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单纯映射和单纯逼近

第六章中建立的同调群只是复形上的一种代数结构，还没有体现出它的拓扑特性．本章要建立拓扑空间（多面体和可剖分空间）的同调群，自然是要利用它们的剖分的同调群来规定．于是我们就面临着同调群的拓扑不变性问题：有相同（或同胚）多面体的复形的同调群是不是同构？这就要把同调群的研究向前发展。我们要对从多面体 $|K|$ 到 $|L|$ 的连续映射 $f$ ，建立从同调群 $H_q(K)$ 到 $H_q(L)$ 的同态 $f_{* q}$ ．这是一项难度较大、技术性很强的工作。我们还要讨论同调群的同伦不变性，它也是计算同调群的一个工具．

## 1 单纯映射和单纯逼近

本节为定义连续映射诱导的同调群同态作准备，介绍单纯映射和单纯逼近这两个重要概念。
1.1 单纯映射
单纯同调群建立的基础是复形的组合结构，然而一般的连续映射并不保持这种组合结构，因此不像基本群那样能用自然的方式建立它所对应的同调群同态．我们先考虑一种与复形的组合结构相适应的映射，即复形间的单纯映射．

**定义7.1** 设 $K$ 和 $L$ 是复形，$K$ 到 $L$ 的一个对应 $\varphi: K \rightarrow L$ （它把 $K$ 的每个单形对应到 $L$ 的一个单形）称为**单纯映射**   ，如果
它满足以下要求：
（1）若 $a$ 是 $K$ 的顶点，则 $\varphi(a)$ 是 $L$ 的顶点；
（2）若 $K$ 中单形 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right)$ ，则 $\varphi(\underline{s})$ 的顶点集是 $\left\{\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)\right\}$（并不要求 $\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)$ 互不相同）。

由定义看出，当 $\varphi$ 是单纯映射时，它还满足：
（3）$\forall \underline{t}<\underline{s} \in K$ ，有 $\varphi(\underline{t})<\varphi(\underline{s})$ ，即 $\varphi$ 保持面的关系；
（4）$\forall \underline{s} \in K, \operatorname{dim} \varphi(\underline{s}) \leqslant \operatorname{dim} \underline{s}$ ．
如果（4）中等式成立，则说 $\varphi$ 在 $s$ 上**非退化**，否则说 $\varphi$ 在 $s$ 上**退化**．显然，当 $\varphi$ 在 $\underline{s}$ 上非退化时，$\varphi$ 在 $\underline{s}$ 的面上也非退化．
（1）说明 $\varphi$ 决定 $K$ 的顶点集 $K^0$ 到 $L$ 的顶点集 $L^0$ 的对应，称为 $\varphi$ 决定的顶点映射。（2）说明 $\varphi$ 由它的顶点映射完全决定。

例如，若记 $i: K^r \rightarrow K$ 是包含映射，则 $i$ 是单纯映射，它在每个 $K^r$ 的单形上不退化，它决定的顶点映射是恒同映射 id ：$K^0 \rightarrow K^0$ 。

设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射，则可规定映射 $\bar{\varphi}:|K| \rightarrow|L|$ 如下： $\forall x \in K$ ，若 $\operatorname{Car}_K x=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right)$ ，且 $x=\sum_{i=0}^q \lambda_i a_i$ ，则令 $\bar{\varphi}(x)=$

$\sum_{i=0}^q \lambda_i \varphi\left(a_i\right)$ ，它是 $\varphi\left(\operatorname{Car}_K x\right)$ 的一点．
命题7．1 $\bar{\varphi}:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射。
证明 $\forall \underline{s} \in K$ ，设 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right) . \forall x \in \underline{s}$ ，设 $x=\sum_{i=0}^q \lambda_i a_i$ ，则从定义不难看出 $\bar{\varphi}(x)=\sum_{i=0}^q \lambda_i \varphi\left(a_i\right)$ 。于是 $\bar{\varphi}|\underline{s}: \underline{s} \rightarrow| L \mid$ 是连续的．$K$ 中单形只有有限个，并且每一个都是 $|K|$ 的闭集，用粘接引理推出 $\bar{\varphi}$ 也是连续的。

