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单纯复合形的同调群

## 2 单纯复合形的同调群

本节从单纯复合形的组合结构出发，构造它的同调群。复形的组合结构包括两个要素：它所包含的各维单形的个数和这些单形的连接关系．链群和边缘同态分别反映了这两个要素，它们是建立同调群的关键概念．单形的定向概念有助于更好地刻画单形间的连接关系，它是建立边缘同态的基础．

### 2.1 单形的定向

单形的定向是从向量空间的定向概念引伸来的．向量空间的定向是用基向量组确定的．$n$ 维向量空间的有序的 $n$ 个线性无关向量称为一个基向量组，它确定一个定向．两个基向量组的过渡矩阵的行列式如果是正数，则它们确定同一定向，是负数则确定相反的定向，因此 $n>0$ 时，$n$ 维向量空间有两个定向．

设 $\underline{s}$ 是一个 $n$ 维单形，$n>0$ ．记 $L$ 是与 $\underline{s}$ 所在的超平面平行的 $n$ 维向量空间．如果取定 $s$ 顶点的一个排列 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ ，则由

$$
a_1-a_0, a_2-a_0, \cdots, a_n-a_0
$$

确定 $L$ 的一个基向量组，从而得到 $L$ 的一个定向．这个定向依赖于 $\underline{s}$ 顶点的排列．不难看出，当原排列作一次对换时，则新排列得
到的定向与原定向相反．于是，当两个排列相差偶置换时，它们确定 $L$ 的同一定向，相差奇置换时确定相反的定向。把 $\underline{s}$ 顶点的全部排列（共 $(n+1)$ ！个）分为两大类：相差偶置换的排列属同一类，相差奇置换的排列属不同类。于是，每一类确定 $L$ 的一个定向。基于以上几何背景，我们直接称这两个排列类为 $n$ 维单形 $s$ 的两个定向．称取定了定向的单形为**定向单形**．于是 $s$ 顶点的任一排列 $a_0$ ， $a_1, \cdots, a_n$ 确定 $s$ 的一个定向，把相应的定向单形记作

$$
a_0 a_1 \cdots a_n .
$$

![图片](/uploads/2026-01/48afe7.jpg)
 
 
 图 6－9 表出 1 维和 2 维定向单形的情形．左图是 1 维单形（ $a_0$ ， $\left.a_1\right)$ ，它的两个定向单形为 $a_0 a_1$ 和 $a_1 a_0$ ，分别是两条有向线段。右图是2维单形（ $a_0, a_1, a_2$ ），它的两个定向单形分别是 $a_0 a_1 a_2=a_1 a_2 a_0 =a_2 a_0 a_1$ 和 $a_0 a_2 a_1=a_2 a_1 a_0=a_1 a_0 a_2$ ，两个定向分别是所在平面的逆时针转向和顺时针转向。

以上讨论对 0 维单形不适合，因为 0 维单形只有一个顶点，也就只有一个排列。为了叙述上的统一，也把 0 维单形称为 0 维定向单形。

本书中常用小写英文字母或希腊字母（下面不加横线）命名定向单形，如定向单形 $s$ ，定向单形 $\sigma$ 等。对定向单形也讨论面的关系，也用记号＂$<$＂．事实上对定向单形，面的关系内涵更丰富了，以后将详细论述．

## 2.2 链群

设 $K$ 是一个复形， $0 \leqslant q \leqslant \operatorname{dim} K$ ．设 $K$ 有 $\alpha_q$ 个 $q$ 维单形，并记 $T_q(K)$ 是 $K$ 的所有 $q$ 维定向单形的集合．于是，当 $q>0$ 时，

$$
\# T_q(K)=2 \alpha_q, \quad \# T_0(K)=\alpha_0
$$

这里\＃号表示集合含元素的个数或势．
定义 6.5 定义在 $T_q(K)$ 上的一个整值函数，如果在相反定向单形上取值为相反数，则称为 $K$ 上的一个 $\boldsymbol{q}$ 维链．$K$ 的所有 $q$维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$ 维链群，记作 $C_q(K)$ 。

