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第3节外微分浅谈正交标架

## 第3节 外微分浅谈 正交标架
众所周知，要掌握黎曼几何，需要强烈的几何直观感。但除此之外，用分量语言描述的黎曼几何，也需要很好的分析能力才能梳理清楚，因为有 $N$ 多的指标在表示着分量和求和，咋看上去处处皆指标。这种繁琐的分量语言并不总讨人喜欢，甚至在不少地方是声名狼籍的。

在分量的语言中，我们本质上可以在局部建立任意形式的坐标系，也就是采用任意形式的基底 $\left\{ e _\mu\right\}$ ，或者说自然标架。但不可否认，在正交标架（标准正交基）之下，很多方程会简单不少，并且得益于我们对欧氏空间的熟练，我们对正交标架下的研究可能会更有感觉。因此，如果条件允许的话，我们应当使用正交标架 $\left\{\hat{ e }_\mu\right\}$ ，哪怕是活动的，这里我们用＾标记正交标架。

比如，我们有微元

$$
d r = e _\mu d x^\mu
$$

是在一般标架下测量的，那么就可以得到黎曼度量

$$
d s^2=\langle d r , d r \rangle=g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu
$$

其中

$$
g_{\mu \nu}=\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle
$$

也许是一个带有复杂函数的矩阵。我们把黎曼度量写成矩阵形式

$$
g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu=d x ^T g d x
$$

然后试图做这样的分解

$$
g = h ^T \eta h
$$

$h , \eta$ 都是跟 $g$ 同一形状的矩阵，那么

$$
d s^2=( h d x )^T \eta ( h d x )
$$

写成分量语言是

$$
d s^2=\eta_{\mu \nu}\left(h_\alpha^\mu d x^\alpha\right)\left(h_\beta^\nu d x^\beta\right)
$$

我们记

$$
\omega^\mu=h_\alpha^\mu d x^\alpha
$$

事实上 $h_\alpha^\mu$ 就是一个变换矩阵，将原来的任意标架 $\left\{ e _\mu\right\}$ 变换到了（活动）正交标架 $\left\{\hat{ e }_\mu\right\}$ ，即

$$
\hat{ e }_\mu= e _\alpha\left(h^{-1}\right)_\mu^\alpha, \quad e _\mu=\hat{ e }_\alpha h_\mu^\alpha
$$

此时我们有

$$
d r = e _\mu d x^\mu=\hat{ e }_\mu \omega^\mu
$$

这表明正交标架中的 $\omega^\mu$ 相当于一般标架中的 $d x^\mu$ ，以及

$$
d s^2=\eta_{\mu \nu} \omega^\mu \omega^\nu
$$

上式表明正交标架有助于简化黎曼度量，现在度规张量是更为简单的 $\eta_{\mu \nu}$ 。需要指出的是，理想的分解是 $\eta$ 为单位阵，但我们如果考虑一般的黎曼度量（尤其是广义相对论中的），并且仅限于实数范围内的话，这个理想并不一定能够达到，比如简单的 $g =\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 就做不到，因此我们只希望 $\eta$ 尽可能简单，比如说是常数对角矩阵，但不要求它一定是单位阵。这样的分解总是可以做到的，尤其是在很多实用的情形下， $g$ 一个对角阵，这时候就相当容易实现了。因此，这里假设 $\eta_{\mu \nu}$ 是一个对角矩阵，其对角元素是 1 或 -1 。

接着我们写出

$$
d s^2=\langle d r , d r \rangle=\left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle \omega^\mu \omega^\nu
$$

也就是

$$
\eta_{\mu \nu}=\left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle
$$

这里 $\hat{ e }$ 就是在上式意义下的＂正交标架＂了。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4058)

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