最后更新: 2026-01-13 19:19 查看: 2 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单纯复合形

同调理论是代数拓扑学的最基本的组成部分。在同调论中，拓扑空间对应着一系列交换群，称为它的同调群；连续映射对应着空间的同调群之间的同态。它们有拓扑不变性和同伦不变性，从而深刻地反映了空间的拓扑特征。并且因为我们同时建立各种维数的同调群，所以它们不仅能像基本群那样解决低维几何问题，也能解决高维问题。

有多种同调论系统，单纯同调论是其中最简单、出现最早的一种。它只适用于一类特殊的空间，这种空间是欧氏空间中具有组合结构的紧致子集，能用一些最简单的几何体（所谓＂单纯形＂）有规则地拼接成。单纯同调论正是利用这种组合结构，用组合方法构造同调群的，因此也称作组合拓扑学。

单纯同调论几何直观强，易于计算．尽管它对空间的要求似乎过于苛刻，但许多常用空间都符合其要求，再加上同伦不变性，它仍不失去广泛的应用．它还是学习其他同调论的基础．

单纯同调论内容十分丰富，理论的建立也比基本群困难得多。本书只能介绍它的最基础的部分。本章讲单纯同调群的定义及有关的基本概念；第七章讲连续映射导出的同调群的同态，第八章介绍单纯同调群的一些应用．
我们涉及的群都是交换群（或称 Abel 群），按照代数学的习惯，以后群的运算称作加法，单位元记作 0 ；平凡群称为零群，也记作 0 ；平凡同态称为零同态；两个群的直积称作直和，并用 ⊕ 作运算符号，例如 $\boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{Z}$ 就是 $\boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z}$ ．本书将用到的有关交换群的一些知识（主要是有限生成交换群的直和分解定理）放在附录 A 中。

§ 1 单纯复合形

本节介绍单纯同调论所适用的空间．关于欧氏空间，我们作如下约定：当 $n<m$ 时， $\boldsymbol{E}^n$ 将自然看作 $\boldsymbol{E}^m$ 的子空间，它由 $\boldsymbol{E}^m$ 中后面 $m-n$ 个坐标为 0 的那些点所构成。因此低维欧氏空间中的图形也自然是高维欧氏空间中的图形。一般地我们将不指出欧氏空间的维数，读者可认为一切讨论都是在足够高维的欧氏空间中进行的．

1.1 单纯形

单纯同调论所适用的空间是用各种维数的单纯形所构造的．低维的单纯形是我们十分熟悉的几何图形： 0 维单纯形是点， 1 维单纯形是直线段， 2 维单纯形是三角形， 3 维单纯形是四面体。高维单纯形则是它们的高维类似物，为了给出它的明确定义，先来分析低维单形的几何特征．

首先，低维单纯形都是各自顶点集的凸包，即包含它的各顶点的最小凸集，从而它们由顶点完全确定．其次，这些低维单纯形的顶点是要满足一定的几何条件的，如三角形的三个顶点不共线，四面体的顶点不共面等．这些条件推广为下面的概念：欧氏空间中的有限点集 $A=\left\{a_0, a_1, \cdots, a_n\right\}$ 称为处于一般位置（或称几何无关），如果对于它们，满足下列两个条件：
（1）$\sum_{i=0}^n \lambda_i=0$ ；
（2）$\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i=0$
的实数组 $\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 一定都为 0 ．
显然当 $A$ 只有一点时，它是处于一般位置的，两个不同点也处于一般位置。从解析几何知道，当 $n=2$ 或 3 时，$A$ 处于一般位置相当于它不共线或不共面．下面的命题给出点组处于一般位置与

向量组线性无关这两个概念的联系．
命题6．1 设 $n>0$ ，则 $A=\left\{a_0, \cdots, a_n\right\}$ 处于一般位置 $\Longleftrightarrow$ 向量组 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n-a_0\right\}$ 线性无关．

证明 $\Longrightarrow$ ．设实数组 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0$ ．记 $\lambda_0=-\sum_{i=1}^n \lambda_i$ ，则 $\sum_{i=0}^n \lambda_i=0$ ，并且

$$
\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i=\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0,
$$

由 $A$ 处于一般位置得到 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$ ，因此 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n-\right. \left.a_0\right\}$ 线性无关．

．．设实数组 $\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 符合（1）和（2），从（1）得出 $\lambda_0 =-\sum_{i=1}^n \lambda_i$ ，代入（2）得到 $\sum_{i=1}^n \lambda_i\left(a_i-a_0\right)=0$ ，由于 $\left\{a_1-a_0, \cdots, a_n\right. \left.-a_0\right\}$ 线性无关，得到 $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$ ，再从（1）得出 $\lambda_0=0$ ，这说明 $A$处于一般位置。

如果 $a_0$ 用任何别的 $a_i$ 代替，命题仍然成立。

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