设 $s$ 为 $K$ 的一个 $q$ 维定向单形，则 $s$ 决定 $K$ 上的一个 $q$ 维链如下：它在 $s$ 上取值为 1 ，在 $s$ 的相反定向单形上取值为 -1 ，其他定向单形上取值 0 。这个链仍记作 $s$ 。于是若 $s^{\prime}$ 是 $s$ 的相反定向单形，则看作链，$s^{\prime}=-s$ ．以后我们经常把定向单形 $s$ 的相反定向单形记作 $-s$ 。
$q=0$ 时，$K$ 的每个顶点决定一个定向单形，因此按定义， $C_0(K)$ 是由 $K$ 的顶点（看作 0 维链）集合生成的自由交换群，秩为 $\alpha_0$ ．

在 $q>0$ 时，对 $K$ 的每个 $q$ 维单形取定一个定向，得 $\alpha_q$ 个 $q$ 维定向单形，记作 $s_1, s_2, \cdots, s_{a_q}$ 。从定义容易看出，两个 $q$ 维链 $c$ 和 $c^{\prime}$相同 $\Longleftrightarrow c\left(s_i\right)=c^{\prime}\left(s_i\right), i=1, \cdots, \alpha_q$ ．并且如果记 $n_i=c\left(s_i\right)$ ，则 $c= \sum_{i=1}^{\alpha_q} n_i s_i$（这里 $s_i$ 看作链）。于是，$\forall c \in C_q(K)$ 有唯一的方式写成链 $s_1, s_2, \cdots, s_{\alpha_q}$ 的线性组合，也就是说 $s_1, s_2, \cdots, s_{\alpha_q}$ 自由生成 $C_q(K)$ ， $C_q(K)$ 是秩为 $\alpha_q$ 的自由交换群．习惯上，常把链看作定向单形的线性组合，当 $c=\sum_{i=1}^{\alpha_q} n_i s_i$ 时，把 $n_i$ 称为链 $c$ 的系数。

为了叙述上的方便，我们扩大链群的定义范围，规定当 $q<0$或 $q>\operatorname{dim} K$ 时，$C_q(K)=0$ ．

## 2.3 边缘同态

复形中单形的连接关系就是＂面＂的关系，而相邻维数的单形间的＂面＂关系又是关键．有了单形定向的概念，就能更好地来刻画这种关系。

设 $s$ 是 $q$ 维定向单形，$t$ 是 $q-1$ 维定向单形，并且是 $s$ 的面．设 $a$ 是 $s$ 比 $t$ 多的那个顶点．取 $t$ 的顶点的一个代表其定向的排列 $a_0 a_1 \cdots a_{q-1}$ ，则定向单形 $a a_0 \cdots a_{q-1}$ 与该排列的选择无关，记 $a t= a a_0 \cdots a_{q-1}$ ．如果 $s=a t$ ，就称 $t$ 是 $s$ 的顺向面，如果 $s=-a t$ ，就称 $t$是 $s$ 的逆向面．

例如，$a_1$ 是 $a_0 a_1$ 的顺向面，而 $a_0$ 是 $a_0 a_1$ 的逆向面；对于2维定向单形 $a_0 a_1 a_2$ 来说，$a_1 a_2, a_0 a_1$ 和 $a_2 a_0$ 是它的顺向面，$a_2 a_1, a_1 a_0$和 $a_0 a_2$ 是逆向面．

对于任给 $s \in T_q(K), t \in T_{q-1}(K)$ ，规定 $s$ 与 $t$ 的关联系数 $[s ; t]$ 为

$$
[s ; t]:= \begin{cases}0, & t \text { 不是 } s \text { 的面 } ; \\ 1, & t \text { 是 } s \text { 的顺向面 } ; \\ -1, & t \text { 是 } s \text { 的逆向面. }\end{cases}
$$
显然，$[-s ; t]=-[s ; t]=[s ;-t]$ ．
例如设 $s=a_0 a_1 \cdots a_q, t=a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\left(\hat{a}_i\right.$ 表示去掉 $\left.a_i\right)$ ，则 $s= (-1)^i a_i t$ ，因此 $[s ; t]=(-1)^i\left[a_i t ; t\right]=(-1)^i,(-1)^i a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q$ 是 $s$ 的顺向面．

