最后更新: 2026-05-06 20:17 查看: 20 次纠错评论(0) 课件开VIP

单纯复合形

## 单纯复合形
同调理论是代数拓扑学的最基本的组成部分。在同调论中，拓扑空间对应着一系列交换群，称为它的同调群；连续映射对应着空间的同调群之间的同态。它们有拓扑不变性和同伦不变性，从而深刻地反映了空间的拓扑特征。并且因为我们同时建立各种维数的同调群，所以它们不仅能像基本群那样解决低维几何问题，也能解决高维问题。

有多种同调论系统，单纯同调论是其中最简单、出现最早的一种。它只适用于一类特殊的空间，这种空间是欧氏空间中具有组合结构的紧致子集，能用一些最简单的几何体（所谓＂单纯形＂）有规则地拼接成。单纯同调论正是利用这种组合结构，用组合方法构造同调群的，因此也称作组合拓扑学。

单纯同调论几何直观强，易于计算．尽管它对空间的要求似乎过于苛刻，但许多常用空间都符合其要求，再加上同伦不变性，它仍不失去广泛的应用．它还是学习其他同调论的基础．

单纯同调论内容十分丰富，理论的建立也比基本群困难得多。本书只能介绍它的最基础的部分。本章讲单纯同调群的定义及有关的基本概念；第七章讲连续映射导出的同调群的同态，第八章介绍单纯同调群的一些应用．
我们涉及的群都是交换群（或称 Abel 群），按照代数学的习惯，以后群的运算称作加法，单位元记作 0 ；平凡群称为零群，也记作 0 ；平凡同态称为零同态；两个群的直积称作直和，并用 ⊕ 作运算符号，例如 $\boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{Z}$ 就是 $\boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z}$ ．本书将用到的有关交换群的一些知识（主要是有限生成交换群的直和分解定理）放在附录 A 中。

## 1 单纯复合形

本节介绍单纯同调论所适用的空间．关于欧氏空间，我们作如下约定：当 $n<m$ 时， $\boldsymbol{E}^n$ 将自然看作 $\boldsymbol{E}^m$ 的子空间，它由 $\boldsymbol{E}^m$ 中后面 $m-n$ 个坐标为 0 的那些点所构成。因此低维欧氏空间中的图形也自然是高维欧氏空间中的图形。一般地我们将不指出欧氏空间的维数，读者可认为一切讨论都是在足够高维的欧氏空间中进行的．

### 1.1 单纯形

单纯同调论所适用的空间是用各种维数的单纯形所构造的．低维的单纯形是我们十分熟悉的几何图形： 0 维单纯形是点， 1 维单纯形是直线段， 2 维单纯形是三角形， 3 维单纯形是四面体。高维单纯形则是它们的高维类似物，为了给出它的明确定义，先来分析低维单形的几何特征．

首先，低维单纯形都是各自顶点集的凸包，即包含它的各顶点的最小凸集，从而它们由顶点完全确定．其次，这些低维单纯形的顶点是要满足一定的几何条件的，如三角形的三个顶点不共线，四面体的顶点不共面等．这些条件推广为下面的概念：欧氏空间中的有限点集 $A=\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 称为处于一般位置（或称几何无关），如果对于它们，满足下列两个条件：
（1）$\sum_{i=0}^n \lambda_i=0$ ；
（2）$\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i=0$
的实数组 $\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 一定都为 0 ．
显然当 $A$ 只有一点时，它是处于一般位置的，两个不同点也处于一般位置。从解析几何知道，当 $n=2$ 或 3 时，$A$ 处于一般位置相当于它不共线或不共面．下面的命题给出点组处于一般位置与向量组线性无关这两个概念的联系．

**命题6.1** 设 $n>0$ ，则 $A=\left\{a_0, \cdots, a_n\right\}$ 处于一般位置 $\Longleftrightarrow$ 向量组 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n-a_0\right\}$ 线性无关．

证明 $\Longrightarrow$ ．设实数组 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0$ ．记 $\lambda_0=-\sum_{i=1}^n \lambda_i$ ，则 $\sum_{i=0}^n \lambda_i=0$ ，并且

$$
\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i=\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0,
$$

由 $A$ 处于一般位置得到 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$ ，因此 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n-\right. \left.a_0\right\}$ 线性无关．

