最后更新: 2026-01-14 18:05 查看: 1 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单纯复合形的同调群

§ 2 单纯复合形的同调群

本节从单纯复合形的组合结构出发，构造它的同调群。复形的组合结构包括两个要素：它所包含的各维单形的个数和这些单形的连接关系．链群和边缘同态分别反映了这两个要素，它们是建立同调群的关键概念．单形的定向概念有助于更好地刻画单形间的连接关系，它是建立边缘同态的基础．
2.1 单形的定向

单形的定向是从向量空间的定向概念引伸来的．向量空间的定向是用基向量组确定的．$n$ 维向量空间的有序的 $n$ 个线性无关向量称为一个基向量组，它确定一个定向．两个基向量组的过渡矩阵的行列式如果是正数，则它们确定同一定向，是负数则确定相反的定向，因此 $n>0$ 时，$n$ 维向量空间有两个定向．

设 $\underline{s}$ 是一个 $n$ 维单形，$n>0$ ．记 $L$ 是与 $\underline{s}$ 所在的超平面平行的 $n$ 维向量空间．如果取定 $s$ 顶点的一个排列 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ ，则由

$$
a_1-a_0, a_2-a_0, \cdots, a_n-a_0
$$

确定 $L$ 的一个基向量组，从而得到 $L$ 的一个定向．这个定向依赖于 $\underline{s}$ 顶点的排列．不难看出，当原排列作一次对换时，则新排列得
到的定向与原定向相反．于是，当两个排列相差偶置换时，它们确定 $L$ 的同一定向，相差奇置换时确定相反的定向。把 $\underline{s}$ 顶点的全部排列（共 $(n+1)$ ！个）分为两大类：相差偶置换的排列属同一类，相差奇置换的排列属不同类。于是，每一类确定 $L$ 的一个定向。基于以上几何背景，我们直接称这两个排列类为 $n$ 维单形 $s$ 的两个定向．称取定了定向的单形为定向单形．于是 $s$ 顶点的任一排列 $a_0$ ， $a_1, \cdots, a_n$ 确定 $s$ 的一个定向，把相应的定向单形记作

$$
a_0 a_1 \cdots a_n .
$$

![图片](/uploads/2026-01/48afe7.jpg)
 
 
 图 6－9 表出 1 维和 2 维定向单形的情形．左图是 1 维单形（ $a_0$ ， $\left.a_1\right)$ ，它的两个定向单形为 $a_0 a_1$ 和 $a_1 a_0$ ，分别是两条有向线段。右图是2维单形（ $a_0, a_1, a_2$ ），它的两个定向单形分别是 $a_0 a_1 a_2=a_1 a_2 a_0 =a_2 a_0 a_1$ 和 $a_0 a_2 a_1=a_2 a_1 a_0=a_1 a_0 a_2$ ，两个定向分别是所在平面的逆时针转向和顺时针转向。

以上讨论对 0 维单形不适合，因为 0 维单形只有一个顶点，也就只有一个排列。为了叙述上的统一，也把 0 维单形称为 0 维定向单形。

本书中常用小写英文字母或希腊字母（下面不加横线）命名定向单形，如定向单形 $s$ ，定向单形 $\sigma$ 等。对定向单形也讨论面的关系，也用记号＂$<$＂．事实上对定向单形，面的关系内涵更丰富了，以后将详细论述．

2.2 链群

设 $K$ 是一个复形， $0 \leqslant q \leqslant \operatorname{dim} K$ ．设 $K$ 有 $\alpha_q$ 个 $q$ 维单形，并记 $T_q(K)$ 是 $K$ 的所有 $q$ 维定向单形的集合．于是，当 $q>0$ 时，

$$
\# T_q(K)=2 \alpha_q, \quad \# T_0(K)=\alpha_0
$$

这里\＃号表示集合含元素的个数或势．
定义 6.5 定义在 $T_q(K)$ 上的一个整值函数，如果在相反定向单形上取值为相反数，则称为 $K$ 上的一个 $\boldsymbol{q}$ 维链．$K$ 的所有 $q$维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$ 维链群，记作 $C_q(K)$ 。

设 $s$ 为 $K$ 的一个 $q$ 维定向单形，则 $s$ 决定 $K$ 上的一个 $q$ 维链如下：它在 $s$ 上取值为 1 ，在 $s$ 的相反定向单形上取值为 -1 ，其他定向单形上取值 0 。这个链仍记作 $s$ 。于是若 $s^{\prime}$ 是 $s$ 的相反定向单形，则看作链，$s^{\prime}=-s$ ．以后我们经常把定向单形 $s$ 的相反定向单形记作 $-s$ 。
$q=0$ 时，$K$ 的每

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