最后更新: 2026-05-08 21:00 查看: 34 次纠错评论(0) 课件开VIP

同调群

## 2.4 同调群
设 $K$ 为复形．我们已对每个整数 $q$ 建立了 $q$ 维链群 $C_q(K)$ ，并定义了边缘同态 $\partial_q: C_q(K) \rightarrow C_{q-1}(K)$ 。所有这些链群和边缘同态合在一起，称为 $K$ 的链复形，记作 $C(K)$ ，即

$$
C(K):=\left\{C_q(K) ; \partial_q \mid q \in \mathbf{Z}\right\} .
$$

$C(K)$ 也可看作交换群与同态的一个序列

$$
\begin{aligned}
\cdots 0 & \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n(K) \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_q(K) \xrightarrow{\partial_q} C_{q-1}(K) \longrightarrow \cdots \\
& \longrightarrow C_1(K) \xrightarrow{\partial_1} C_0(K) \xrightarrow{\partial_0} 0 \cdots(n=\operatorname{dim} K) .
\end{aligned}
$$

从链复形 $C(K)$ 出发建立同调群，只是代数问题了．

**定义6.6** 称边缘同态 $\partial_q: C_q(K) \rightarrow C_{q-1}(K)$ 的核为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$**维闭链群**，记作 $Z_q(K)$ ，它的元素称为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$ **维闭链**；称边缘同态 $\partial_{q+1}: C_{q+1}(K) \rightarrow C_q(K)$ 的像为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$ 维边缘链群，记作 $B_q(K)$ ，其元素称为 $K$ 的 $\boldsymbol{q}$ 维边缘链。
$Z_q(K)$ 与 $B_q(K)$ 都是 $C_q(K)$ 的子群，因此都是自由交换群。 $\forall b_q \in B_q(K)$ ，存在 $c_{q+1} \in C_{q+1}(K)$ ，使得 $b_q=\partial_{q+1} c_{q+1}$ ，于是

$$
\partial_q b_q=\partial_q\left(\partial_{q+1} c_{q+1}\right)=\left(\partial_q \circ \partial_{q+1}\right) c_{q+1}=0
$$

（根据定理6．1，$\partial_q \circ \partial_{q+1}$ 是零同态）。因此 $B_q(K)$ 是 $Z_q(K)$ 的子群。

**定义6.7** 设 $K$ 是单纯复合形，称商群 $Z_q(K) / B_q(K)$ 为 $K$的 $\boldsymbol{q}$ 维同调群，记作 $H_q(K)$ 。

如果 $K$ 中两个 $q$ 维链 $c$ 与 $c^{\prime}$ 之差是边缘链，即 $c-c^{\prime} \in B_q(K)$ ，则说 $c$ 与 $c^{\prime}$ 是同调的，记作 $c \sim c^{\prime}$ 。同调关系是 $C_q(K)$ 中的一个等价关系，$C_q(K)$ 在此关系下分成的等价类（也就是商群 $C_q(K) / B_q(K)$ 的元素）称为同调类．链 $c$ 所在的同调类记作 $\langle c\rangle$ 。与闭链同调的链也是闭链，$H_q(K)$ 中的元素也就是闭链的同调类。

同调群是有着深刻的几何内涵的，只是建立同调群的曲折复杂的过程和抽象的代数化的形式掩盖了它的几何背景。下面我们来剖析 1 维同调群的几何意义。

复形 $K$ 的一个 1 维链 $c$ 如果能写成下面的形式：
 $$
c=a_0 a_1+a_1 a_2+\cdots+a_{r-1} a_r+a_r a_{r+1},
$$

其中 $a_1, \cdots, a_r$ 各不相同，且和 $a_0, a_{r+1}$ 不同，就称 $c$ 是一条 1 维简

单链，称 $a_0, a_{r+1}$ 分别是它的起点和终点；如果 $a_0=a_{r+1}$ ，就称为 $\mathbf{1}$维简单闭链（图6－12）。显然， 1 维简单闭链确是闭链，并且任何 1维闭链可分解为若干 1 维简单闭链之和（习题 2）．

![图片](/uploads/2026-01/f447cb.jpg)
 
 一个 1 维复形 $L$ 称为树，如果 $L$ 连通，并且去掉它的任何一个 1 维单形就要破坏连通性．

如果 $L$ 是树，$a, b$ 是 $L$ 的不同顶点，则 $K$ 中有唯一 1 维简单链分别以 $a, b$ 为起、终点（习题7）．$L$ 不存在1维简单闭链，从而 $Z_1(L)=0$ ．