关联系数是建立边缘同态的基础，下面的引理是建立边缘同态以及别的许多链群间的同态的工具，它完全是代数的，证明留作习题。

引理 设 $G$ 是交换群，$\varphi_0: T_q(K) \rightarrow G$ 是一个对应，使得 $\varphi_0(-s)=-\varphi_0(s), \forall s \in T_q(K)$ ，则 $\varphi_0$ 能唯一地扩张为同态 $\varphi: C_q(K) \rightarrow G$ ．

设 $0<q \leqslant \operatorname{dim} K, s \in T_q(K)$ ．规定 $\partial_q s: T_{q-1} \rightarrow Z$ 为

$$
\partial_q s(t)=[s ; t], \quad \forall t \in T_{q-1}(K) .
$$

于 是 $\partial_q s(-t)=[s ;-t]=-[s ; t]=-\partial_q s(t)$ ，按定义，$\partial_q s$ 是 $K$ 上的 $q-1$ 维链，即 $\partial_q s \in C_{q-1}(K)$ ，称为 $s$ 的边缘链。

不难看出，$\partial_q s$ 就是 $s$ 的顺向面（作为链）之和：

$$
\partial_q s=\sum_{[s, t]=1} t,
$$

如果 $s=a_0 a_1 \cdots a_q$ ，则

$$
\partial_q s=\sum_{i=0}^n(-1)^i a_0 a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q .
$$

图 6－10 是 1 维单形和 2 维单形的边缘链。 $\partial_1 a_0 a_1=a_1-a_0$ ，即

![图片](/uploads/2026-01/a25f51.jpg)
 
 1 维定向单形的边缘链是它的终点减起点；$\partial_2 a_0 a_1 a_2=a_1 a_2-a_0 a_2+ a_0 a_1=a_0 a_1+a_1 a_2+a_2 a_0$ ，这 3 个 1 维定向单形（看作有向线段）可连接成一条有向闭折线，其方向就是 2 维定向单形的转向。

现在已规定了对应 $\partial_q: T_q(K) \rightarrow C_{q-1}(K)$ ，并且它满足引理的条件，即 $\partial_q(-s)=-\partial_q s$（因为 $\partial_q(-s)(t)=[-s ; t]=-[s ; t]= \left.-\partial_q s(t), \forall t \in T_{q-1}(K)\right)$ 。于是它可以唯一地扩张为 $C_q(K)$ 到 $C_{q-1}(K)$ 的同态，仍记作 $\partial_q$ ，称为 $C_q(K)$ 到 $C_{q-1}(K)$ 的边缘同态。

取定 $K$ 的 $\alpha_q$ 个定向单形 $s_1, \cdots, s_{\alpha_q}$ ，它们构成 $C_q(K)$ 的基。设链 $c=\sum_{i=1}^{\alpha_q} n_i s_i$ ，则因为 $\partial_q$ 是同态，所以有

$$
\partial_q c=\sum_{i=1}^{\alpha_q} n_i \partial s_i .
$$

当 $q \leqslant 0$ 或 $q>\operatorname{dim} K$ 时，规定 $\partial_q$ 是零同态．
定理6．1 $\forall q \in \boldsymbol{Z}, \partial_{q-1} \circ \partial_q=0$ ．
证明 只须对 $1<q \leqslant \operatorname{dim} K$ 的情形证明，并且只用验证 $\forall s \in T_q(K), \partial_{q-1} \circ \partial_q s=0$ ．

记 $s=a_0 a_1 \cdots a_q$ ，则

$$
\begin{aligned}
\partial_{q-1} \circ \partial_q s= & \partial_{q-1}\left(\sum_{i=0}^q(-1)^i a_0 a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right) \\
= & \sum_{i=1}^q(-1)^i \partial_{q-1}\left(a_0 a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right) \\
= & \sum_{i=1}^q(-1)^i\left(\sum_{j=1}^{i-1}(-1)^j a_0 \cdots \hat{a}_j \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right. \\
& \left.+\sum_{j=i+1}^q(-1)^{j-1} a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots \hat{a}_j \cdots a_q\right) \\
= & \sum_{0 \leqslant j<i \leqslant q}(-1)^{i+j} a_0 \cdots \hat{a}_j \cdots \hat{a}_i \cdots a_q \\
& -\sum_{0 \leqslant i<j \leqslant q}(-1)^{i+j} a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots \hat{a}_j \cdots a_q \\
= & 0 . \quad \mathbf{l}
\end{aligned}
$$

