最后更新: 2026-01-15 21:53 查看: 4 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续映射诱导的同调群同态

§ 3 连续映射诱导的同调群同态

设 $K$ 和 $L$ 是多面体，$f:|K| \rightarrow|L|$ 是连续映射．本节要规定 $f$ 诱导的同态 $f_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L)$ ．尽管有了上节的准备，我们还有不少工作要做．其中有些比较困难，涉及到一些新概念．为了不让它们掩盖整个过程的思路，我们把它们移出正文，放在附录 C中。

通过上节的准备，规定 $f_{* q}$ 的途径已很明显了：重心重分保证 $f$ 有单纯逼近，用单纯逼近导出的同态来规定 $f_{* q \cdot}$ 但是我们马上面临着两个问题．首先，$f$ 的单纯逼近 $\varphi$ 如果是从 $K^{(r)}$ 到 $L$ 的，它导出的是 $H_q\left(K^{(r)}\right)$ 到 $H_q(L)$ 的同态。那么 $H_q\left(K^{(r)}\right)$ 与 $H_q(K)$ 有何关系？其次，单纯逼近并不是唯一的，那么不同的单纯逼近导出的同态是否一样？

附录 C 对第二个问题已有直接的回答。
定理 C． 2 如果 $\varphi, \psi: K \rightarrow L$ 都是连续映射 $f:|K| \rightarrow|L|$ 的单纯逼近，则 $\varphi_{* q}=\psi_{* q}: H_q(K) \rightarrow H_q(L), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ．

下面来回答第一个问题．
3． 1 同调群的重分不变性
我们要证明 $H_q\left(K^{(1)}\right) \cong H_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}$ ，由此得到 $H_q\left(K^{(r)}\right) \cong H_q(K), \forall q \in \boldsymbol{Z}, \forall r \in \boldsymbol{N}$ 。

先规定 $C\left(K^{(1)}\right)$ 到 $C(K)$ 的链映射。
 
设 $\underline{s} \in K, a$ 是 $\underline{s}$ 的任一顶点，则 $\operatorname{St}_{K^{(1)}}{ }^* \underset{\mathcal{s}}{{ }^*} \subset \operatorname{St}_K a$（§2习题2）。于是恒同映射 id：$\left|K^{(1)}\right| \rightarrow|K|$ 对 $K^{(1)}$ 和 $K$ 有星形性质，从而有从 $K^{(1)}$ 到 $K$ 的单纯逼近：规定顶点映射 $\pi:\left(K^{(1)}\right)^0 \rightarrow K^0$ ，使得 $\pi(\underline{*})$ 是 $\underline{s}$ 的顶点，则 $\pi$ 可扩张为 id 的单纯逼近，把它所决定的链映射称为标准链映射。标准链映射并不是唯一的，但是定理 C． 2说明标准链映射诱导的同调群同态是唯一的．以后把 id 的上述单纯逼近和标准链映射都记作 $\pi$（不论对哪个复形 $K$ ）。

我们还需要构造重分链映射 $\eta=\left\{\eta_q\right\}: C(K) \rightarrow C\left(K^{(1)}\right)$ ，它不是由单纯映射决定的．

直观上看，每个 $n$ 维单形 $s \in K$ 被重分成 $(n+1)$ ！个 $K^{(1)}$ 中的 $n$ 维单形，当 $s$ 取定了定向后（得定向单形 $s$ ），这些小单形也取相同的定向，就令 $\eta(s)$ 是这些定向小单形之和．图7－6 是 $n=1,2$ 的情形．对 $n=1$（左图），$\eta\left(a_0 a_1\right)=a_0 b+b a_1$ ，对 $n=2$（右图），

$$
\eta\left(a_0 a_1 a_2\right)=a_0 b_2 c+b_2 a_1 c+a_1 b_0 c+b_0 a_2 c+a_2 b_1 c+b_1 a_0 c .
$$

![图片](/uploads/2026-01/e0e715.jpg)
 
 下面归纳地给出 $\eta_q$ 的严格定义．对 $q=0$ ，令 $\eta_0(a)=a, \forall a \in K^0$ ，扩张得同态 $\eta_0: C_0(K) \rightarrow C_0\left(K^{(1)}\right)$ 。

对 $q=1, \forall s \in T_1(K)$ ，设 $s=a_0 a_1$ ，规定 $\eta_1(s)=a_0 \underline{\dot{s}}+\underline{\dot{s}} a_1$ ．则 $\eta_1(-s)=\eta_1\left(a_1 a_0\right)=a_1 \underline{\dot{s}}+\underline{\dot{s}} a_0=-\eta_1(s)$ ，因此可扩张得同态 $\eta_1: C_1(K) \rightarrow C_1\left(K^{(1)}\right)$ ，并且显然 $\partial_1 \circ \eta_1=\eta_1 \circ \partial_1$ 。

设当 $p<q$ 时，$\eta_p: C_p(K) \rightarrow C_p\left(K^{(1)}\right)$ 已构造，并满足

$$
\partial_p \circ \eta_p=\eta_{p-1} \circ \partial_p, \quad \forall p < q .
$$
                                                           
$\forall s \in T_q(K)$ ，规定 $\eta_q(s):=\underline{\dot{s}}\left(\eta_{q-1}\left(\partial_q s\right)\right)$ 。则

$$
\eta_q(-s)=\underline{s}^* \eta_{q-1}\left(\partial_q(-s)\right)=-\eta_q(s) .
$$

于是，可扩张得到 $\eta_q: C_q(K) \rightarrow C_q\left(K^{(1)}\right)$ ．
$\forall s \in T_q(K)$,

$$
\begin{aligned}
\partial_q \circ \eta_q(s) & =\partial_q\left(\underline{*}\left(\eta_{q-1}\left(\partial_q s\right)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)-\underline{\dot{s}}\left(\partial_{q-1} \circ \eta_{q-1}\left(\partial_q(s)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)-\underline{\dot{s}}\left(\eta_{q-2} \circ \partial_{q-1}\left(\partial_q(s)\right)\right) \\
& =\eta_{q-1} \circ \partial_q(s)
\end{aligned}
$$

因此有 $\partial_q \circ \eta_q=\eta_{q-1} \circ \partial_q$ ．归纳定义完成．
定理7．3

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