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连续映射诱导的同调群同态

## 3 连续映射诱导的同调群同态

设 $K$ 和 $L$ 是多面体，$f:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射．本节要规定 $f$ 诱导的同态 $f_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L)$ ．尽管有了上节的准备，我们还有不少工作要做．其中有些比较困难，涉及到一些新概念．为了不让它们掩盖整个过程的思路，我们把它们移出正文，放在附录 C中。

通过上节的准备，规定 $f_{* q}$ 的途径已很明显了：重心重分保证 $f$ 有单纯逼近，用单纯逼近导出的同态来规定 $f_{* q \cdot}$ 但是我们马上面临着两个问题．首先，$f$ 的单纯逼近 $\varphi$ 如果是从 $K^{(r)}$ 到 $L$ 的，它导出的是 $H_q\left(K^{(r)}\right)$ 到 $H_q(L)$ 的同态。那么 $H_q\left(K^{(r)}\right)$ 与 $H_q(K)$ 有何关系？其次，单纯逼近并不是唯一的，那么不同的单纯逼近导出的同态是否一样？

附录 C 对第二个问题已有直接的回答。
定理 C． 2 如果 $\varphi, \psi: K \rightarrow L$ 都是连续映射 $f:|K| \rightarrow|L|$ 的单纯逼近，则 $\varphi_{* q}=\psi_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ．

下面来回答第一个问题．
3． 1 同调群的重分不变性
我们要证明 $H_q\left(K^{(1)}\right) \cong H_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ，由此得到 $H_q\left(K^{(r)}\right) \cong H_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}, \forall r \in \boldsymbol{N}$ 。

先规定 $C\left(K^{(1)}\right)$ 到 $C(K)$ 的链映射。
 
设 $\underline{s} \in K, a$ 是 $\underline{s}$ 的任一顶点，则 $\operatorname{St}_{K^{(1)}}{ }^* \underset{\mathcal{s}}{{ }^*} \subset \operatorname{St}_K a$（§2习题2）。于是恒同映射 id：$\left|K^{(1)}\right| \rightarrow|K|$ 对 $K^{(1)}$ 和 $K$ 有星形性质，从而有从 $K^{(1)}$ 到 $K$ 的单纯逼近：规定顶点映射 $\pi:\left(K^{(1)}\right)^0 \rightarrow K^0$ ，使得 $\pi(\underline{*})$ 是 $\underline{s}$ 的顶点，则 $\pi$ 可扩张为 id 的单纯逼近，把它所决定的链映射称为标准链映射。标准链映射并不是唯一的，但是定理 C． 2说明标准链映射诱导的同调群同态是唯一的．以后把 id 的上述单纯逼近和标准链映射都记作 $\pi$（不论对哪个复形 $K$ ）。

我们还需要构造重分链映射 $\eta=\left\{\eta_q\right\}: C(K) \rightarrow C\left(K^{(1)}\right)$ ，它不是由单纯映射决定的．

直观上看，每个 $n$ 维单形 $s \in K$ 被重分成 $(n+1)$ ！个 $K^{(1)}$ 中的 $n$ 维单形，当 $s$ 取定了定向后（得定向单形 $s$ ），这些小单形也取相同的定向，就令 $\eta(s)$ 是这些定向小单形之和．图7－6 是 $n=1,2$ 的情形．对 $n=1$（左图），$\eta\left(a_0 a_1\right)=a_0 b+b a_1$ ，对 $n=2$（右图），

$$
\eta\left(a_0 a_1 a_2\right)=a_0 b_2 c+b_2 a_1 c+a_1 b_0 c+b_0 a_2 c+a_2 b_1 c+b_1 a_0 c .
$$

![图片](/uploads/2026-01/e0e715.jpg)
 
 下面归纳地给出 $\eta_q$ 的严格定义．对 $q=0$ ，令 $\eta_0(a)=a, \forall a \in K^0$ ，扩张得同态 $\eta_0: C_0(K) \rightarrow C_0\left(K^{(1)}\right)$ 。