图 6－11 的复形 $K$ 中，设 2 维链
$c=a_0 a_1 a_4+a_1 a_3 a_4+a_1 a_2 a_3 . a_1 a_4$ 是 $a_0 a_1 a_4$ 的顺向面，是 $a_1 a_3 a_4$ 的逆向面，因此它在 $\partial_2 c$ 中不出现（即 $\partial_2 c\left(a_1 a_4\right)=0$ ）．同理 $\partial_2 c$ 中也没有 $a_1 a_3$ ．可算得 $\partial_2 c=a_0 a_1+a_1 a_2+a_2 a_3+ a_3 a_4+a_4 a_0$ ，直观上看是围这 3 个三角形的有向闭折线，方向由三角形的转向决定，$\partial_1\left(\partial_2 c\right)=0$ 。

![图片](/uploads/2026-01/09808d.jpg)

## 理解：单形的定向
我们先从最直观的想法开始：**定向，就是给一个单形（点、线段、三角形、四面体……）指定一个“朝向”或者“正反”的顺序**。在拓扑中，定向不是为了好看，而是为了做**有符号的计数**——尤其在计算边界、同调时，方向反了就会正负抵消。

下面按维度逐步解释“定向”是什么。

### 1. 低维例子：定向就是“顺序”

- **1维单形（一条线段）**  
  它有两个端点（A, B）。定向就是选一个方向：  
  - 从 A 到 B：记为$[A, B]$  
  - 从 B 到 A：记为$[B, A]$  
  规定$[A, B] = -[B, A]$（相反方向互为正负）。

- **2维单形（一个三角形）**  
  有三个顶点（A, B, C）。  
  定向就是给顶点**排一个环向顺序**（顺时针或逆时针）：  
  - 逆时针顺序：\([A, B, C]$  
  - 顺时针顺序：\([A, C, B]$（通常是相反的定向）  
  同一个三角形只有两种可能的定向。

判断方法：从三角形正面看，顶点是逆时针还是顺时针。

- **3维单形（一个四面体）**  
  四个顶点（A, B, C, D）。  
  定向是给它们一个**有序列表**（例如$[A,B,C,D]$）。  
  两种定向：右手系 vs 左手系（类比三维空间的螺旋方向）。

---

### 2. 一句话核心：定向就是“顶点的有序排列”，但只关心奇偶性

对于 n 维单形（n+1 个顶点）：
- 任意给顶点排一个顺序$(v_0, v_1, ..., v_n)$ 就是一个**定向**。
- 交换其中两个顶点 → 方向翻转（正变负，负变正）。
- **两种定向**：偶排列 / 奇排列。

> 所有偶排列属于同一种定向，所有奇排列属于另一种。

---

### 3. 为什么要有定向？为了边界运算时“自动抵消”

你有一个三角形$[A,B,C]$（逆时针）。它的**边界**怎么算？

在代数拓扑中：

$$
\partial [A,B,C] = [B,C] - [A,C] + [A,B]
$$

这里的正负号来自**定向的继承规则**：
- 去掉顶点$v_0$ → 带上正号
- 去掉顶点$v_1$ → 带上负号
- 去掉顶点$v_2$ → 带上正号

**效果**：  
一个完整的、无自交的封闭三角形的边界，按这种方式算出来，相邻边会正负抵消，最终得到 0。  
这就符合几何事实：**边界没有边界**。

如果没有定向（没有符号），边界就不是 0，代数就会乱掉。

---

### 4. 更生活化的类比

- **一条路**：定向就是起点和终点对调。  
  从家到公司 (+1)，从公司到家 (-1)。

- **一个路标环岛**：逆时针、顺时针，不能混在一起算交通流量。

- **给骰子记排列**：  
  (1,2,3) 与 (1,3,2) 是相反的定向。

---

### 5. 常见的小陷阱澄清

- **0维单形（一个点）**：没有定向（或只能定义 +1 / -1 作为符号，无关紧要）。
- **定向 ≠ 方向向量**：方向向量有具体角度，定向只是两种等价类。
- **定向不是必须在几何上可画出来**：高维单纯形只需知道排列的奇偶性，不用想象“朝里朝外”。