设 $K$ 是连通复形．$K$ 的子复形 $L$ 如果是树，并且 $K^{\circ} \subset L$ ，则称 $L$ 是 $K$ 的一个极大树．图 6－13 中，用黑线勾划的部分就是复形 $K$ 的一个极大树。

如果 $s=b_1 b_2$ 是 $K \backslash L$中的1维定向单形，则 $L$中有从 $b_2$ 到 $b_1$ 的1维简单链，它加上 $s$ 就得到 $K$的一个 1 维简单闭链。对 $K \backslash L$ 中每个 1 维单形

![图片](/uploads/2026-01/9b79b5.jpg)
  
  取好定向，得到 1 维定向单形集合 $\left\{s_1, s_2, \cdots, s_m\right\}$ ，由 $s_i$ 按上述方法决定的1维简单闭链记作 $z_i$ 。

命题6．3 $\left\{z_1, z_2, \cdots, z_m\right\}$ 是 $Z_1(K)$ 的基。
证明 $\forall z \in Z_1(K)$ ，记 $z\left(s_i\right)=n_i$ ．则 $z-\sum_{i=1}^m n_i z_i$ 在每个 $s_i$ 上取值为 0 ，于是 $z-\sum_{i=1}^m n_i z_i \in Z_1(L)$ ，从而 $z-\sum_{i=1}^m n_i z_i=0$ ，即

$$
z=\sum_{i=1}^m n_i z_i,
$$

这说明 $\left\{z_1, z_2, \cdots, z_m\right\}$ 生成 $Z_1(K)$ ．
不难看出，$z_i\left(s_j\right)=\left\{\begin{array}{ll}1, & i=j \\ 0, & i \neq j\end{array}\right.$ ，于是 $\left(\sum_{i=1}^m k_i z_i\right)\left(s_j\right)=k_j$ ，因此当 $\sum_{i=1}^m k_i z_i=0$ 时，$k_i=0(i=1,2, \cdots, m)$ 。于是 $\left\{z_1, \cdots, z_m\right\}$ 是 $Z_1(K)$ 的基．
如果 $K$ 是 1 维连通复形，那么 $H_1(K)=Z_1(K)$ ，它的秩 $m$ 就是 $|K|$ 上的＂洞＂的个数，因为 $K \backslash L$ 中每个 1 维单形连结树 $L$ 的两顶点，造成一个洞。对于一般连通复形 $K$ ，则 $m$ 是 $\left|K^1\right|$ 的洞数，也就是说，$Z_1(K)$ 的秩就是 $\left|K^1\right|$ 上洞的数目。例如图 6－13 中的复形 $K$ 的 $Z_1(K)$ 秩为 $6,\left|K^1\right|$ 的洞数就是 $6 . K$ 的 2 维单形把其中 3 个洞封闭了，即 $|K|$ 只有 3 个洞，这情形正好由将 $Z_1(K)$ 对 $B_1(K)$ 作商群所反映：$z_3, z_4$ 以及 $z_1-z_2$ 都是边缘链，因此 $H_1(K)$ 的秩为 3 。一般来说，任何复形 $K$ 的 1 维同调群的秩就是 $|K|$ 上的洞数，但情况可能会很复杂。洞的含义也须推广。

笼统地讲，高维同调群反映了＂高维洞＂的情况．

## 理解：同调群
想象你有一个用橡皮泥捏的甜甜圈（拓扑学里叫环面）。你想用一种数学方式来描述它上面有几个“洞”。

**同调群**就是干这个的——它是一种代数工具，用来数清楚一个形状里不同维度的“洞”有多少个。

分三步来理解：

1. **零维的洞**（连通的部分）  
   同调群会先数这个形状有多少个“独立的部件”。比如一个甜甜圈是一整块，所以零维洞的数量就是1。如果两个分开的球，零维洞就是2。

2. **一维的洞**（像圆环一样的圈）  
   在甜甜圈表面，你能找到两种绕不过去的圈：一种是绕着中心的“大圈”（穿过中间的孔），一种是绕着管身的“小圈”（沿着甜甜圈的环）。这两个圈不能通过连续变形互相变成对方，所以一维同调群会告诉你：这里有两个本质不同的环状洞。