对 $q=1, \forall s \in T_1(K)$ ，设 $s=a_0 a_1$ ，规定 $\eta_1(s)=a_0 \underline{\dot{s}}+\underline{\dot{s}} a_1$ ．则 $\eta_1(-s)=\eta_1\left(a_1 a_0\right)=a_1 \underline{\dot{s}}+\underline{\dot{s}} a_0=-\eta_1(s)$ ，因此可扩张得同态 $\eta_1: C_1(K) \rightarrow C_1\left(K^{(1)}\right)$ ，并且显然 $\partial_1 \circ \eta_1=\eta_1 \circ \partial_1$ 。

设当 $p<q$ 时，$\eta_p: C_p(K) \rightarrow C_p\left(K^{(1)}\right)$ 已构造，并满足

$$
\partial_p \circ \eta_p=\eta_{p-1} \circ \partial_p, \quad \forall p < q .
$$
                                                           
$\forall s \in T_q(K)$ ，规定 $\eta_q(s):=\underline{\dot{s}}\left(\eta_{q-1}\left(\partial_q s\right)\right)$ 。则

$$
\eta_q(-s)=\underline{s}^* \eta_{q-1}\left(\partial_q(-s)\right)=-\eta_q(s) .
$$

于是，可扩张得到 $\eta_q: C_q(K) \rightarrow C_q\left(K^{(1)}\right)$ ．
$\forall s \in T_q(K)$,

$$
\begin{aligned}
\partial_q \circ \eta_q(s) & =\partial_q\left(\underline{*}\left(\eta_{q-1}\left(\partial_q s\right)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)-\underline{\dot{s}}\left(\partial_{q-1} \circ \eta_{q-1}\left(\partial_q(s)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)-\underline{\dot{s}}\left(\eta_{q-2} \circ \partial_{q-1}\left(\partial_q(s)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)
\end{aligned}
$$

因此有 $\partial_q \circ \eta_q=\eta_{q-1} \circ \partial_q$ ．归纳定义完成．
定理7．3 $\eta$ 诱导的同调群同态 $\eta_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q\left(K^{(1)}\right)$ 是同构，并且以 $\pi_{* q}$ 为逆（ $\pi$ 是标准链映射），$\forall q \in \boldsymbol{Z}$ 。

证明 定理 C． 3 说明 $\eta_{* q} \circ \pi_{* q}=\operatorname{id}: H_q\left(K^{(1)}\right) \rightarrow H_q\left(K^{(1)}\right)$ ， $\forall q \in \boldsymbol{Z}$ 。只须再证明 $\pi_{*_q} \circ \eta_{* q}=\operatorname{id}: H_q(K) \rightarrow H_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ 。事实上有 $\pi_q \circ \eta_q=\operatorname{id}: C_q(K) \rightarrow C_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ．我们用归纳法论证这断言。
$q=0$ 时，结论显然成立．

设 $p<q$ 时，$\pi_p \circ \eta_p=\operatorname{id}: C_p(K) \rightarrow C_p(K)$ ．
$\forall s \in T_q(K)$ ，记 $s=a_0 a_1 \cdots a_q$ ，不妨设 $\pi(\underline{\dot{s}})=a_0$ ．则根据 $\pi$ 和 $\eta$的定义，有

$$
\begin{aligned}
\pi_q \circ \eta_q(s) & =\pi_q\left(\underline{s}\left(\eta_{q-1}(\partial s)\right)\right) \\
& =a_0\left(\pi_{q-1} \circ \eta_{q-1}\left(\sum_{i=1}^q(-1)^i a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right)\right) \\
& =a_0\left(\sum_{i=1}^q(-1)^i a_0 \cdots \hat{a}_i \cdots a_q\right)=a_0 \cdots a_q=s
\end{aligned}
$$

从而 $\pi_q \circ \eta_q=\mathrm{id}: C_q(K) \rightarrow C_q(K)$ 。
对所有复形 $K$ ，都用 $\eta$ 表示重分链映射。
对于任意自然数 $r$ ，记 $\eta$ 是 $r$ 个重分链映射

$$
C(K) \xrightarrow{\eta} C\left(K^{(1)}\right) \xrightarrow{\eta} \cdots \xrightarrow{\eta} C\left(K^{(r)}\right)
$$

