最后更新: 2026-01-15 21:58 查看: 5 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第五章单纯同调群

§4 同伦不变性

4． 1 同调群的同伦不变性
和基本群一样，同调群也有同伦不变性。它包括两个方面：同伦的映射诱导相同的同调群同态；同伦等价的空间有同构的同调群。我们只须对复形证明这两个结论。

定理 7.5 设 $K, L$ 都是复形，如果连续映射 $f \simeq g:|K| \rightarrow |L|$ ，则

$$
f_{* q}=g_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L), \quad \forall q \in Z .
$$

证明 设 $H:|K| \times I \rightarrow|L|$ 是 $f$ 到 $g$ 的同伦，记 $h_t$ 是 $H$ 的 $t$－切片，则 $h_0=f, h_1=g$ 。 $\left\{H^{-1}\left(\mathrm{St}_L b\right) \mid b \in L^0\right\}$ 是 $|K| \times I$ 的一个开覆盖．设 $\delta$ 是它的 Lebesgue 数．取充分大的 $r$ ，使得 $\operatorname{Mesh}\left(K^{(r)}\right)< \frac{\delta}{4}$ 。于是，当 $t, t^{\prime} \in I$ ，使得 $0 \leqslant t^{\prime}-t<\frac{\delta}{2}$ 时，对 $K^{(r)}$ 任一顶点 $a$ ， $\mathrm{St}_{K^{(r)}} a \times\left[t, t^{\prime}\right]$ 包含在某个 $H^{-1}\left(\mathrm{St}_L b\right)$ 中，也即 $h_t\left(\mathrm{St}_{K^{(r)}} a\right)$ 和 $h_{t^{\prime}}\left(\mathrm{St}_{K^{(r)}} a\right)$ 包含在 $L$ 的同一个星形中．于是可构造 $\varphi: K^{(r)} \rightarrow L$ ，它是 $h_t$ 和 $h_t$ 的公共的单纯逼近，从而

$$
\left(h_t\right)_{* q}=\varphi_{* q} \circ \eta_{* q}=\left(h_{t^{\prime}}\right)_{* q}, \quad \forall q \in Z .
$$

由此马上得出

$$
f_{* q}=\left(h_0\right)_{* q}=\left(h_1\right)_{* q}=g_{* q}, \quad \forall q \in Z .
$$

命题7．12 设 $K$ 和 $L$ 是复形，$f:|K| \rightarrow|L|$ 是一个同伦等价，则 $f_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L)$ 是同构，$\forall q \in \boldsymbol{Z}$ ．

证明 设 $g:|L| \rightarrow|K|$ 是 $f$ 的同伦逆，则

$$
\begin{gathered}
g_{* q} \circ f_{* q}=(g \circ f)_{* q}=\text { id }_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(K), \\
f_{* q} \circ g_{* q}=(f \circ g)_{* q}=\text { id }_{* q}: H_q(L) \r

子目录

1. 单纯复合形

2. 多面体与可剖分空间

3. 单纯复合形的同调群

4. 同调群

5. 同调群的简单性质

6. Euler－Poincaré 公式

7. 计算同调群的实例

8. 单纯映射和单纯逼近

9. 重心重分和单纯逼近存在定理

10. 连续映射诱导的同调群同态

11. 同伦不变性

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