $F^{\prime}$ 的基，使得 $\left\{k_2 x_2^{\prime}, \cdots, k_s x_s^{\prime}\right\}$ 是 $F_0^{\prime}$ 的基，并

且 $k_i \mid k_{i+1}(i=2, \cdots, s-1)$ 。于是，$\left\{x_1, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right\}$ 是 $F$ 的基，$\left\{k_1 x_1\right.$ ， $\left.k_2 x_2^{\prime}, \cdots, k_s x_s^{\prime}\right\}$ 是 $F_0$ 的基。剩下只用证 $k_1 \mid k_2 . F_0$ 中元素 $k_1 x_1+k_2 x_2^{\prime}$的高度 $=\left(k_1, k_2\right) \leqslant k_1$ ，按约定它不比 $k_1$ 小，从而 $\left(k_1, k_2\right)=k_1$ ， $k_1 \mid k_2$ 。

定理 A． 4 （有限生成交换群基本定理）有限生成交换群 $H$可分解为

$$
\begin{gathered}
H \cong F_1 \oplus Z_{k_1} \oplus \cdots \oplus Z_{k_s}, \quad k_i \text { 为自然数, } k_{i+1} \mid k_i \\
(i=1, \cdots, s-1),
\end{gathered}
$$

其中 $F_1$ 是秩为 $\operatorname{rank} H$ 的自由交换群；$k_1, k_2, \cdots, k_s$ 由 $H$ 确定，称为 $H$ 的挠系数。

证明 根据命题 A．1，存在有限基自由交换群 $F$ 和满同态 $j: F \rightarrow H$ ，记 $F_0=\operatorname{Ker} j$ 。根据定理 A． 3 ，存在 $F$ 的基 $\left\{x_1, x_2, \cdots\right.$ ， $\left.x_n\right\}$ ，使得 $\left\{k_1 x_1, \cdots, k_s x_s\right\}$ 是 $F_0$ 的基，并且 $k_{i+1} \mid k_i(i=1, \cdots, s-1$ ，注意 $k_i$ 的大小次序的改变），于是 $H \cong F / F_0 \cong F_1 \oplus \boldsymbol{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}_{k_s}$ ，其中 $F_1$ 是自由群，其秩等于 $\operatorname{rank} H$ 。剩下只用证 $k_1, \cdots, k_s$ 的确定性．

设 $H$ 的挠子群为 $T$ ，则 $T \cong \boldsymbol{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}_{k_k}$ ．设 $H$ 还有另一分解式 $H \cong F_1^{\prime} \oplus \boldsymbol{Z}_{k_1^{\prime}} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}_{k_j^{\prime}}, k_{i+1}^{\prime} \mid k_i^{\prime}$ ，则 $T \cong \boldsymbol{Z}_{k_1^{\prime}} \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{Z}_{k_j^{\prime}}$ 。总可假设 $s=s^{\prime}$ ，否则在短的一方后面加上几个 $\boldsymbol{Z}_1=0$ ．下面用反证法证明：$k_i =k_i^{\prime}(i=1, \cdots, s)$ 。否则，有 $r$ ，使得 $k_r \neq k_r^{\prime}$ ，而 $k_i=k_i^{\prime}, i<r$ 时．不妨设 $k_r<k_r^{\prime}$ ．考虑有限群 $k_r T$ 的阶（所含元素个数）。一方面 $k_r T \cong k_r \boldsymbol{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus k_r \boldsymbol{Z}_{k_k}$ ，其阶为

$$
\prod_{i=1}^s \frac{k_i}{\left(k_i, k_r\right)}=\prod_{i=1}^{r-1} \frac{k_i}{\left(k_i, k_r\right)} ;
$$

另一方面 $k_r T \cong k_r Z_{k_1^{\prime}} \oplus \cdots \oplus k_r Z_{k^{\prime}}$ ，阶等于

$$
\prod_{i=1}^s \frac{k_i^{\prime}}{\left(k_i^{\prime}, k_r\right)} \geqslant \prod_{i=1}^{r-1} \frac{k_i}{\left(k_i, k_r\right)} \cdot \frac{k_r^{\prime}}{\left(k_r^{\prime}, k_r\right)} .
$$

因为 $\frac{k_r^{\prime}}{\left(k_r^{\prime}, k_r\right)} \geqslant \frac{k_r^{\prime}}{k_k}>1$ ，所以两个结果不相等，矛盾．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第六章映射度与不动点

下一篇：群的自由乘积，自由群

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)