的复合（每个 $\eta$ 的含义不同）．按这种约定，有

$$
\eta^{r+s}=\eta^r \circ \eta^s .
$$

同样，记 $\pi: C\left(K^{(r)}\right) \rightarrow C(K)$ 是 $r$ 个标准链映射（每个的含义不同）的复合，它由 id：$\left|K^{(r)}\right| \rightarrow|K|$ 的单纯逼近所导出，并且也有

$$
\pi^{r+s}=\pi^r \circ \pi^r .
$$

我们有互逆的同构

$$
H_q(K) \underset{\pi_{* q}}{\stackrel{\pi \cdot q}{\rightleftarrows}} H_q\left(K^{(r)}\right), \quad \forall q \in \mathbb{Z} .
$$

$3.2 f_{* a}$ 的规定
命题 7.9 如果 $\varphi: K^{(r)} \rightarrow L$ 和 $\psi: K^{(r+s)} \rightarrow L$ 都是 $f:|K| \rightarrow |L|$ 的单纯逼近，则 $\varphi_{* q} \circ \eta_{* q}^r=\psi_{* q} \circ \eta_{* q}^{+s}, \forall q \in Z$ ．

证明 见下图表。因为 $\varphi \circ \pi{ }^{\circ}: K^{(r+s)} \rightarrow L$ 也是 $f$ 的单纯逼近，所以有（定理 C．2）

![图片](/uploads/2026-01/e1c8a5.jpg)
 
 于是

$$
\psi_{* q} \circ \eta_{* q}^{r+s}=\varphi_{* q} \circ \pi_{* q}^* \circ \eta_{* q}^s \circ \eta_{* q}^r=\varphi_{* q} \circ \eta_{* q}^r, \quad \forall q \in \boldsymbol{Z} .
$$

现在我们可以给出下面的定义。
定义7．6 设 $K, L$ 是复形，$f:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射，取 $\varphi:$ 218
$K^{(r)} \rightarrow K$ 是 $f$ 的单纯逼近，规定 $f$ 诱导的同调群同态为 $f_{* q}=\varphi_{* q} \circ \eta_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L), \quad \forall q \in Z$.
命题7．10（1）设 $K$ 是多面体，则恒同映射 id ：$|K| \rightarrow|K|$导出的同调群同态 id ${ }_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(K)$ 是恒同同构．
（2）设 $K, L$ 和 $M$ 都是复形，$f:|K| \rightarrow|L|$ 和 $g:|L| \rightarrow|M|$都是连续映射，则

$$
(g \circ f)_{* q}=g_{* q} \circ f_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(M), \quad \forall q \in \boldsymbol{Z} .
$$

证明（1）取 $K$ 到自身的恒同单纯映射作为 id：$|K| \rightarrow |K|$ 的单纯逼近就可得到结论．

（2）在下面的图表中，$\psi: L^{(s)} \rightarrow M$ 是 $g$ 的单纯逼近，$\varphi: K^{(r)} \rightarrow L^{(s)}$ 是 $f$ 的单纯逼近．于是 $\pi \cdot \varphi: K^{(r)} \rightarrow L$ 也是 $f$ 的单纯逼近，

![图片](/uploads/2026-01/6e4238.jpg)
 
 $\psi \circ \varphi: K^{(r)} \rightarrow M$ 是 $g \circ f$ 的单纯逼近，由定义

$$
\begin{aligned}
(g \circ f)_{* q} & =(\psi \circ \varphi)_{* q} \circ \eta_{* q}, \\
g_{* q} \circ f_{* q} & =\psi_{* q} \circ \eta_{* q}^{\prime} \circ \pi_{* q}^{\prime} \circ \varphi_{* q} \circ \eta_{* q}^r \\
& =\psi_{* q} \circ \varphi_{* q} \circ \eta_{* q}=(\psi \circ \varphi)_{* q} \circ \eta_{* q},
\end{aligned}
$$

