最后更新: 2026-06-03 06:39 查看: 127 次纠错评论(0) 课件开VIP

序：非欧几何学的诞生

## 非欧几何学的诞生
欧几里得几何学为我们提供了平面几何工具，但完美的平面在现实世界中极其罕见。我们生活的地球是一个球体，而地球所在的宇宙更是一个三维空间。为了在平面上描述地球的表面或者我们所在的宇宙空间，我们必须对它们进行某种变形，而这些变形就是投影几何学所涉及的问题

## 视频指引-测地线

首先发展起来的非欧几何学是球面几何学，涉及球面的计算问题。一个和平面几何学中十分不同的问题就是两点之间的最短路径问题。在平面几何中，两点之间线段最短。但在一个球面上，两点之间的线段变成了大圆上的一段圆弧。这样的大圆被称为**测地线**。所以，直线变成了圆！这就是为什么跨洋国际飞行很少沿我们通常认为的两个地点之间的“直线” 飞行。平面几何学中的概念在球面几何学里都发生了很大的变化。两条直线之间的夹角也变成了两个大圆之间的夹角。

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 飞机大圆航线
 
 ### 视频指引
 
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 早期的天文学家和测量学家在研究天空和大地时，就已经意识到欧几里得几何学应用于球面上的困难。尽管如此，新几何学的出现还是花费了几个世纪的时间。

曲面带来了两个非欧几何学，即椭圆几何学和双曲几何学。曲面上的直线和平面上的直线具有不同的特性，就像我们在球面几何学中看到的直线一样。欧几里得第五公设在这里并不成立。在欧几里得几何学中，如果两条直线和另外一条直线平行，那么这两条直线也相互平行。在一个曲面上，可就不一定如此了。在—个椭圆面上，这样的两条直线总会相交。一个完美的椭圆面是一个球面，球面几何学是椭圆几何学的一个特例，一种最简单的形式。

在一个双曲面上，两条平行于第三条直线的直线将会发散出去。如果曲率是90 度的话，双曲面将会是球体的内表面，但在其他情況下，它会是一个大碗的表面。椭圆面和双曲面互为彼此的相反面，也就是说一个双曲面的反面会是一个椭圆面，而一个椭圆面的反面会是一个双曲面。

直线在曲面上的性质和欧几里得几何学规则相矛盾，这让数学家感到十分困感。许多世纪以来，他们一直试图拒绝非欧几何学。意大利数学家乔瓦尼·吉罗拉莫·萨凯里试图证明非欧几何学是不存在的。他的研究应该受到了波斯数学家莪默·伽亚谟的启发。他把莪默·伽亚谟关于平行四边形的表述作为自己研究的起点。

萨凯里想通过反证法证明欧几里得的平行公理的有效性。为此，他假设平行假设是错误的，并试图得出一对矛盾。由于欧几里得的假设相当于认为三角形的内角和为 180 度，因此他考虑了角度加起来大于或小于180度的假设。第一个结论是直线是有限的，但这与欧几里得的第二个公理相矛盾，所以萨凯里只能拒绝它。然而，该原理现在被接受为椭圆几何学的基础。欧几里得公理的第二个和第五个假设也被拒绝了。事实上，他无法得出一对逻辑上的矛盾，所以无法否定非欧几何的存在；相反，他得出的许多其他结果成为了今天双曲几何学中的定理。

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 双曲几何，三角形内角和小于180度
 
 
 双曲几何学的再次出现是在 1830 年左右，由匈牙利数学家亚诺什·波尔约和俄国数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基分别独立提出。他们的研究都源于高斯的思想。高斯应该是第一个系统地发展了非欧几何学的人。高斯认为，不应该把椭圆面和双曲面看成三维空间，因为虽然它们存在于一个三维空间里，但它们本身是二维的，只需要两个变量就可以定义其上的一个点。他展示了这样的一个曲面可以用角度和距离来完全描述，而无须涉及三维空间里的任何信息。

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 高斯
 
 1777年4月30日，高斯出生于德国不伦瑞克。他的父母都是贫穷的工人，母亲还是文盲，但高斯是一个神童。3岁时，高斯就常纠正他父亲犯的数学错误。7岁时，老师让同学们计算从1加到100的总和。就在同学们老老实实地把一个一个数字不断地累加起来的时候，高斯已经举手说出了结果，同学们都目瞪口呆。他的方法十分巧妙和简单。他把1加上100，然后乘以50，结果就这样出来了。1798年，21岁的他完成了巨著《算术研究》。 尽管这本书直到1801 年才出版，但这项工作巩固了数论作为一门学科的基础，并塑造了这个领域。

