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附录 A 关于群的补充知识

我们假设读者已具备群的初步知识，包括群，同态，同构，子群，正规子群，商群，元素的阶，交换群（或称 Abel 群）等概念，以及循环群，自由循环群等具体例子。

本附录介绍本书中要用到的关于群的一些知识．主要是有限生成交换群的直和分解定理和秩，以及群的交换化。交换群中的运算称作加法，用＂＋＂表示，单位元记作 0 ，相应地把平凡群称作零群，平凡同态称作零同态，都记作 0 。

1．自由交换群与有限生成交换群
定义 A． 1 交换群 $F$ 称为自由交换群，如果有子集 $A \subset F$ ，使得 $\forall x \in F$ 可唯一表示成 $A$ 中有限个元素的整系数线性组合：

$$
x=\sum_{i=1}^k n_i a_i, \quad a_i \in A, n_i \in \mathbf{Z}
$$

称 $A$ 为 $F$ 的一个基．
如果自由交换群 $F$ 有一个基 $A$ 只包含有限个元素，则称 $F$ 是有限基自由交换群。

设 $A$ 是自由交换群 $F$ 的基，$H$ 是一交换群，则从 $A$ 到 $H$ 的任一对应 $\theta: A \rightarrow H$ 可按下式唯一决定同态 $\varphi: F \rightarrow H$ ，

$$
\varphi\left(\sum_{i=1}^k n_i a_i\right)=\sum_{i=1}^k n_i \theta\left(a_i\right) .
$$

称 $\varphi$ 是 $\theta$ 的线性扩张．
定义 A． 2 如果交换群 $H$ 有一有限子集

$$
A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_r\right\},
$$

使得 $H$ 的每个元素 $x$ 可表成

$$
x=\sum_{i=1}^r n_i a_i
$$

的形式，则称 $H$ 是有限生成交换群，称 $A$ 是它们的一个生成元组。

命题 A． 1 交换群 $H$ 是有限生成的 $\Longleftrightarrow H$ 是一个有限基自由交换群的商群。

证明 ⟵．设 $j: F \rightarrow H$ 是满同态，其中 $F$ 是有限基自由群。设 $\left\{f_1, f_2, \cdots, f_r\right\}$ 是 $F$ 的基，则显然 $\left\{j\left(f_1\right), \cdots, j\left(f_r\right)\right\}$ 是 $H$ 的生成元组。

⟶．取 $H$ 的生成元组 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_r\right\}$ ．构作 $F$ 为

$$
F=\left\{\left(n_1, \cdots, n_r\right) \mid n_i \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

则 $F$ 在向量加法下是有限基自由交换群．规定对应 $j: F \rightarrow H$ 为 $j\left(n_1, \cdots, n_r\right)=\sum_{i=1}^r n_i a_i$ 。则 $j$ 是满同态。

推论 有限生成交换群的商群也是有限生成的．
根据本书的需要，从现在起，我们只讨论有限生成的交换群。
设 $H$ 是有限生成交换群，$h \in H$ 称为有限阶的，如果存在 $r \in N$ ，使得 $r h=0$ 。记 $T_H$ 是 $H$ 的全部有限阶元素构成的集合，则 $T_H$是 $H$ 的子群，称为 $H$ 的挤子群．

设 $H_0$ 是 $H$ 的子群，规定

$$
C\left(H_0\right):=\left\{h \in H \mid \text { 存在 } r \in \boldsymbol{N} \text {, 使得 } r h \in H_0\right\} \text {. }
$$

它是 $H$ 的一个子群。特别地，$C\left(T_H\right)=C(0)=T_H$ ．
命题 A． 2 （1）$H / C\left(H_0\right)$ 无有限阶非 0 元素；
（2）$C\left(H_0\right) / H_0$ 的每个元素都是有限阶的．
证明（1）设 $h \in H$ ，使得它代表的商群元素 $\langle h\rangle \in H / C\left(H_0\right)$ 是有限阶的，则有 $r \in N$ ，使得 $r\langle h\rangle=0$ ，即 $r h \in C\left(H_0\right)$ ．由定义，存在 $r^{\prime} \in N$ ，使得 $r^{\prime}(r h) \in H_0$ ，于是 $h \in C\left(H_0\right),\langle h\rangle=0$ ．
（2）由 $C\left(H_0\right)$ 的定义直接得出．