因此 $(g \circ f)_{* q}=g_{* q} \circ f_{* q}$ ．
从这个命题可以推出同调群的拓扑不变性．
定理7．4 设 $K, L$ 是复形．如果 $f:|K| \rightarrow|L|$ 是同胚映射，则 $f_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L)$ 是同构，$\forall q \in Z$ 。

证明 记 $g=f^{-1}:|L| \rightarrow|K|$ 。根据命题 $7.10, g_{{ }_{* q}} \circ f_{{ }_{* q}}= (g \circ f)_{{ }_{* q}}=\mathrm{id} ._q$ 是恒同同构．同理，$f_{* q}{ }^{\circ} g_{* q}$ 也是恒同同构．于是 $f_{* q}$ 是同构，$g_{* q}$ 是它的逆．

定理说明，复形 $K$ 的各维同调群 $H_q(K)$ 的同构类型是由 $|K|$所决定的，即是 $|K|$ 的拓扑不变量（据扑性质）。这样，$K$ 的各维 Betti 数 $\beta_q$ 和 Euler 示性数 $\chi(K)=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} K}(-1)^q \beta_q$ 也都是 $|K|$ 的拓扑不变量。
3.3 多面体与可剖分空间的同调群

定理7．4说明，同一个多面体的不同剖分有同构的同调群．设 $|K|=|L|$ ，则恒同映射 id：$|K| \rightarrow|L|$ 决定了 $H_q(K)$ 与 $H_q(L)$间的一个同构。以后，我们规定多面体的同调群就是它的剖分的同调群，它在同构型的意义下是确定的。

设 $X, Y$ 都是多面体，$K_i, L_i$ 是它们的剖分，$i=1,2$ ．如果 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射，则 $f$ 诱导出两组同态 $\left\{f_{* q}: H_q\left(K_1\right) \rightarrow H_q\left(L_1\right)\right\}$和 $\left\{f_{* q}: H_q\left(K_2\right) \rightarrow H_q\left(L_2\right)\right\}$ ，它们使下面图表可交换：

![图片](/uploads/2026-01/c0ff36.jpg)
 
 $\forall q \in \boldsymbol{Z}$ ．正如可用 $X$ 和 $Y$ 的任意剖分的同调群看作 $H_q(X)$ 和 $H_q(Y)$ 那样，可以用上面任一组同态看作同态组

$$
\left\{f_{* q}: H_q(X) \rightarrow H_q(Y)\right\} \text {. }
$$

类似地可规定可剖分空间的同调群以及可剖分空间之间的连续映射诱导的同调群同态。

设 $X$ 是可剖分空间，$\left(K_1, \varphi_1\right)$ 和 $\left(K_2, \varphi_2\right)$ 都是 $X$ 的剖分，则 $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1:\left|K_1\right| \rightarrow\left|K_2\right|$ 是同胚，它诱导 $H_q\left(K_1\right)$ 到 $H_q\left(K_2\right)$ 的同构。我们规定 $X$ 的同调群就是它的任一剖分中多面体的同调群。

设 $X$ 和 $Y$ 都是可剖分空间，$(K, \varphi)$ 和 $(L, \psi)$ 分别是它们的剖分．如果 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射，则 $\psi^{-1} \circ f \circ \varphi:|K| \rightarrow|L|$ 连续．我们把 $\left(\psi^{-1} \circ f \circ \varphi\right)_{*_q}$ 看作 $f_{*_q}: H_q(X) \rightarrow H_q(Y), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ 。（相应地认为 $H_q(X)=H_q(K), H_q(Y)=H_q(L)$ 。）

在上述意义下，类似于命题7．10的结果仍成立。
命题7．11（1）设 id ：$X \rightarrow X$ 是可剖分空间（多面体）$X$ 上的恒同映射，则 $\mathrm{id}_{* q}: H_q(X) \rightarrow H_q(X)$ 是恒同同构。
（2）设 $X, Y$ 和 $Z$ 都是可剖分空间（多面体），$f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 都是连续映射，则

$$
(g \circ f)_{* q}=g_{* q} \circ f_{* q}: H_q(X) \rightarrow H_q(Z), \quad \forall q \in \boldsymbol{Z} .
$$

