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同调群的简单性质

本节从同调群的定义出发，讨论它的一些简单性质；并讨论 0维同调群的几何意义， 1 维同调群与基本群的关系；我们还将建立著名的 Euler－Poincaré 公式。

## 3.1 同调群的简单性质
复形 $K$ 的 $q$ 维闭链群 $Z_q(K)$ 由同态 $\partial_q: C_q(K) \rightarrow C_{q-1}(K)$ 决定，$q$ 维边缘链群由 $\partial_{q+1}: C_{q+1}(K) \rightarrow C_q(K)$ 决定，因此，$H_q(K)$ 只与 $K$ 的链复形中 $C_{q+1}(K) \xrightarrow{\partial_{q+1}} C_q(K) \xrightarrow{\partial_q} C_{q-1}(K)$ 段有关。

**命题6.4** 当 $r>q$ 时，$H_q\left(K^r\right) \cong H_q(K)$ 。
证 明 显 然 $C_{q+1}\left(K^r\right) \xrightarrow{\partial_{q+1}} C_q\left(K^r\right) \xrightarrow{\partial_q} C_{q-1}\left(K^r\right)$ 就 是 $C_{q+1}(K) \xrightarrow{\partial_{q+1}} C_q(K) \xrightarrow{\partial_q} C_{q-1}(K)$ 。由此得到 $H_q\left(K^r\right) \cong H_q(K)$ 。

当 $q<0$ 或 $q>\operatorname{dim} K$ 时，因为 $C_q(K)=0$ ，所以 $Z_q(K)=0$ ， $H_q(K)=0$ ．

当 $q=\operatorname{dim} K$ 时，因为 $C_{q+1}(K)=0$ ，所以 $B_q(K)=0$ ．于是 $H_q(K)=Z_q(K)$ ，它是自由交换群。

当 $q=0$ 时，$Z_0(K)=C_0(K)$ ．

设 $K$ 不连通，$K=K_1 \cup K_2$ ，其中 $K_1$ 和 $K_2$ 是不相交子复形．显然 $C_q(K)=C_q\left(K_1\right) \oplus C_q\left(K_2\right), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ，并且 $\partial_q$ 把 $C_q\left(K_i\right)$ 映到 $C_{q-1}\left(K_i\right)$ 中，$i=1$ ，2．于是 $Z_q(K)=Z_q\left(K_1\right) \oplus Z_q\left(K_2\right)$ 。类似地有 $B_q(K)=B_q\left(K_1\right) \oplus B_q\left(K_2\right)$ ．由此立即得出

$$
H_q(K)=H_q\left(K_1\right) \oplus H_q\left(K_2\right) .
$$

以上结果可推广到 $K$ 分解成多个不相交子复形的并集的情形，手是有

**定理6.2（直和分解定理）** 设复形 $K$ 的连通分支为 $K_1, K_2$ ， $\cdots, K_r$ ，则 $\forall q \in Z$ ，

$$
H_q(K) \cong H_q\left(K_1\right) \oplus \cdots \oplus H_q\left(K_r\right)=\underset{i=1}{\stackrel{1}{\oplus}} H_q\left(K_i\right) .
$$

## 3.2 0维同调群的几何意义

**命题6.5** 复形 $K$ 的 0 维同调群是自由交换群，它的秩等于 $K$ 的连通分支数．

证明 根据直和分解定理，只须证明连通复形的 0 维同调群是自由循环群。

设 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{a_0}\right\}$ 是 $K$ 的全部顶点，则 $Z_0(K)=C_0(K)$ 由 $\left\{a_1\right.$ ， $\left.a_2, \cdots, a_{a_0}\right\}$ 生成。 $\forall a_i, a_j$ ，由于 $K$ 连通，存在 1 维简单链 $c_1$ 分别以 $a_i$和 $a_j$ 为起、终点（ § 2 习题7），于是 $a_j-a_i=\partial c_1, a_j \sim a_i$ 。设 $c \in C_0(K), c=\sum_{i=1}^{\alpha_0} k_i a_i$ ，则 $c \sim\left(\sum_{i=1}^{\alpha_0} k_i\right) a_1$ 。记 $d(c):=\sum_{i=1}^{\alpha_0} k_i$ ，称为 $c$ 的**指数**，则 $\langle c\rangle=d(c)\left\langle a_1\right\rangle$ ．因此 $H_0(K)$ 是由 $\left\langle a_1\right\rangle$ 生成的循环群．下面计算 $\left\langle a_1\right\rangle$ 的阶．