---

### 总结成一句话（回忆用）

> **单形的定向，就是给它顶点的一个有序排列，并规定交换两个顶点会翻转方向。**  
> 它的作用是对“边界”运算提供正负号，让拓扑的代数计算自动符合几何直觉（例如封闭图形无边界）。

## 理解：链群

我们先从一个直观的问题开始：

> 如果我想用代数来“测量”一个由许多单形组成的形状（比如一个三角剖分的球面），第一步该做什么？

答案就是：**把所有单形（点、边、三角形、四面体...）变成代数对象，并且允许它们相加、相减。**  
这个“能够进行加减运算的单形集合”就叫**链群**。

---

### 1. 最简单的比喻：把单形当成“砖块”

想象你有一些不同颜色的砖块：  
- 红砖（一个三角形）  
- 蓝砖（一条边）  
- 绿砖（一个点）

链群 = 允许你写这样的表达式：

$$
3 \cdot \text{红砖} + 2 \cdot \text{蓝砖} - 1 \cdot \text{绿砖}
$$

- **系数是整数**（正表示存在，负表示“方向相反”或“反向计数”）。
- **可以加减**。
- 不同维度的砖块**不能混合**在一个群中（因为面与边是不同维的），所以实际上我们会按维度分开做：

$$
C_0 = \text{点链群},\quad C_1 = \text{边链群},\quad C_2 = \text{三角形链群}, \dots
$$

**链群** $ C_n $ = 所有 n 维单形的整数系数线性组合。

---

### 2. 为什么需要链群？

方便做**代数运算**，然后定义**边界映射**。

- 没有链群时：一个三角形只是一个几何对象。  
- 有链群后：我们可以写 $\partial(\triangle) =$ 边1 $+$ 边2 $+$ 边3 并规定方向规则（通过定向）。

你可以：
- 把两个三角形的和拿去取边界  
- 检查某个“边集合”是不是某个面的边界  
- 计算“循环”（边界为0的东西）  
- 用商群找出“洞”

这些都是**同调群**的铺垫。

---

### 3. 直观例子：一个三角形的链群

假设三角形有顶点 A, B, C。

- 0 维链群 $C_0$：形式组合 $ aA + bB + cC $（a,b,c∈ℤ）  
  例子：$2A - 1B + 0C$ 表示 A 出现两次，B 出现一次（但带负号含义是“反向”）。

- 1 维链群 $C_1$：形式组合 $ p\cdot AB + q\cdot BC + r\cdot CA $  
  注意：$AB = -BA$（由边的定向定义）。

- 2 维链群 $C_2$：形式组合 $ k \cdot ABC $（正负号由三角形定向决定）。

每个群都是**自由阿贝尔群**：由基本单形生成的整数格。

---

### 4. 链群与“带符号的多重集”

你可以把 n 维链群想象成：
> 把每个 n 维单形当作一个“基向量”，允许整数倍和加法。

这样的好处是：
- 代数化（便于计算）  
- 可以定义边界映射 $\partial_n: C_n \to C_{n-1}$ 是**线性**的  
- 可以研究 $\ker \partial_n$（循环）与 $\operatorname{im} \partial_{n+1}$（边界）

---

### 5. 和“群”这个词的关系

“链群”之所以叫“群”，是因为：
- 加法封闭  
- 有零元（全0的组合）  
- 每个元素有负元（系数取负）

它是**自由阿贝尔群**——没有环结构，只有加法。

这和“对称群”“置换群”不一样，那不是链群。

---

### 6. 一句话总结（记住这个）

> **链群 = 把同一维度的所有单形当作基本构件，允许它们做整数倍组合、加法、减法，形成一个代数系统，用来表达“由这些单形构成的某种整体”。**

---

### 7. 后续自然延伸（如果你继续学）

- 边界映射 $\partial$ 把链群连成链复形：  
  $$
  \dots \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \to \dots
  $$
- 同调群 = $ \ker \partial_n \;/\; \operatorname{im} \partial_{n+1} $  
  → 用来数“不是边界的循环” → 即**洞**。
 