单纯映射的性质使它能自然地诱导同调群的同态。
设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射，规定 $\varphi_q: T_q(K) \rightarrow C_q(L)$ 如下：$\forall \sigma=$
$$
\begin{aligned}
& a_0 a_1 \cdots a_q \in T_q(K) \text {, 令 } \\
& \quad \varphi_q(\sigma)= \begin{cases}\varphi\left(a_0\right) \varphi\left(a_1\right) \cdots \varphi\left(a_q\right), & \text { 若 } \varphi \text { 在 } \sigma \text { 上非退化, } \\
0, & \text { 若 } \varphi \text { 在 } \sigma \text { 上退化. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

显然 $\varphi_q(-\sigma)=-\varphi_q(\sigma)$ ，因此 $\varphi_q$ 可线性扩张为 $C_q(K)$ 到 $C_q(L)$ 的同态，仍用 $\varphi_q$ 记此同态。

命题 $7.2 \partial_q \circ \varphi_q=\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\forall q \in \boldsymbol{Z})$ ，即下面图表可交换：

![图片](/uploads/2026-01/fbb782.jpg)
 
 （这里两个边缘同态分别是 $K$ 和 $L$ 上的，我们在记号上不加区别）．

证明 只须对 $K$ 的 $q$ 维定向单形 $\sigma$ 验证

$$
\partial_q \circ \varphi_q(\sigma)=\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma) .
$$

设 $\sigma=a_0 a_1 \cdots a_q$ ．如果 $\varphi$ 在 $\sigma$ 上非退化，则

$$
\begin{aligned}
\partial_q \circ \varphi_q(\sigma) & =\partial_q\left(\varphi\left(a_0\right) \varphi\left(a_1\right) \cdots \varphi\left(a_q\right)\right) \\
& =\sum_{i=0}^q(-1)^i \varphi\left(a_0\right) \varphi\left(a_1\right) \cdots \hat{\varphi}\left(a_i\right) \cdots \varphi\left(a_q\right) \\
& =\varphi_{q-1}\left(\sum_{i=0}^q(-1)^i a_0 a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right) \\
& =\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma)
\end{aligned}
$$

如果 $\varphi$ 在 $\sigma$ 上退化，则 $\partial_q \circ \varphi_q(\sigma)=0$ 。对 $\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma)$ 分两种情形讨论．若 $\left\{\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)\right\}$ 中不相同顶点不多于 $q-1$ 个，则 $\varphi$ 在 $\sigma$ 的每个 $q-1$ 维面上都退化，因此有 $\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma)=0$ ．若 $\left\{\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)\right\}$ 中不相同顶点有 $q$ 个，即只有一对相同，不妨设 $\varphi\left(a_0\right)=\varphi\left(a_1\right)$ ，此时

$$
\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma)=\varphi_{q-1}\left(\sum_{i=0}^q(-1)^i a_0 a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right)
$$

$$
\begin{aligned}
& =\varphi_{q-1}\left(a_1 \cdots a_q\right)-\varphi_{q-1}\left(a_0 a_2 \cdots a_q\right) \\
& =0
\end{aligned}
$$

总之，在任何情形，等式 $\partial_q \circ \varphi_q(\sigma)=\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma)$ 都成立。
我们规定了与边缘同态交换的一系列同态 $\left\{\varphi_q: C_q(K) \rightarrow\right. \left.C_q(L) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\}$ ，称为从链复形 $C(K)$ 到 $C(L)$ 的链映射。

命题 7.3 若 $\left\{\varphi_q\right\}$ 是单纯映射 $\varphi: K \rightarrow L$ 诱导的链映射。则 $\varphi_q\left(Z_q(K)\right) \subset Z_q(L), \varphi_q\left(B_q(K)\right) \subset B_q(L)$.