$\Leftarrow$ 设实数组 $\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 符合（1）和（2），从（1）得出 $\lambda_0 =-\sum_{i=1}^n \lambda_i$ ，代入（2）得到 $\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0$ ，由于 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n\right. \left.-a_0\right\}$ 线性无关，得到 $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$ ，再从（1）得出 $\lambda_0=0$ ，这说明 $A$处于一般位置。

如果 $a_0$ 用任何别的 $a_i$ 代替，命题仍然成立。

**定义6.1** 欧氏空间中处于一般位置的 $n+1$ 个点 $\left\{a_0, \cdots, a_n\right\} (\boldsymbol{n} \geqslant 0)$ 的凸包称为一个 $\boldsymbol{n}$ 维单纯形，简称 $\boldsymbol{n}$ **维单形**，记作 $\left(a_0, a_1\right.$ ， $\left.\cdots, a_n\right)$ 。称 $a_i$ 为它的**顶点**，$i=0, \cdots, n$ ．

本书中为了简便，常用小写英文字母或希腊字母来命名一个单形，并在下面加一横线，如单形 $\underline{s}$ ，单形 $\underline{\sigma}$ 等． 0 维单形只有一个点，即它唯一的顶点 $a$ ，通常就记作 $a$ ．

不难验证，对于欧氏空间的任一子集 $A, A$ 的凸包为 $\left\{\sum_{a \in A} \lambda_a a \mid \lambda_a \geqslant 0\right.$ ，只有有限个不为 0 ，并且 $\left.\sum_{a \in A} \lambda_a=1\right\}$ ，因此作为点集，

$$
\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)=\left\{\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i \mid \lambda_i \geqslant 0, \sum_{i=0}^n \lambda_i=1\right\},
$$

也就是说，$\forall x \in\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)$ ，存在非负实数组 $\left\{\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n\right\}$ ，使
得 $x=\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i$ ，并且 $\sum_{i=0}^n \lambda_i=1$ ．这样的实数组是被 $x$ 唯一决定的，因为如果 $\left\{\lambda_0^{\prime}, \lambda_1^{\prime}, \cdots, \lambda_n^{\prime}\right\}$ 也适合要求，则有
（1）$\sum_{i=0}^n\left(\lambda_i-\lambda_i^{\prime}\right)=\sum_{i=0}^n \lambda_i-\sum_{i=0}^n \lambda_i^{\prime}=0$ ；
（2）$\sum_{i=0}^n\left(\lambda_i-\lambda_i^{\prime}\right) a_i=\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i-\sum_{i=0}^n \lambda_i^{\prime} a_i=x-x=0$ 。
从而由 $\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 处于一般位置推出 $\lambda_i-\lambda_i^{\prime}=0(i=0,1, \cdots, n)$ ．称 $\left\{\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n\right\}$ 为 $x$ 关于顶点集 $\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 的重心坐标。

把向量组 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n-a_0\right\}$ 所张的 $n$ 维子空间记作 $L$ ，将 $L$作平移向量为 $a_0$ 的平移，得到超平面 $L+a_0{ }^{(1)}$ ．不难得出

$$
L+a_0=\left\{\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i \mid \sum_{i=0}^n \lambda_i=1\right\},
$$

于是 $L+a_0=L+a_i(i=0,1, \cdots, n)$ 。称它为 $\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 所张的超平面．由 $\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 处于一般位置，推出：$L+a_0$ 上的每一点 $x$

决定一数组 $\left\{\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n\right\}$ ，使得 $x =\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i, \sum_{i=0}^n \lambda_i=1$ ，称它为 $x$ 关于 $\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 的重心坐标。于是，$\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)$ 是 $L+a_0$ 上具有非负重心坐标的点所构成的子集．

![图片](/uploads/2026-01/5dc4b9.jpg)

设欧氏空间的点 $e_i=(0, \cdots$ ， $0,1,0, \cdots)$ ，则 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_{n+1}\right\}$ 处于一般位置，称（ $e_1, e_2, \cdots, e_{n+1}$ ）为 $n$ 维自然单形，简单记作 $\underline{\Delta}^n$ ．图 6－1中画出了 $\underline{\Delta}^0, \underline{\Delta}^1$ 和 $\underline{\Delta}^2$ ．自然单形上点的重心坐标就是它原来的直
角坐标．
单形的顶点在几何上区别于单形上的其他点。对于单形 $s$ 上的非顶点 $x$ ，有 $s$上的线段以 $x$ 为中点（图6－2），对于顶点这种线段不存在（习题 4 ）．因此单形的顶点被单形所决定，从而单形上点的重心坐标也是确定的（在不计次序的意义下）。