下面列出已计算出的几个空间的同调群．
$n$ 维球面 $S^n$ 同胚于 $n+1$ 维单形的边缘复形，因此从第六章 §4的例2知道（ $n>0$ 时）

$$
H_q\left(S^n\right) \cong \begin{cases}\mathbf{Z}, & q=0, n \\ 0, & q \neq 0, n\end{cases}
$$

从第六章 § 4 的例 3 知道，若 $X$ 是平环，则

$$
H_q(X) \cong \begin{cases}Z, & q=0,1 \\ 0, & q \neq 0,1\end{cases}
$$

从第六章 § 4 的例 4 和例 5 知道

$$
\begin{aligned}
H_q\left(T^2\right) \cong \begin{cases}\boldsymbol{Z}, & q=0,2 \\
\boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{Z}, & q=1 \\
0, & q \neq 0,1,2 ;\end{cases} \\
H_q\left(P^2\right) \cong \begin{cases}\boldsymbol{Z}, & q=0, \\
Z_2, & q=0, \\
0, & q \neq 0,1 .\end{cases}
\end{aligned}
$$

再举几个例子。
例 1 设 $X=S^1 \vee S^1$ 。图 7－7 是 $X$ 的一个剖分 $K$ ，它是两个子复形 $K_1$ 和 $K_2$ 的并，$K_1 \cap K_2=a_0$ 是一顶点。 $K_1, K_2$ 分别是 $S^1$ 的剖分，于是 $H_1(K) \cong \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z}$（第六章 § 3 习题 2）．设

$$
z_1=a_0 a_1+a_1 a_2+a_2 a_0, \quad z_2=a_0 a_3+a_3 a_4+a_4 a_0,
$$

![图片](/uploads/2026-01/274387.jpg)
 
 则 $\left\{z_1, z_2\right\}$ 是 $Z_1(K)=H_1(K)$ 的基．$K$ 是连通的 1 维复形，于是

$$
H_q(X) \cong \begin{cases}\boldsymbol{Z}, & q=0 \\ \boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{Z}, & q=1 \\ 0, & q \neq 0,1\end{cases}
$$

用同样方法可计算出

$$
H_q\left(\bigvee_{i=1}^n S_i^1\right) \cong \begin{cases}\boldsymbol{Z}, & q=0, \\ \overbrace{\mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}}^n, & q=1, \\ 0, & q \neq 0,1 .\end{cases}
$$

例2 设 $X$ 是 $S^2$ 加上赤道所围的圆盘．图 7－8 给出了 $X$ 的一个剖分 $K=\mathrm{Bd}{\underset{1}{1}}_1 \cup \mathrm{Bd}{\underset{\sim}{s}}_2$ ，其中

$$
\underline{s}_1=\left(a_0, a_1, a_2, a_3\right), \quad \underline{s}_2=\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right) .
$$

记 $K_1=\operatorname{Bd} \underline{s}_1, K_2=\operatorname{Bd} \underline{s}_2$ ，则 $K_1 \cap K_2=\mathrm{Cl}\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 。根据第六章 § 3 的习题 4，

$$
H_q(K) \cong H_q\left(K_1\right) \oplus H_q\left(K_2\right), \quad \forall q \neq 0,
$$

于是

$$
H_q(K) \cong \begin{cases}\boldsymbol{Z}, & q=0 \\ \boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{Z}, & q=2 \\ 0, & q \neq 0,2\end{cases}
$$

例 $3 X$ 是 $S^2$ 加一直径，它的一个剖分如图 7－9 所示，$K= \operatorname{Bd}\left(a_0, a_1, a_2, a_3\right) \cup \operatorname{Bd}\left(a_0, a_1, a_4\right)$ 。用例 2 的方法可以求出