证明 若 $z \in Z_q(K)$ ，则 $\partial_q\left(\varphi_q(z)\right)=\varphi_{q-1}\left(\partial_q(z)\right)=0$ ，因此 $\varphi_q(z) \in Z_q(L)$ ；若 $b \in B_q(K)$ ，设 $b=\partial_{q+1} c$ ，则

$$
\varphi_q(b)=\varphi_q\left(\partial_{q+1}(c)\right)=\partial_{q+1}\left(\varphi_{q+1}(c)\right) .
$$

因此 $\varphi_q(b) \in B_q(L)$ ．
定义 7.2 设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射．$\forall q \in \boldsymbol{Z}$ ，规定同态 $\varphi_{* q}$ ： $H_q(K) \rightarrow H_q(L)$ 为：$\forall\langle z\rangle \in H_q(K)$ ，令

$$
\varphi_{* q}(\langle z\rangle)=\left\langle\varphi_q(z)\right\rangle,
$$

称 $\varphi_{* q}$ 为 $\varphi$ 诱导的同调群同态．

命题 7.3 只用到 $\left\{\varphi_q\right\}$ 是链映射的性质，即它与边缘同态的交换性质。因此，两个链复形之间的任何链映射都诱导同调群的同态。

命题7．4 设 $\varphi: K \rightarrow L$ 和 $\psi: L \rightarrow M$ 都是单纯映射，则 $\psi \circ \varphi: K \rightarrow M$ 也是单纯映射，并且

$$
(\psi \circ \varphi)_{* q}=\psi_{* q} \circ \varphi_{* q}, \quad \forall q \in \boldsymbol{Z} .
$$

（证明留给读者．）
## 1.2 单纯逼近

单纯逼近是连结连续映射和单纯映射的桥梁，借助它我们能利用单纯映射来规定连续映射所诱导的同调群的同态。

下面假设 $X$ 和 $Y$ 都是多面体，$K$ 和 $L$ 分别是它们的剖分。
定义7．3 设 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射，$\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射，称 $\varphi$ 是 $f$ 的一个单纯逼近，如果 $\varphi$ 满足条件

$$
\bar{\varphi}(x) \in \operatorname{Car}_L f(x), \quad \forall x \in X,
$$

这里 $\bar{\varphi}$ 是 $\varphi$ 决定的连续映射。
条件（1）要求 $\bar{\varphi}(x)$ 和 $f(x)$ 在 $L$ 的同一单形 $\operatorname{Car}_L f(x)$ 中 （ $f(x)$ 是其内点， $\bar{\varphi}(x)$ 不必是内点），这就是＂逼近＂的含义。利用直线同伦，知道 $f \simeq \bar{\varphi}$ 。

下面给出单纯逼近的另一种描述形式，它具有更强的几何直观性．需要用到一个新概念．

定义7．4 设 $K$ 是复形，$a \in K^0, a$ 的星形是 $|K|$ 的子集，记作 $\mathrm{St}_K a$ ，规定为

$$
\operatorname{St}_K a:=\left\{x \in|K| \mid a<\operatorname{Car}_K x\right\} .
$$

于是 $x \in \mathrm{St}_K a$ 等价于 $a$
$<\operatorname{Car}_K x$.

图 7－1 是由 3 个 2 维单形及它们的面构成的复形 $K$ ．以 $a_1$ 为顶点的单形有 $\left(a_1, a_2, a_5\right),\left(a_1, a_2\right),\left(a_1, a_5\right)$以及顶点 $a_1$ 本身，它们的内点构成 $\mathrm{St}_K a_1$ ，于是 $\mathrm{St}_K a_1= \left(a_1, a_2, a_5\right) \backslash\left(a_2, a_5\right)$.

![图片](/uploads/2026-01/6501cf.jpg)
 
 $$
\mathrm{St}_K a_2=|K| \backslash\left(\left(a_1, a_5\right) \cup\left(a_5, a_4\right) \cup\left(a_3, a_4\right)\right) .
$$

不难看出，当 $x \in \mathrm{St}_K a$ 时，线段 $\overline{a x} \subset \mathrm{St}_K a$ ，因此 $\mathrm{St}_K a$ 是由从 $a$ 辐射出的许多线段构成．沿着这些线段， $\mathrm{St}_K a$ 可形变收缩到 $a$ ．

命题7．5 $\mathrm{St}_K a$ 是 $|K|$ 的开子集。
证明 只须证明 $|K| \backslash \mathrm{St}_K a$ 是闭集。
记 $L=\{\underline{s} \in K \mid a \not \leq\}$ ，则 $L$ 是 $K$ 的子复形，并且

$$
\begin{aligned}
|K| \backslash \mathrm{St}_K a & =\left\{x \in|K| \mid a \forall \operatorname{Car}_K x\right\} \\
& =\left\{x \in|K| \mid \operatorname{Car}_K x \in L\right\} \\
& =|L|
\end{aligned}
$$