不难看出 $d\left(c+c^{\prime}\right)=d(c)+d\left(c^{\prime}\right), \forall s \in T_1(K), d\left(\partial_1 s\right)=0$.设 $n\left\langle a_1\right\rangle=0$ ，则 $n a_1 \in B_0(K)$ ，因而有 $c_1=\sum l_i s_i \in C_1(K)$ ，使得 $n a_1 =\partial c_1$ ．于是 $n=d\left(\partial c_1\right)=d\left(\sum l_i \partial s_i\right)=\sum l_i d\left(\partial s_i\right)=0$ ．得出 $\left\langle a_1\right\rangle$ 的阶为 0 ，因此它自由生成 $H_0(K), H_0(K)$ 是自由循环群．

## 3.3  1维同调群与基本群的关系
当 $K$ 是连通复形时，$H_1(K)$ 和 $\pi_1(|K|)$ 都反映了 $|K|$ 上＂洞＂的个数，而一般地它们是不相同的，$H_1(K)$ 是交换群，$\pi_1(|K|)$ 可能不是交换群。事实上，这两个群之间有着密切的关系。

**定理6.3** 当复形 $K$ 连通时，$H_1(K)$ 同构于 $\pi_1(|K|)$ 的交换化．

证明 因为 $\pi_1(|K|) \cong \pi_1\left(\left|K^2\right|\right)$（见§1 习题 10 ），$H_1(K) \cong H_1\left(K^2\right)$（命题6．4），所以不妨假定 $K$ 是2维复形。

取定 $K$ 的一个极大树 $L$ 和一个顶点 $a$ 。则 $\forall a_i \in K^0$ ，存在 $L$ 中从 $a$到 $a_i$ 的唯一 1 维简单链 $c_i$ ，它又决定 $|L|$ 中从 $a$到 $a_i$ 的道路 $w_i$（在图 6－14 中，$c_i=a a_j+a_j a_k \left.+a_k a_i\right)$ 。
$\forall s \in T_1(K)$ ，设 $s= a_i a_j$ ．记 $z_s=c_i+a_i a_j-c_j$ ，

![图片](/uploads/2026-01/4252a0.jpg)
 
 $b_s=w_i \overrightarrow{a_i a_j} \overrightarrow{w_j}\left(\overrightarrow{a_i a_j}\right.$ 是从 $a_i$ 到 $a_j$ 的线性道路），则 $z_s$ 是闭链，$b_s$ 是 $a$处的闭路。对 $K \backslash L$ 中每个 1 维单形取定定向，并排列为 $\left\{s_1, s_2, \cdots\right.$ ， $\left.s_m\right\}$ ，它们决定 $m$ 个 1 维闭链 $\left\{z_{s_1}, z_{s_2}, \cdots, z_{s_m}\right\}$ 和 $a$ 处的 $m$ 条闭路 $\left\{b_{s_1}, b_{s_2}, \cdots, b_{s_m}\right\}$ 。类似于命题6．3可以证明：$\left\{z_{s_1}, z_{s_2}, \cdots, z_{s_m}\right\}$ 是 $Z_1(K)$ 的基．

下面归纳地（对 $K$ 中 2维单形的个数作归纳）证明存在同态 $\varphi: \pi_1(|K|, a) \rightarrow H_1(K)$ ，使得
（1）$\varphi\left(\left\langle b_s\right\rangle\right)=\left\langle z_s\right\rangle, \forall s \in T_1(K)$ ；
（2） $\operatorname{Ker} \varphi$ 是 $\pi_1(|K|, a)$ 的换位子群。
若 $K$ 没有 2 维单形，则用 Van－Kampen 定理可以证明，