为了测量汉诺威的土地，高斯花了10个夏季的时间骑马旅行。在这个过程中，他提出了高斯曲率的概念，发表了表面的曲率可以完全通过测量表面的角度和距离来确定的定理。这也就阐述了曲率不取决于曲面如何嵌入三维空间或二维空间中，从而发展出了内蕴几何。高斯虽然发现了创建非欧几何学的可能性，但他从未正式发表过自己的研究成果，只是在信件中模糊地讨论了平行线的问题。
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 罗巴切夫斯基
 
 罗巴切夫斯基于 1829 年发表的题为《关于几何原理》的论文被认为标志着非欧几何学的诞生。他阐述了欧几里得第五公设是不可证的，而且可以用另外一个公理取代欧几里得第五公设。罗巴切夫斯基意识到他所推导的定理与现实中人们普遍认同的概念相抵触，因此他把自己的发现称为“虚几何学”。他的研究引起了高斯的注意。高斯向哥廷根科学院推荐了罗巴切夫斯基，后者在 1842 年成为院士。

但高斯并没有用文字的形式公开肯定罗巴切夫斯基的工作。据说这是因为高斯想显示自己的公正，不想因为赞扬罗巴切夫斯基而忽视了波尔约同时创建的非欧几何学，况且波尔约的父亲还是高斯的朋友。所以，高斯对罗巴切夫斯基的工作给予了肯定，但回避公开支持他的研究。

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 波尔约
 
 高斯不愿意承认波尔约和罗巴切夫斯基两个人的研究成果，这显得有些无理，同时也让这两个人非常失望，深受打击。波尔约和罗巴切夫斯基展示了一套用来处理双曲面的方法，但他们的研究并没有在他们生前被更多的人认识和理解。当时在曲面几何学上还没有一种模型可以和欧几里得平面几何学相媲美，直到 1868年意大利数学家欧金尼奥·贝尔特拉米创建了一个空间模型——伪球面。
 
 
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  伪球面
  
  伪球面（Pseudospherical）是由曳物线的曲线绕其渐近线旋转而成的曲面，形状像个锥子，这跟球面有什么关系呢？因为球面每个点的高斯曲率都是正常数R²，而伪球面除了中间尖角那一圈，所有点的高斯曲率都是负常数-R²，所以叫做“伪球面”。

贝尔特拉米证明了只要把伪球面上的测地线看做直线，罗巴切夫斯基的双曲几何就可以在伪球面上成立，非欧几何命题就被成功“翻译”成了欧氏几何命题，说明非欧几何与欧氏几何是一致的，让人们首次在欧式空间直观看到非欧几何，由此消除了非欧几何的神秘感，终于让人们正式接受了非欧几何。

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  庞加莱
  
  
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  庞加莱圆盘
  
  庞加莱圆盘是法国数学家庞加莱在欧几里得几何系统中构造出的一个罗巴切夫斯基几何公理系统模型，是一个n维双曲几何模型。几何中的点对应于n维圆盘（或球）上的点，几何中的“直线”（准确地说是测地线）对应于任意垂直于圆盘边界的圆弧或圆盘的直径。在这个庞加莱圆盘上，靠近边界的距离大于靠近中心的距离。贝尔特拉米用庞加莱圆盘证明了双曲几何学与欧几里得几何学的兼容性等价。

贝尔特拉米在他的 《对非欧几何解释的尝试》中提出，非欧几何体可以在恒定负曲率的表面实现。对于贝尔特拉米的概念，几何线的图形由伪球体上的测地线表示，非欧几何学定理可以在普通的三维欧几里得空间内得到证明，而不是像罗巴切夫斯基和波尔约以前那样以公理方式推导出。这样，贝尔特拉米证明了二维非欧几何学与三维空间的欧几里得几何学一样有效。他是第一个通过在恒定曲率表面、伪球体和n维单位球体的内部对非欧几何体进行建模来证明非欧几何体的一致性的人。

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黎曼

1826年9月17日，德国数学家伯恩哈德·黎曼生于德国北部的布雷塞伦茨。在有着欧洲数学中心盛名的哥廷根大学获得博士学位后，他接替了高斯的位置做起了数学教授。作为黎曼的导师，高斯曾高度评价他说，他有一个充满活力、富于创造性和属于真正数学的灵魂，是一个天才。

