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第4节外微分浅谈外微分

## 外微分 
向量的外积一般只定义于不超过 3 维的空间。为了在更高维空间中使用反对称运算，我们需要下面描述的微分形式与外微分。

我们知道，任意 $x$ 的函数的微分都可以写成 $d x^\mu$ 的线性组合，在这里，各 $d x^\mu$ 实则上扮演了一个基的角色，因此，我们不妨把 $d x^\mu$ 看成是一组基，并且把任意函数称为微分 o 形式，而诸如 $\omega_\mu d x^\mu$ 的式子，称为微分 1 形式。

在 $d x^\mu$ 这组基之上，我们定义外积 $\wedge$ ，即有反对称的运算 $d x^\mu \wedge d x^\nu$ ，并且把诸如 $\omega_{\mu \nu} d x^\mu \wedge d x^\nu$ 的式子，称为微分 2 形式。注意到这是 $n$ 维空间中的外积，$d x^\mu \wedge d x^\nu$ 事实上是一个新空间的基，而不能用 $d x^\mu$ 的线性组合来表示。

接着，允许 $\wedge$ 重复执行，即允许 $d x^\mu \wedge d x^\nu \wedge d x^\lambda$ ，并且称诸如 $\omega_{\mu \nu \lambda} d x^\mu \wedge d x^\nu \wedge d x^\lambda$ 的式子为微分 3形式。相应地，可以定义一般的微分 $p$ 形式。至于它的几何意义，我们后面再谈。

最后，定义一个外微分算符 $d$ ，它允许我们从一个微分 $p$ 形式，产生一个微分 $p+1$ 形式

$$
\begin{aligned}
& d\left(\omega_{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_p} d x^{\mu_1} \wedge d x^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge d x^{\mu_p}\right) \\
= & \frac{\partial \omega_{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_p}}{\partial x^{\mu_{1+1}}} d x^{\mu_{p+1}} \wedge d x^{\mu_1} \wedge d x^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge d x^{\mu_p}
\end{aligned}
$$

事实上，这个算符 $d$ 形式上跟普通的微分算符是一致的，只不过允许重复执行。但是，我们不难证明 ：对于任意微分形式 $\omega$ ，均有

$$
d^2 \omega=0
$$

因此，外微分算符最多也就是两次作用于微分形式。此外，下面的恒等式也是不难证明的：若 $\alpha, \beta$ 分别是微分 $p, q$ 形式，则

$$
d(\alpha \wedge \beta)=d \alpha \wedge \beta+(-1)^p \alpha \wedge d \beta
$$

$(-1)^p$ 的出现，正是由于反对称性。虽然说是外＂微＂分，可内涵一点也不＂微＂。

## 立竿见影的应用  
我们知道行列式可以用来判断 $n$ 个 $n$ 维向量是否线性相关。但是 $k$ 个呢？
外积可以帮助我们！考虑 $k$ 个向量 $\alpha_\mu^1, \alpha_\mu^2, \ldots, \alpha_\mu^k$ ，可以依次构造微分形式 $\alpha_\mu^1 d x^\mu, \alpha_\mu^2 d x^\mu, \ldots, \alpha_\mu^k d x^\mu$ ，然后考虑外积

$$
\left(\alpha_\mu^1 d x^\mu\right) \wedge\left(\alpha_\mu^2 d x^\mu\right) \wedge \cdots \wedge\left(\alpha_\mu^k d x^\mu\right)
$$

如果这 $k$ 个向量线性相关，也就是其中一个能表示为剩下的 $k-1$ 个的线性组合，比如假设

$$
\alpha_\mu^1=\sum_{i=2}^k b_i \alpha_\mu^i
$$

那么

$$
\alpha_\mu^1 d x^\mu=\sum_{i=2}^k b_i \alpha_\mu^i d x^\mu
$$

这样这 $k$ 个微分形式的外积必然为 o ，其逆命题也成立。也就是说，$k$ 个向量线性相关，当且仅当

$$
\left(\alpha_\mu^1 d x^\mu\right) \wedge\left(\alpha_\mu^2 d x^\mu\right) \wedge \cdots \wedge\left(\alpha_\mu^k d x^\mu\right)=0
$$

当然，严格来讲这是反对称运算的结果，可见反对称性质的内涵相当丰富。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4059)

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