重心坐标全为正数的点称为单形的内点，其余的点，即至少有一个重心坐标

为 0 的点称为单形的边缘点；单形 $\underline{s}$ 的全部内点的集合记作 $\underline{s}$, 称为 $\underline{s}$ 的内部，全部边缘点的集合记作 $\partial \underline{s}$ ，称为 $\underline{s}$ 的边缘。

维数相同的单形互相同胚，$n$ 维单形同胚于 $D^n$ ，其边缘同胚于 $S^{n-1}$ 。这些都留作习题。

如果单形 $\underline{t}$ 的顶点都是单形 $\underline{s}$ 的顶点，则说 $\underline{t}$ 是 $\underline{s}$ 的面，记作 $\underline{t} <\underline{s}$ ．例如总有 $\underline{s}<\underline{s}, \underline{s}$ 的每个顶点都是 $\underline{s}$ 的面．当 $\underline{t}<\underline{s}$ ，并且 $\underline{t}$ 的维数小于 $\underline{s}$ 的维数时，就说 $\underline{t}$ 是 $\underline{s}$ 的真面．

例如单形 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, a_2\right)$ ，则它的真面有： 0 维面 $a_0, a_1$ 和 $a_2$ ；

![图片](/uploads/2026-01/23ff1b.jpg)
 
 1 维面 $\left(a_0, a_1\right),\left(a_0, a_2\right),\left(a_1, a_2\right)$ 。
当 $\underline{t} \prec \underline{s}$ 时，作为点集，有包含关系 $\underline{t} \subset \underline{s}$ 。如果 $\underline{t}$ 是 $\underline{s}$ 的真面，则 $\underline{t} \subset \partial \underline{s}$ 。反之 $\underline{s}$ 的每个边缘点必在 $\underline{s}$ 的某个真面上，例如若 $x \in\left(a_0\right.$ ， $\left.a_1, \cdots, a_n\right)$ ，它的重心坐标 $\lambda_n=0$ ，则它在真面（ $a_0, \cdots, a_{n-1}$ ）上。于是，单形的边缘就是它的所有真面的并集．

## 1.2 单纯复合形

单形就像建筑中的预制件，可用来拼接成复杂一些的空间．但拼接是要有规则的，主要的规则就是规则相处。

两个单形称为规则相处的，如果它们不相交，或者相交部分是它们的公共面。图 6－3 的（a），（b），（c）是一个 2 维单形与一个 1 维单形规则相处的情形，而 $(d),(e),(f)$ 都不是规则相处的．

![图片](/uploads/2026-01/ccb487.jpg)
 
 
 如果 $\underline{t}_1, \underline{t}_2$ 都是单形 $\underline{s}$ 的面，则 $\underline{t}_1 \cap \underline{t}_2$ 就是它们的公共顶点所张的单形，是 $\underline{t}_1, \underline{t}_2$ 的公共面（或是空集），因此 $\underline{t}_1$ 与 $\underline{t}_2$ 规则相处．

定义 6.2 设 $K$ 是以单形为元素的有限集合。如果 $K$ 满足
（1）$K$ 中任何两个单形规则相处；
（2）如果 $\underline{s} \in K, \underline{t}<\underline{s}$ ，则 $\underline{t} \in K$ ，就称 $K$ 是一个单纯复合形（本书中简称为复形），称 $K$ 中单形维数的最大值为 $K$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} K$ 。

复形 $K$ 中的 0 维单形称为 $K$ 的顶点。
例如，设 $\underline{s}$ 是 $n$ 维单形，记 $\mathrm{Cl} \underline{s}$ 为 $\underline{s}$ 的所有面的集合，则 $\mathrm{Cl}_{\underline{s}}$ 显然是一个单纯复合形，维数为 $n$ ，称为 $s$ 的闭包复形；当 $n>0$ 时，记 $\mathrm{Bd} \underline{s}$ 是 $\underline{s}$ 的所有真面的集合，则它是一个 $n-1$ 维复形，称为 $\underline{s}$ 的边缘复形，它只比 $\mathrm{Cl}_{\underline{s}}$ 少 $\underline{s}$ 这一个单形．

复形 $K$ 的一个子集 $L$ 如果也是复形，就称 $L$ 是 $K$ 的一个子复形．例如 $\mathrm{Bd} s$ 是 $\mathrm{Cl} \underline{s}$ 的子复形．复形 $K$ 的任一子集 $L$ 显然都满足定义6．2中的条件（1），因此它是不是 $K$ 的子复形只须检验条件（2）。