![图片](/uploads/2026-01/07667c.jpg)

## 理解：连续映射诱导的同调群同态
我们来想象一下**数字蛋糕**，这样理解拓扑里的“连续映射诱导同调群同态”会比较直观。

---

### 1. 同调群是“数洞”的工具

在拓扑学里，一个空间（比如一个橡皮泥做的形状）的**同调群**，就是用来**数这个空间有几个“洞”**的：

- **0维同调群**：数有多少个**连通的部分**。
- **1维同调群**：数有多少个**一维的环**（像圆环、绳子圈出的洞）。
- **2维同调群**：数有多少个**空心的腔**（像篮球内部）。

> 例子：
> - 一个实心圆盘：没洞 → 1维同调群是 0。
> - 一个圆圈（橡皮筋形状）：有1个一维环 → 1维同调群是 **Z**（整数，表示可以绕几圈）。
> - 一个圆环面（甜甜圈）：有2个不同的环（一个绕大圈，一个绕小圈） → 1维同调群是 **Z ⊕ Z**（两个整数）。

---

### 2. 连续映射是“橡皮变形”

**连续映射** $ f: X \to Y $ 就是一个把形状 $ X $ 变成形状 $ Y $ 的规则，并且**不能撕裂**（但可以拉伸、压缩、扭曲），就像用橡皮泥捏。

> 例子：
> - 把一条线段“捏”成一个点 → 连续。
> - 把一张纸撕成两半再拼起来 → 不连续。

---

### 3. 连续映射如何影响“洞”？

因为有连续性，$ X $ 里的**环**（能产生洞的结构）被 $ f $ 映射到 $ Y $ 后，**还是连续的环**（可能缩成点，可能变成非平凡环）。

所以 $ f $ 自然地把 $ X $ 的“环的同调类”送到 $ Y $ 的“环的同调类”。  
这就产生了一个**映射**（数学上叫**同态**）：
$$
f_* : H_n(X) \to H_n(Y)
$$
它把 $ X $ 的第 $ n $ 个洞结构，变成 $ Y $ 的第 $ n $ 个洞结构。

---

### 4. 为什么叫“同态”？

因为 $ H_n(X) $ 是一群（数学上的群结构，比如整数加法群），  
$ f_* $ 保持群运算：  
把 $ X $ 里的两个洞“合并”（用加法表示）后映射过去，等于分别映射再合并。

这很自然：如果你绕洞 A 再绕洞 B，然后变到 $ Y $ 里，就和先在 $ Y $ 里绕 $ f(A) $ 再绕 $ f(B) $ 一样。

---

### 5. 一个直观例子

- 空间 $ X $：一个圆圈（有1维洞，群是 $ Z $）。
- 空间 $ Y $：一个实心圆盘（没有1维洞，群是 0）。
- 连续映射 $ f $：把圆圈放到圆盘内部某个小圈上（比如靠近边缘）。

**诱导同态**：
$$
f_* : Z \to 0
$$
规则：绕圆圈的 $ k $ 圈（$ k \in Z $） → 在圆盘里，它可连续缩成点 → 变成 0。  
因此 $ f_* $ 是“零映射” —— 把所有整数变成 0。

---

### 6. 为什么这有用？

因为我们可以**用代数（群同态）来研究连续变形**：
- 如果两个空间同胚（一样），它们的同调群相同。
- 如果一个映射 $ f $ 能**连续变形**成另一个映射 $ g $，那么它们诱导的同调群同态 $ f_* = g_* $。
- 如果 $ f $ 是恒等映射，$ f_* $ 是恒等同态。
- 所以如果 $ X $ 不能连续变形到 $ Y $ 的一个子集，那某个同调群映射会“非平凡”甚至“零”，帮我们识别本质差别。

---

**一句话总结**：  
连续映射 $ f $ 不会撕裂空间，所以它把 $ X $ 里的“洞结构”（同调群）自然地变成 $ Y $ 里的“洞结构”，形成群之间的同态 $ f_* $，这样就可以用代数计算来区分不同形状。

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