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重心重分和单纯逼近存在定理

§ 2 重心重分和单纯逼近存在定理

本节继续进行上节的工作，讨论单纯逼近的存在性．为此我们先要引进重心重分的概念．
2.1 重心重分

设 $K, L$ 是复形，$f:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射。上面已说到，$f$ 不一定存在 $K$ 到 $L$ 的单纯逼近，并且不存在的原因是剖分 $K$ 不够细，$L$ 不够粗．一般来说，使剖分变粗不一定做得到，但使剖分变细总是能做到的．重心重分就是加细剖分的一种办法．

设 $K, K^{\prime}$ 都是多面体 $X$ 的剖分，并且 $K^{\prime}$ 的每个单形都包含于 $K$ 的某个单形中，就说 $K^{\prime}$ 是 $K$ 的一个重分．可以证明（习题 1）， $K^{\prime}$ 的每个星形都含于 $K$ 的某个星形中．重心重分是一种特殊的重分．

设 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right)$ 是一个 $q$ 维单形．$\underline{s}$ 中，重心坐标为 $\left(\frac{1}{q+1}, \frac{1}{q+1}, \cdots, \frac{1}{q+1}\right)$ 的点称为 $\underline{s}$ 的重心，记作 $\underline{s}$ ，即

$$
\underline{s}=\sum_{i=0}^q \frac{1}{q+1} a_i .
$$

0维单形 $a$ 的重心就是 $a ; 1$ 维单形（ $a_0, a_1$ ）的重心就是它的中点； 2 维单形（ $a_0, a_1, a_2$ ）的重心就是平常意义下三角形的重心。

我们先从直观上描述重心重分． 0 维单形的重分就是自己。设 $s$是1维单形，它被重心分成两个 1维单形，这两个 1 维单形及三个顶点（ $\underline{s}$ 的两个顶点和重心）一起构成 $\mathrm{Cl} \underline{s}$ 的重心重分。设 $\underline{s}$ 是2维单形，则它被三条中线分割成六个 2 维单形（图 7－3），这六个 2 维单形以及它们的面就构成 $\mathrm{Cl} \underline{s}$ 的重心重分。它的顶点是 $s$ 原有的顶点加上 $\underline{s}$ 的重心和三个 1 维面的重心．

![图片](/uploads/2026-01/b0979c.jpg)
 
 它是一个以为锥顶的单纯锥，相应的锥底是 $\operatorname{Bd} \underline{s}$ 的重心重分（即各1维面重心重分的并集）。

一般复形 $K$ 的重心重分记作 $\mathrm{Sd} K$ ，可归纳地规定如下：若 $K$是 0 维复形，它的重心重分 $\operatorname{Sd} K$ 就是 $K$ ．假设对维数不大于 $n-1$的复形的重心重分已定义，$K$ 是 $n$ 维复形。对 $K$ 的每个 $n$ 维单形 $\underline{s}, \mathrm{Bd} \underline{s}$ 是 $K$ 的 $n-1$ 维子复形，其重心重分 $\mathrm{Sd}(\mathrm{Bd} \underline{s})$ 有意义，作 $\underline{s} \mathrm{Sd} (\operatorname{Bd} \underline{s})$ 是以 $\underline{s}$ 为顶， $\operatorname{Sd}(\operatorname{Bd} \underline{s})$ 为底的单纯锥，则 $K$ 的重心重分 $\operatorname{Sd} K$规定为

$$
\mathrm{Sd} K=\mathrm{Sd} K^{n-1} \bigcup_{\underline{s} \in K \backslash K^{n-1}} \underline{\mathfrak{s}} \operatorname{Sd}(\operatorname{Bd} \underline{s}) .
$$

这种描述方式虽然比较直观，但并不好用，并且定义中有些地方必须加以验证，如为什么可构造单纯锥 $\underline{s} \operatorname{Sd}(\operatorname{Bd} \underline{s})$ ？下面我们给出另

一种定义方式，它不如第一种直观，但用起来很方便，因此我们把它当作正式定义。

定义7．5 复形 $K$ 的重心重分是一个复形，记作 $\mathrm{Sd} K$ ，规定为

$$
\operatorname{Sd} K:=\left\{\left(\underline{s}_0^*, \und

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