推论 $H / T_H$ 无有限阶非 0 元素．

引理 设 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ 都是整数，它们的最大公约数 $\left(r_1, r_2\right.$ ， $\left.\cdots, r_n\right)=1$ ．则存在 $A \in G L_n^0(\boldsymbol{Z})$ ，使得

$$
A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

这里 $G L_n^{\circ}(\boldsymbol{Z})$ 是全体以整数为元素、行列式等于 1 的 $n$ 阶方阵的集合。

证明 对 $n$ 作归纳．$n=1$ 显然．
设对 $n-1$ 已证．$\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=1$ ．记 $r=\left(r_{n-1}, r_n\right)$ ．则存在整数 $s$ 和 $t$ ，使得 $s r_{n-1}+t r_n=r$ ．作 $A^{\prime} \in G L_n^0(\boldsymbol{Z})$ 为

![图片](/uploads/2026-01/048c65.jpg)
 
 由于 $\left(r_1, \cdots, r_{n-2}, r\right)=\left(r_1, \cdots, r_{n-1}, r_n\right)=1$ ，根据归纳假设，存在 $B \in G L_{n-1}^0(\boldsymbol{Z})$ ，使得

$$
B\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_{n-2} \\
r
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

令 $A=\left(\begin{array}{llll} & & & 0 \\ & B & & \vdots \\ & & & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) A^{\prime}$ ，则 $A$ 为所求．
定理 A． 1 没有有限阶非 0 元素的有限生成交换群是自由群．

证明 设 $H$ 是有限生成交换群。它没有有限阶非 0 元素．假设 $H$ 的生成元组包含元素个数的最小值为 $n$ ，并且 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$是一个生成元组．用反证法说明 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 自由生成 $H$ ．否则，

有不全为 0 的整数 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ ，使得 $r_1 a_1+r_2 a_2+\cdots+r_n a_n=0$ ．由于 $H$ 没有有限阶非 0 元素，不妨可设最大公约数 $\left(r_1, r_2, \cdots, r_n\right)=$ 1 ．由引理，存在 $A \in G L_n^0(Z)$ ，使得

$$
A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

令 $\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) A^{-1}$ ，则 $\left\{b_i\right\}$ 也是 $H$ 的生成元组，并且

$$
\begin{aligned}
b_1 & =\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right) A\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right) \\
& =\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
\vdots \\
r_n
\end{array}\right)=\sum_{i=1}^n r_i a_i=0
\end{aligned}
$$

于是 $\left\{b_2, \cdots, b_n\right\}$ 也是 $H$ 的生成元组，它只有 $n-1$ 个元素．与假设矛盾．

推论 设 $H_0$ 是有限生成交换群 $H$ 的子群，则 $H / C\left(H_0\right)$ 是自由交换群。特别地，$H / T_H$ 是自由交换群。

2．直和
交换群的直和就是普通群的直积概念。两个交换群 $H_1$ 和 $H_2$的直和是一个交换群，记作 $H_1 \oplus H_2$ ，其集合为

$$
\left\{\left(h_1, h_2\right) \mid h_i \in H_i, i=1,2\right\} .
$$

加法由

$$
\left(h_1, h_2\right)+\left(h_1^{\prime}, h_2^{\prime}\right)=\left(h_1+h_1^{\prime}, h_2+h_2^{\prime}\right)
$$

规定。
任意有限个交换群的直和可类似地规定．
设 $H$ 有一组子群 $H_1, H_2, \cdots, H_n$ ，使得 $\forall h \in H$ 可唯一地表

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