黎曼开始研究基于凸面和椭圆面的几何问题，这种几何学里的三角形的内角和大于180度，直线也是弯曲的。和以往的几何学不同，直线的长度不是无限的，而是两端围绕着圆周弯曲相连。另外，椭圆几何学中并不包含平行线的概念。黎曼对高维几何学的兴趣浓厚。虽然三维以上的空间图形难以想象和用视觉展现，但依然可以用数学来描述和研究。高维空间里一样有角度、距离这样的问题，只是难于视觉化而已。黎曼还研究了曲面内曲和外曲的各种性质，提出了在这样的曲面上的距离的一般概念。

黎曼进一步发展了双曲几何学，把它推广到了不规则曲率上。他提出了一个只使用 10个参数来描述一个三维空间里的曲面上的任何一点的曲率系统。黎曼发展出了他自己的高维度理论，将表面的几何体扩展到n个维度，并用微积分的数学分析方法来研究任何曲面的测地线，把数学分析与几何学结合在了一起，创立了黎曼几何学。

1854年，黎曼发表了一篇富有启发性的论文 《关于几何学基础的假设》，这篇论文实际上是他在哥廷根大学的就职论文。按惯例，哥廷根大学要求每一位新入职的教师写一篇论文。他的这篇论文用最通俗的语言阐述了把几何学构建为一门关于流形的学科。流形是带有坐标系以及定义了两点间最短距离度量公式的任意维的有界或无界空间(包括无穷维空间)。在三维欧几里得几何空间中，度量公式由ds²=dx²+dy²+dz²给出。这一公式是毕达哥拉斯定理的微分等价物。这些流形是空间本身，不带外部参考系。这样，任何空间的曲率完全由该流形的内在性质确定。对于黎曼来说，几何学在本质上由一个n维有序数组的集合与该集合上的特定规则构成。他拓展了空间的概念，认为变量间的关系都是“空间”。

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 一向谨慎的高斯第一次对别人（黎曼）的研究大加赞赏。根据黎曼几何学的观点，欧几里得几何学就是曲率为0的几何学，罗巴切夫斯基的几何学是曲率为-1的几何学，而球面几何学是曲率为1的几何学。黎曼几何学使多维空间的数学研究和探索宇宙空间奥秘的物理实验又上了一个台阶，他的研究为包括爱因斯坦的相对论在内的现代物理学提供了数学基础。黎曼关于高维空间的研究把微积分的概念扩展到了三维空间，开创了微分几何的新领域。在那里，点、曲线、面这样的几何对象可以用向量描述，并且可以使用函数及作用在函数上的算子来刻画速度、加速度以及能量等动力学概念，使微分几何成为一个在统一的框架下刻画物理系统的理想工具。正是采用了微分几何，英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦才得以表述他的电磁学。黎曼还在复分析的研究中开启了拓扑学这个几何中空间属性不因形变而改变的领域。

非欧几何学的探索极大地促进了人们对 《几何原本》的审视。德国数学家莫里茨·帕施呼吁欧几里得几何学应以更精确的原始概念和公理为基础，并更加注意其证明上的逻辑演绎方法。他要人们注意欧几里得的《几何原本》中的一些尚未被注意的默示假设。他指出，数学推理不应援引对原始术语的物理解释，而应该完全依靠在公理基础上所做的证明本身。受此影响，德国数学家戴维·希尔伯特在 20 世纪初主张数学公理化和为推理证明提供坚实的基础，并为此付出了努力。

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希尔伯特
 
 
 
 1899 年，希尔伯特出版了《几何基础》一书，把对欧几里得几何学的挑战推上了顶峰。希尔伯特把欧几里得的失败归结为古希腊的公理和假设都是从现实世界的特征中抽取出来的，而在数学实在中并没有被完全定义，在数学上也不够严格和正确。比如，把一个点放在一条直线上意味着要把这个点放在这条直线上的两个点之间。但“两个点之间”的概念其实是模糊不清的，没有精确的数学定义。

希尔伯特认为，几何学不是研究形状、点和线的性质的手段，而是关于这些符号的逻辑关系的主题。希尔伯特把几何学推向了一个更加抽象和形式化的层面。

本文来源知乎， 作者 Dylan 详见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/656733583

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