3. **二维的洞**（像球体内部那样的空腔）  
   比如一个空心的篮球（球面），它包围了一个二维的空洞。甜甜圈表面没有这样的封闭空腔（它里面是实的），所以二维洞为零。

**关键想法**：同调群把“洞”转化成一种代数计算。你先把形状切成许多小三角形（或更一般的方块），然后看哪些边界能恰好拼成一个闭环，但又不能收缩成一个点。这些“闭环”就对应了洞。同调群就是这些闭环的集合，给它们配上加法（比如两个圈可以合并成一个圈），形成一个群结构。

**为什么有用**：
- 两个形状如果能互相连续变形（拓扑等价），它们的同调群就一样。所以同调群是一种**不变量**，用来区分不同的形状，比如球和甜甜圈一定不同（因为同调群不同）。
- 它还能区分不同维度的洞：球面有二维洞无1维洞，环面有1维洞无2维洞，而实心球没有洞（所有维度的同调群都是0除了零维）。

简单总结：**同调群 = 用代数方法数清楚一个几何形状里各个维度有多少个“洞”**。就像给形状做一次 CT 扫描，把不同尺寸的孔洞列成一张清单。

## Van-Kampen 定理
我们接着刚才同调群的话题继续说。你问的 **Van-Kampen 定理**（范坎彭定理）是拓扑学中另一个重要的工具，它的作用与同调群互补：

- **同调群**：通过“数洞”来区分形状，计算相对容易，但丢失了一些精细的扭结信息。
- **Van-Kampen 定理**：专门用来计算**基本群**（一种比同调群更精细、但计算更困难的工具）。

可以把基本群理解为“一维环状洞的**有向、有顺序**版本”，它能区分比如“绕洞两圈”和“反方向绕一圈”这类差别——而同调群会把它们当成同一个。

## Van-Kampen 定理的直观想法

> **当一个空间可以分成两个（或几个）能互相重叠的部分时，整个空间的基本群可以由各个部分的基本群以及重叠部分的基本群拼合而成。**

就像拼图：如果你知道每一块拼图独立的基本群，并且知道它们重叠处的基本群如何对应，Van-Kampen 定理就告诉你整个拼图的基本群是什么。

## 生活类比：两种语言的对话

想象你有一个国家，分成两个地区 A 和 B，中间有一块交界区域 C（A∩B）。
- 每个地区有自己的“环路语言”（基本群），用不同的生成元和关系表示。
- 交界 C 里的环路同时在 A 和 B 中都能被表示，这就会迫使两边语言中的某些词等价。

Van-Kampen 定理教你如何把这两种“语言”合并成国家整体的“语言”，同时施加交界处带来的等价关系。最终得到的就是整个空间的基本群。

## 一个经典例子：两个圆周粘于一点

取两个圆（比如圆A和圆B），把它们在某一个公共点粘起来，形状像个“8”字。

- 空间 X = 圆A ∪ 圆B，交于一点 p。
- 把 X 分成：
  - U = 圆A 再向外稍微扩大一点（包含整个圆A和附近一点点的B部分）
  - V = 圆B 类似地扩大
  - U∩V = 一个可以缩成一点的小十字形区域（基本群是平凡的）

计算：
- 圆A 的基本群 ≅ 整数群 ℤ（生成元记作 a）
- 圆B 的基本群 ≅ ℤ（生成元记作 b）
- 重叠区域的基本群平凡，所以不产生额外的约束

Van-Kampen 定理告诉你：整个“8”字的基本群是 **自由群** 由两个生成元 a, b 生成，写作 ℤ * ℤ（自由积）。这意味着你可以任意组合 a 和 b 以及它们的逆，比如 a b a⁻¹ b，没有任何交换律——因为绕两个圆的不同顺序得到的环不一定等价。

## 与同调群的关系

- 同调群 **H₁** 把基本群“阿贝尔化”（强迫 ab = ba），对于“8”字，H₁ ≅ ℤ⊕ℤ（两个独立的整数环）。
- 用 Van-Kampen 得到的基本群更精细（非交换），可以区分 a b 和 b a，而同调群认为它们一样。

从这个意义上说：**Van-Kampen 定理是计算基本群的“拼积木”法则**，而基本群再通过阿贝尔化就回到了（一维）同调群。

## 一句话总结

> Van-Kampen 定理说：如果空间能分成两个连通且交连通的开集，那么整个空间的基本群就是各自基本群的自由积，再模掉交界处两个嵌入映射带来的关系。

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