因此 $|K| \backslash \mathrm{St}_K a$ 是紧致的，从而是 $|K|$ 的闭集．
显然，$\left\{\mathrm{St}_K a \mid a \in K^0\right\}$ 是 $|K|$ 的一个开覆盖。
命题 7.6 单纯映射 $\varphi: K \rightarrow L$ 是连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 的单纯逼近的一个充分必要条件是

$$
\forall a \in K^0, \quad f\left(\mathrm{St}_K a\right) \subset \mathrm{St}_L \varphi(a) .
$$

证明 条件（1）也就是

$$
\operatorname{Car}_L \bar{\varphi}(x)<\operatorname{Car}_L f(x), \quad \forall x \in X,
$$

因为 $\operatorname{Car}_L \bar{\varphi}(x)=\varphi\left(\operatorname{Car}_K x\right)$（习题3），所以（1）可改写成

$$
\varphi\left(\operatorname{Car}_K x\right)<\operatorname{Car}_L f(x), \quad \forall x \in X .
$$

根据单纯映射的定义，它又可改写为

$$
\forall x \in X, a \in K^0 \text {, 若 } a \prec \operatorname{Car}_K x \text {, 则 } \varphi(a) \prec \operatorname{Car}_L f(x) \text {, }
$$

或用星形概念写出为

$$
\forall a \in K^0, x \in X \text {, 若 } x \in \operatorname{St}_K a \text {, 则 } f(x) \in \operatorname{St}_L \varphi(a) \text {, }
$$

这就是（2）．

推论 如果 $\varphi: K \rightarrow L$ 是 $f: X \rightarrow Y$ 的单纯逼近，$\psi: L \rightarrow M$ 是 $g: Y \rightarrow Z$ 的单纯逼近，则 $\psi \circ \varphi$ 是 $g \circ f$ 的单纯逼近．
（请读者自己验证。）
例 如图 7－2 所示，$K$ 是1维单形（ $a_1, a_2$ ）的闭包复形，$L$ 由 2 维单形 $\left(b_0, b_1, b_2\right),\left(b_1, b_2, b_3\right),\left(b_2, b_3, b_4\right)$ 以及它们的所有面构成。 $f:|K| \rightarrow|L|$ 是一个嵌入映射，$f\left(a_1\right)$ 在 $\left(b_0, b_1\right)$ 内，$f\left(a_2\right)$ 在

![图片](/uploads/2026-01/080938.jpg)
 
 
 $\left(b_2, b_3, b_4\right)$ 内，$\overline{a_1 a_2}$ 的中点 $c$ 的像点 $f(c)$ 在 $\left(b_1, b_2, b_3\right)$ 内．对这个 $f$ ，没有一个单纯映射 $\varphi: K \rightarrow L$ 能作为它的单纯逼近．事实上， $\mathrm{St}_K a_1$是 $|K| \backslash\left\{a_2\right\}, f\left(\mathrm{St}_K a_1\right)$ 不在 $L$ 的任何星形中．

如果增添顶点 $c$ ，得到 $|K|$ 的另一剖分 $K^{\prime}$ ．则 $f$ 有从 $K^{\prime}$ 到 $L$的单纯逼近．事实上，$f\left(\mathrm{St}_{K^{\prime}} c\right) \subset \mathrm{St}_L b_2, f\left(\mathrm{St}_{K^{\prime}} a_1\right) \subset \mathrm{St}_L b_1$ ， $f\left(\mathrm{St}_{K^{\prime}} a_2\right) \subset \mathrm{St}_K b_2 \cap \mathrm{St}_L b_3$ ，因此由顶点映射

$$
a_1 \mapsto b_1, \quad c \mapsto b_2, \quad a_2 \mapsto b_2 \text { (或 } b_3 \text { ) }
$$