复形 $K$ 中所有维数不超过自然数 $r$ 的单形构成 $K$ 的一个子
复形，称为 $K$ 的 $r$ 维骨架，记作 $K^r$ 。例如 $\mathrm{Bd} \underline{s}$ 是 $\mathrm{Cl} \underline{s}$ 的 $n-1$ 维骨架（ $n$ 是单形 $s$ 的维数）．$K$ 的 0 维骨架 $K^0$ 就是它的顶点集．

复形 $K$ 如果不能分解为两个非空不相交子复形的并，就说 $K$是连通的，否则称 $K$ 不连通。 $K$ 的一个连通子复形 $L$ 称为 $K$ 的一个连通分支，如果 $K \backslash L$ 也是子复形．不难证明 $K$ 的连通分支就是它的极大连通子复形．显然每个复形总可分解为有限个连通分支的并集。

应该注意，复形不是拓扑空间，而是一个有组合结构的集合。因此，这里所说的连通和连通分支与拓扑空间的连通和连通分支是不同的概念．

复形 $K$ 如果有一个顶点 $a$ ，使得 $K$ 中的单形或者本身以 $a$ 为一个顶点，或者是 $K$ 中某个以 $a$ 为一个顶点的单形的面，则称 $K$为一个单纯锥，称 $a$ 为它的锥顶．图 6－4 中的两个复形都是单纯

![图片](/uploads/2026-01/9ef436.jpg)
 
 锥，左边的复形（它由 3 个 2 维单形及它们的面构成）的锥顶是 $a_1$ ；右面的复形（它由 2 个 3 维单形及它们的面构成）的顶点 $a_1, a_2, a_3$都可作为锥顶．任一单形的闭包复形是单纯锥，每个顶点都是锥顶．
 
 ## 理解 单纯同调群
单纯同调群是代数拓扑中一个核心的不变量，它用一种组合和代数的方法来刻画拓扑空间的“洞”的结构。

为了理解它，我们可以从三个层次逐步深入。

### 1. 核心思想：将形状代数化

想象一个三维物体，比如一个实心球和一个空心球壳（球面）。从拓扑角度看，它们显然不同：实心球没有“洞”，而空心球壳中间有一个二维的空腔（一个二维的“洞”）。

单纯同调群的目标，就是用一种**代数结构**（群）来精确量化这种直观的“洞”。具体来说：

-   **0维洞**：对应道路连通分支。有多少个“独立”的部件？
-   **1维洞**：对应一维的环或圈。例如，甜甜圈表面那个穿过的孔。
-   **2维洞**：对应被二维曲面包围的腔体。例如，空心球壳内部的空腔。
-   **更高维**：以此类推。

单纯同调群 $H_k(X)$ 的**秩**（自由部分的维数），就是空间 $X$ 中 $k$ 维“洞”的个数。这个数被称为**贝蒂数** $b_k$。

### 2. 实现流程：从单纯复形到群

拓扑空间通常很复杂。为了用代数处理，我们先将空间**三角剖分**，也就是把它分割成许多简单的小“积木”——**单纯形**。

-   **0维单纯形**：顶点
-   **1维单纯形**：边
-   **2维单纯形**：三角形（实心）
-   **3维单纯形**：四面体
-   ……

由这些单纯形按规则粘起来得到的空间就叫**单纯复形**。

有了这个组合结构，我们来一步步构造同调群。

#### 第一步：链群 $C_k$

把所有 $k$ 维单纯形作为基，用整数系数进行线性组合（如 $3\cdot \triangle_1 - 2\cdot \triangle_2$），得到的结构是一个自由阿贝尔群，叫**k维链群** $C_k$。它的元素叫**k维链**。

#### 第二步：边缘算子 $\partial_k$

这是一个从 $C_k$ 到 $C_{k-1}$ 的映射，作用是求一个链的**边界**，并注意**定向**。

-   **边的边界**：有向边 $ [v_0, v_1] $ 的边界是 $ v_1 - v_0 $（终点减起点，带符号）。
-   **三角形的边界**：有向三角形 $ [v_0, v_1, v_2] $ 的边界是三条边 $ [v_1, v_2] - [v_0, v_2] + [v_0, v_1] $，遵循右手定则。

