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单纯映射和单纯逼近

第六章中建立的同调群只是复形上的一种代数结构，还没有体现出它的拓扑特性．本章要建立拓扑空间（多面体和可剖分空间）的同调群，自然是要利用它们的剖分的同调群来规定．于是我们就面临着同调群的拓扑不变性问题：有相同（或同胚）多面体的复形的同调群是不是同构？这就要把同调群的研究向前发展。我们要对从多面体 $|K|$ 到 $|L|$ 的连续映射 $f$ ，建立从同调群 $H_q(K)$ 到 $H_q(L)$ 的同态 $f_{* q}$ ．这是一项难度较大、技术性很强的工作。我们还要讨论同调群的同伦不变性，它也是计算同调群的一个工具．
§ 1 单纯映射和单纯逼近

本节为定义连续映射诱导的同调群同态作准备，介绍单纯映射和单纯逼近这两个重要概念。
1.1 单纯映射
单纯同调群建立的基础是复形的组合结构，然而一般的连续映射并不保持这种组合结构，因此不像基本群那样能用自然的方式建立它所对应的同调群同态．我们先考虑一种与复形的组合结构相适应的映射，即复形间的单纯映射．

定义7．1 设 $K$ 和 $L$ 是复形，$K$ 到 $L$ 的一个对应 $\varphi: K \rightarrow L$ （它把 $K$ 的每个单形对应到 $L$ 的一个单形）称为单纯映射 ${ }^{(1)}$ ，如果
它满足以下要求：
（1）若 $a$ 是 $K$ 的顶点，则 $\varphi(a)$ 是 $L$ 的顶点；
（2）若 $K$ 中单形 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right)$ ，则 $\varphi(\underline{s})$ 的顶点集是 $\left\{\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)\right\}$（并不要求 $\varphi\left(a_0\right), \varphi\left(a_1\right), \cdots, \varphi\left(a_q\right)$ 互不相同）。

由定义看出，当 $\varphi$ 是单纯映射时，它还满足：
（3）$\forall \underline{t}<\underline{s} \in K$ ，有 $\varphi(\underline{t})<\varphi(\underline{s})$ ，即 $\varphi$ 保持面的关系；
（4）$\forall \underline{s} \in K, \operatorname{dim} \varphi(\underline{s}) \leqslant \operatorname{dim} \underline{s}$ ．
如果（4）中等式成立，则说 $\varphi$ 在 $s$ 上非退化，否则说 $\varphi$ 在 $s$ 上退化．显然，当 $\varphi$ 在 $\underline{s}$ 上非退化时，$\varphi$ 在 $\underline{s}$ 的面上也非退化．
（1）说明 $\varphi$ 决定 $K$ 的顶点集 $K^0$ 到 $L$ 的顶点集 $L^0$ 的对应，称为 $\varphi$ 决定的顶点映射。（2）说明 $\varphi$ 由它的顶点映射完全决定。

例如，若记 $i: K^r \rightarrow K$ 是包含映射，则 $i$ 是单纯映射，它在每个 $K^r$ 的单形上不退化，它决定的顶点映射是恒同映射 id ：$K^0 \rightarrow K^0$ 。

设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射，则可规定映射 $\bar{\varphi}:|K| \rightarrow|L|$ 如下： $\forall x \in K$ ，若 $\operatorname{Car}_K x=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right)$ ，且 $x=\sum_{i=0}^q \lambda_i a_i$ ，则令 $\bar{\varphi}(x)=$

$\sum_{i=0}^q \lambda_i \varphi\left(a_i\right)$ ，它是 $\varphi\left(\operatorname{Car}_K x\right)$ 的一点．
命题7．1 $\bar{\varphi}:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射。
证明 $\forall \underline{s} \in K$ ，设 $\underline{s}=\left(a_0, a_1, \cdots, a_q\right) . \forall x \in \underline{s}$ ，设 $x=\sum_{i=0}^q \lambda_i a_i$ ，则从定义不难看出 $\bar{\varphi}(x)=\sum_{i=0}^q \lambda_i \varphi\left(a_i\right)$ 。于是 $\bar{\varphi}|\underline{s}: \underline{s} \rightarrow| L \mid$ 是连续的．$K$ 中单形只有有限个，并且每一个都是 $|K|$ 的闭集，用粘接引理推出 $\bar{\varphi}$ 也是连续的。

单纯映射的性质使它能自然地诱导同调群的同态。
设 $\varphi: K \rightarrow L$ 是单纯映射，规定 $\varphi_q: T_q(K) \rightarrow C_q(L)$ 如下：$\forall \sigma=$
$$
\begin{aligned}
& a_0 a_1 \cdots a_q \in T_q(K) \text {, 令 } \\
& \quad \varphi_q(\sigma)= \begin{cases}\varphi\left(a_0\right) \varphi\left(a_1\right) \cdots \varphi\left(a_q\right), & \text { 若 } \varphi \text { 在 } \sigma \text { 上非退化, } \\
0, & \text { 若 } \varphi \text { 在 } \sigma \text { 上退化. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

显然 $\varphi_q(-\sigma)=-\varphi_q(\sigma)$ ，因此 $\varphi_q$ 可线性扩张为 $C_q(K)$ 到 $C_q(L)$ 的同态，仍用 $\varphi_q$ 记此同态。

命题 $7.2 \partial_q \circ \varphi_q=\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\forall q \in \boldsymbol{Z})$ ，即下面图表可交换：

![图片](/uploads/2026-01/fbb782.jpg)
 
 （这里两个边缘同态分别是 $K$ 和 $L$ 上的，我们在记号上不加区别）．

证明 只须对 $K$ 的 $q$ 维定向单形 $\sigma$ 验证

$$
\partial_q \circ \varphi_q(\sigma)=\varphi_{q-1} \circ \partial_q(\sigma) .
$$

设 $\sigma=a_0 a_1 \cdots a_q$ ．如果 $\varphi$ 在 $\sigma$ 上

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