$\pi_1(|K|, a)$ 由 $\left\{\left\langle b_{s_1}\right\rangle, \cdots,\left\langle b_{s_m}\right\rangle\right\}$ 自由生成，$H_1(K)=Z_1(K)$ 由 $\left\{z_{s_1}\right.$ ， $\left.\cdots, z_{s_m}\right\}$ 自由生成。规定 $\varphi\left(\left\langle b_s\right\rangle\right)=\left\langle z_s\right\rangle, \forall s \in T_1(K)$ ，则 $\varphi$ 决定一个同态 $\varphi: \pi_1(|K|, a) \rightarrow H_1(K)$ 。显然（1）满足，并根据命题 A．12， $\operatorname{Ker} \varphi$ 是 $\pi_1(|K|, a)$ 的换位子群。

假设对于2维单形不多于 $k$ 个的情形上述断言成立。设 $K$ 有 $k+1$ 个 2 维单形。取 $\underline{\sigma}=\left(a_1, a_2, a_3\right) \in K$ ，记 $K_1=K \backslash \underline{\sigma}$ 。则 $L$ 仍是 $K_1$ 的极大树，且 $b_s, z_s$ 等概念都不改变．由归纳假设，存在同态 $\varphi_1: \pi_1\left(\left|K_1\right|, a\right) \rightarrow H_1\left(K_1\right)$ ，满足条件（1）和（2）。

记

$$
\begin{gathered}
s=a_1 a_2, \quad s^{\prime}=a_2 a_3, \quad s^{\prime \prime}=a_3 a_1 ; \\
b=b_s b_{s^{\prime}} b_{s^{\prime \prime}}, \quad z=z_s+z_{s^{\prime}}+z_{s^{\prime \prime}}
\end{gathered}
$$

则 $\varphi_1(\langle b\rangle)=\langle z\rangle$ ，并且 $b \simeq w_1 \alpha \overline{w_1}$ 这里 $\alpha$ 是从 $a_1$ 出发绕 $\sigma$ 一周又回到 $a_1$ 的道路）（图 6－15），

![图片](/uploads/2026-01/5137d3.jpg)
 $$
z=a_1 a_2+a_2 a_3+a_3 a_1=\supset a_1 a_2 a_3 .
$$

根据 Van－Kampen 定理，

$$
\pi_1(|K|, a)=\pi_1\left(\left|K_1\right|, a\right) /[\langle b\rangle],
$$

按照同调群的定义，若记 $\ll z \gg$ 是 $\langle z\rangle$ 生成的 $H_1\left(K_1\right)$ 的子群，则

$$
H_1(K)=H_1\left(K_1\right) / \ll z \gg .
$$

由 $\varphi_1(\langle b\rangle)=\langle z\rangle$ 得到 $\left.\varphi_1([\langle b\rangle])=\ll z\right\rangle>$ 。于是（用命题 A．11），存在同态 $\varphi: \pi_1(|K|, a) \rightarrow H_1(K)$ 使得下面图表可交换：

![图片](/uploads/2026-01/88a6df.jpg)
 
  （上下同态是投射），并且 $\operatorname{Ker} \varphi$ 是 $\pi_1(|K|, a)$ 的换位子群．由图表的交换性及 $\varphi_1$ 满足（1），推得 $\varphi$ 满足（1）。

归纳证明完成，从而完成了命题的证明．

## 0维同调群的几何意义
0维同调群 $ H_0(X)$ 的几何意义是**度量空间 $ X$ 的“连通性”**，具体来说：

1. **生成元与道路连通分支**  
   - $ H_0(X)$ 的每个生成元对应于 $ X$ 的一个**道路连通分支**。  
   - 在同调论中，0维链是点的形式和，边界算子的作用是：$\partial(\text{点}) = 0\)，而两个点之差（如 $ p - q$）的边界为0当且仅当它们属于同一个道路连通分支（即存在一条路径连接它们）。