决定的单纯映射是 $f$ 的单纯逼近．
这个例子说明，对取定的剖分 $K, L$ ，连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 不一定有单纯逼近。一般来说，剖分 $K$ 越细致（它的星形越小），$L$ 越粗 （它的星形越大），单纯逼近存在的可能性越大．下面的定理给出更确切的说明．

定理7．1 设 $K, L$ 分别是多面体 $X, Y$ 的剖分，$f: X \rightarrow Y$ 连续，则 $f$ 存在 $K$ 到 $L$ 的单纯逼近 $\Longleftrightarrow \forall a \in K^0$ ，存在 $b \in L^0$ ，使得 $f\left(\operatorname{St}_K a\right) \subset \operatorname{St}_L b$ 。（这个条件称作 $f$ 对 $K, L$ 具有星形性质）。

证明 ⟹．设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯逼近，由条件（2）知，$\forall a \in K^0, f\left(\mathrm{St}_K a\right) \subset \operatorname{St}_L \varphi(a)$ ，取 $b=\varphi(a)$ 即可．

こ．规定 $K$ 到 $L$ 的顶点映射 $\varphi: K^0 \rightarrow L^0$ ，使得 $f\left(\operatorname{St}_K a\right) \subset \operatorname{St}_L \varphi(a) . \forall \underline{s}=\left(a_0, \cdots, a_q\right) \in K$ ，取 $x$ 是 $\underline{s}$ 的内点，则 $x \in \operatorname{St}_K a_i, i= 0, \cdots, q$ ，从而 $f(x) \in f\left(\operatorname{St}_K a_i\right) \subset \operatorname{St}_L \varphi\left(a_i\right)$ ，即 $\varphi\left(a_i\right) \prec \operatorname{Car}_L f(x)$ ， $i=0, \cdots, q$ 。根据习题 $5, \varphi$ 可扩张为单纯映射，仍记作 $\varphi$ 。它满足条件（2），因此是 $f$ 的单纯逼近．

## 理解：单纯映射与单纯逼近

### 1. 单纯映射——像“按规则搬家”
- **场景**：你有两个“三角形拼接成的网”（单纯复形）$K$ 和 $L$。
- **规则**：每个顶点只能搬到另一个顶点（不能搬到棱中间或面上），且必须保持“顶点之间的关系”：如果 $K$ 里几个顶点连成一个三角形，它们在 $L$ 里的像也要连成一个三角形（或更小的单纯形）。
- **通俗说**：就像把一张三角形网格地图的每个城市（顶点）搬到另一张网格地图的某个城市，且不撕裂邻居关系。这种搬运叫**单纯映射**。

**例子**：  
把三角形ABC的顶点：A→X, B→Y, C→Y（允许不同顶点搬到同一目标），检查：ABC在K里是一个三角形，在L里的像{X, Y, Y}只构成一条棱（退化），但规则允许——它仍然是单纯映射。

---

### 2. 单纯逼近——像“用网格近似曲线”
- **问题**：你有一个连续函数 $f: |K| \to |L|$（把一块三角形拼成的空间连续变到另一块空间），但这个函数不一定能把顶点搬到顶点。
- **目的**：想找一个**单纯映射** $g: K \to L$，使得 $g$ 在几何上尽量接近 $f$，接近到两者“同伦”（能连续变形过去）。
- **通俗说**：就像用网格地板上的方砖描一条曲线——曲线可能斜跨方砖，但你可以用一个从顶点到顶点的阶梯函数（只走格线）逼近它，误差允许在格子范围内且不改变本质拓扑性质。

**关键定理（单纯逼近定理）**：  
只要 $L$ 的网格足够细（经过足够多次细分），任何连续映射都可以被一个单纯映射逼近，并且它们同伦（可连续变形得到）。

---

### 3. 两者关系
- **单纯映射**：定义在顶点上的“离散”规则，必须保持单纯形关系。  
- **单纯逼近**：找一个单纯映射，让它**近似**给定的连续映射，并且能通过连续变形变成它。  
- 作用：把拓扑中连续的、难算的问题，转化为组合的、可有限计算的问题（如同伦群的计算）。

---

### 一句话总结
> **单纯映射**是把顶点搬到顶点的有规矩的搬家；  
> **单纯逼近**是用这种搬家来近似一个连续变形，以便用离散工具算拓扑性质。

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