 
 我们一步步把“边缘同态”（通常记作 $\partial_n: C_n \to C_{n-1}$）拆解成最直观的理解。

你已经有链群和单形定向的知识，这非常关键。

---

### 1. 最直观的一句话

> **边缘同态是一个“数学机器”：它输入一个 n 维单形（比如三角形），输出这个单形的边界（比如三条边），并按定向规则自动带上正负号，并且这个规则是线性的（可以扩展到整个链群）。**

---

### 2. 从几何到代数：低维例子

### 例1（1维单形 → 0维单形）
- 单形：边 $AB$（定向：从 A 到 B）
- 几何边界：A 点和 B 点
- 需要区分“终点”和“起点” → 用 + 和 - 表示

$$
\partial_1 [A,B] = B - A
$$

为什么？  
定向 AB → 终点 B 正，起点 A 负。  
如果反过来 $[B,A]$：  
$$
\partial_1 [B,A] = A - B = - (B - A)
$$
与定向相反时边界翻转 → 符合预期。

---

### 例2（2维单形 → 1维单形）
三角形 $[A,B,C]$（定向：逆时针 A→B→C）

几何边界：边 $AB, BC, CA$

代数公式（由顶点顺序给出）：
$$
\partial_2 [A,B,C] = [B,C] - [A,C] + [A,B]
$$

检查方向：
- 去掉顶点 A → $[B,C]$，方向沿 B→C（与原三角形AB→BC方向一致？需要验证全局方向规则）
但更可靠的办法：按标准公式  
$$
\partial [v_0, v_1, v_2] = [v_1, v_2] - [v_0, v_2] + [v_0, v_1]
$$
其中每个顶点去掉后，保持剩余顶点的顺序并乘以 $(-1)^i$（$i$ 是被去掉顶点的位置）。

---

### 3. 为什么叫“同态”？

因为它是**线性映射**（群同态）：

- 对链群元素保持加法：
$$
\partial (c_1 + c_2) = \partial c_1 + \partial c_2
$$
- 对整数倍：
$$
\partial (k \cdot c) = k \cdot \partial c
$$

这样，你一旦定义好每个单形（基元素）的边界，就可以通过线性扩展到整条链（比如 3 个三角形 + 2 条边 等）。

---

### 4. 一个非常重要的性质（用于后续同调）

$$
\partial_{n-1} \circ \partial_n = 0
$$

翻译成直观：
> **“边界的边界 = 0”**

- 几何例子：三角形的边界是三条边。
- 那三条边的边界呢？  
  每条边的边界是它的两个端点，每个端点恰好属于两条边，一正一负，抵消为 0。

这个性质是**链复形**的核心，也是为什么我们能定义同调群 $ H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im} \partial_{n+1} $ 的原因。

---

### 5. 更形象的比喻：检查“是否封口”

把链群元素想象成“由一堆已定向的单形组成的集合”。  
边缘同态就像：

> 给每个单形套上一个 **“边界检查器”**：它会把高维形状“降维”成全由低一维单形构成的组合，然后告诉你这些低维单形是否刚好拼成封闭的边界。

- 如果一个链的边界 = 0 → 意味着它没有“敞开的边缘” → 是一个**循环**（cycle）。
- 如果一个链恰好是某个更高维物体的边界 → 就是 **边缘/边界链**（boundary）。

---

### 6. 用你已有的知识串一遍

1. **链群** $C_n$：所有 n 维单形的整数线性组合。
2. **定向**：给每个单形一个方向（表现在正负号上）。
3. **边缘同态** $\partial_n$：把每个单形映射到其有向边界的组合，并线性扩展到全群。
4. **关键性质**：$\partial \circ \partial = 0$。
5. **下一步**：用 $\ker\partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$ 计算**同调群**（数洞）。

---

### 7. 一句话最后总结（便于回忆）

> **边缘同态就是把一个“有向单形”按规则拆成其低一维的边界组合，再用线性性质作用到任意链上，并且保证边界再取一次边界会完全抵消为零。**

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