2. **秩与分支数**  
   - $ H_0(X)$ 的**自由部分**的秩等于 $ X$ 的道路连通分支数。  
   - 当 $ X$ 有 $ k$ 个道路连通分支时，$ H_0(X) \cong \mathbb{Z}^k$（忽略系数群中的挠部分，在一般系数下如整数系数时无挠）。  
   - 特别地，如果 $ X$ 是**道路连通**空间，则 $ H_0(X) \cong \mathbb{Z}$。

3. **直观理解**  
   0维同调群“数”的是空间中互相不连通的“块”——每个块贡献一个 $ \mathbb{Z}$ 因子。它不关心更精细的拓扑（如孔洞），只关心整体是否连通。

4. **例子**  
   - 两个不相交的圆盘：$ H_0 \cong \mathbb{Z}^2$。  
   - 一条线段：$ H_0 \cong \mathbb{Z}$。  
   - 康托尔集：$ H_0 \cong \mathbb{Z}^{\text{不可数}}$（若取无穷多个分支）。

总结：**$ H_0$ 的几何意义就是“连通分支的计数”，其秩就是分支的个数。**

## 1维同调群的几何意义

1维同调群 $ H_1(X)$ 的几何意义是**度量空间 $ X$ 中“一维环状空洞”的代数刻画**，具体反映在以下几个方面：

### 1. 本质：一维闭合环路模掉边界
- $ H_1(X)$ 由一维闭链（环路）模去一维边界（可收缩或填充的环路）构成。
- 几何上，它检测的是**空间中不能被连续收缩为一点**的闭合曲线。

### 2. 与基本群的关系（连通空间）
若 $ X$ 道路连通，则  
$$
H_1(X) \cong \pi_1(X) / [\pi_1(X), \pi_1(X)]
$$
即 $ H_1$ 是基本群的**阿贝尔化**。  
- 基本群 $ \pi_1$ 记录非收缩环路的**结合方式**（未必交换），而 $ H_1$ 忽略次序，只记录这些环路的**独立“环绕”特征**。
- 例：两个圆圈的“8”字形空间，$\pi_1\) 是自由群 $ F_2$（非交换），但 $ H_1 \cong \mathbb{Z}^2$（交换，两个独立循环方向）。

### 3. 直观几何对象
- **圆环面 $ T^2$**：两个独立方向的洞 → $ H_1 \cong \mathbb{Z}^2$。
- **单连通空间（如球面 $ S^2$）**：所有回路可收缩 → $ H_1 \cong 0$。
- **有孔的平面（如圆盘去掉一个小圆洞）**：围绕洞的环路不可收缩 → $ H_1 \cong \mathbb{Z}$。
- **两个洞的曲面（亏格2的曲面）**：4个独立环路 → $ H_1 \cong \mathbb{Z}^4$。

### 4. 挠部分的意义（若系数取整数）
整数系数下，$ H_1(X)$ 可能包含**挠元**，其几何意义较微妙：
- 例：**实射影平面 $ \mathbb{RP}^2$** 中，环绕两圈才可收缩的环路对应 $ \mathbb{Z}_2$ 挠元。  
  此时 $ H_1 \cong \mathbb{Z}_2$（无自由部分，只有挠）。
- 几何上，挠元表示“定向翻转后变成边界”的环路，往往出现在不可定向流形上。

### 5. 与更高维度对比
- $ H_1$ 与 $ H_0$ 不同：$ H_0$ 数“连通块”，$ H_1$ 数“一维洞”。
- 比 $ H_2$（二维空洞）更易在直观图形中想象（例如可以用绳子绕过的阻碍）。

### 总结一句话
**$ H_1(X)$ 的秩（对于紧致可分空间）等于在 $ X$ 中可以互相独立、不可收缩的一维环路的个数，其挠部分则刻画有扭转的不可收缩环路。**

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