一个关键性质：**边界没有边界**。即 $\partial_{k-1} \circ \partial_k = 0$。对一个闭圈的边界再求边界，结果为零。

#### 第三步：循环（闭链）与边缘（边缘链）

-   **k维循环**：边界为0的k维链，即 $\partial_k(c) = 0$。它们构成了**循环群** $Z_k = \ker \partial_k$。直观上，这些是“闭合的”结构，比如一个三角形首尾相接的边。
-   **k维边缘**：是某个 (k+1) 维链的边界，即 $c = \partial_{k+1}(d) $。它们构成了**边缘群** $B_k = \text{Im }\partial_{k+1}$。所有边缘自动是循环（因为边界的边界为零），所以 $B_k \subseteq Z_k$。

#### 第四步：同调群 $H_k = Z_k / B_k$

这是整个构造的核心。为什么要求商群？

**“模掉边缘”意味着：我们只关心那些真正的“洞”，忽视那些可收缩的边界。**

-   一个循环如果同时也是边缘，说明它能作为某个更高维物体的边界。这意味着它围起来的区域是“实心”的，所以它**不是**一个真正的洞。例如，球面上的一个纬线圈可以收缩，因为它相当于球冠的边界。在商群中，它等价于0。
-   一个循环如果不是任何东西的边界，意味着它围起来的地方是“空心”的，它标志着存在一个**洞**。例如，甜甜圈表面绕中间孔的圈，它本身是闭合的，但无法成为任何二维面的边界（因为那里有个洞）。它在商群中代表一个**非零的同调类**。

所以，**同调群的每个非零元素，都对应一个本质不同的“洞”**。群的运算（加法）可以合并、翻转这些洞的方向。

### 3. 一个例子：圆圈 $S^1$

把圆圈剖分成三个顶点和三条边（一个三角形边框）。

-   $C_0$：由三个顶点生成，秩3。
-   $C_1$：由三条边生成，秩3。
-   $C_2$：没有三角形内部，所以 $C_2=0$。

**计算：**
-   **1维同调群 $H_1$**：
    -   循环群 $Z_1$：哪些1维链边界是0？比如，三条边首尾相连形成的闭环 $a+b+c$（注意定向）。一个一维链是循环当且仅当每个顶点的净流出边数为0。解这个方程可得 $Z_1$ 是由这个闭环生成的无限循环群（同构于 $\mathbb{Z}$）。其他的循环都是它的倍数。
    -   边缘群 $B_1$：因为 $C_2=0$，所以没有2维链，所有1维链都不是边缘。因此 $B_1 = \{0\}$。
    -   于是 $H_1 = Z_1 / B_1 = \mathbb{Z} / \{0\} \cong \mathbb{Z}$。
        **结论**：$\mathbb{Z}$ 表示有一个一维洞（中间的孔）。整数n可以对应绕这个洞n圈（方向相反为-n）。

-   **0维同调群 $H_0$**：
    -   $Z_0$ 是所有0维链（顶点组合）。边缘群 $B_0$ 是所有顶点差（由边的边界生成）。商掉 $B_0$ 后，所有顶点都等价。所以 $H_0 \cong \mathbb{Z}$，对应一个连通分支。
-   **2维及更高维**：都是0。

所以圆圈的贝蒂数是 $b_0=1, b_1=1$，其他为0。

### 总结

| 概念 | 直观解释 | 代数定义 |
| :--- | :--- | :--- |
| **单纯形** | 基本积木（点、边、面、体） | 顶点的有序组合 |
| **链群 $C_k$** | 所有k维积木的整数组合 | 自由阿贝尔群 |
| **边缘算子 $\partial$** | 求一个结构的边界 | 群同态 $\partial_k: C_k \to C_{k-1}$ |
| **循环 $Z_k$** | 闭合的结构（无边界） | 核 $\ker \partial_k$ |
| **边缘 $B_k$** | 能够填实的边界 | 像 $\text{Im }\partial_{k+1}$ |
| **同调群 $H_k$** | **本质不同的，无法填实的闭合结构的集合** | **商群 $Z_k / B_k$** |

**简单回答你的问题**：**单纯同调群**是一个不依赖于三角剖分选择的拓扑不变量。它是一个群（或模），通过将空间分割为单纯形并计算“闭合结构”模掉“可填充边界”的商群，来系统地编码该空间中各个维度的“洞”的数量和扭结信息。它是区分不同拓扑空间的强有力工具。

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