最后更新: 2025-06-22 09:57 查看: 22 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第5节外微分浅谈几何意义

## 外微分浅谈  几何意义
对于前面所述的外微分，包括后面还略微涉及到的微分形式的积分，都是纯粹代数定义的内容，本身不具有任何的几何意义。但是，我们可以将某些公式或者定义，与一些几何内容对应起来，使我们更深刻地理解它，并且更灵活运用它。但是，它仅仅是一种对应，而且取决于我们的诠释。比如，我们说外微分公式

$$
\int_{\partial D} P d x+Q d y=\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x \wedge d y
$$

对应于格林公式

$$
\int_{\partial D} P d x+Q d y=\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
$$

。这是没问题的，但它们并不等价，它们仅仅是形式上刚好一样。因为格林公式是描述闭合曲线的积分跟面积分的联系，而外微分的公式是一种纯粹的代数运算。因为你完全可以将 $d x \wedge d y$ 对应于 $-d x d y$ 而不是 $d x d y$ ，这样就得到另外一种几何的对应。

更深刻的问题是：为什么恰好有这个对应？也就是说，为什么经过一些调整和诠释后，就能够得到与积分公式的对应？首先要明确的是外积与普通的数的乘积，除了反对称性之外，是没有任何区别的，因此不少性质得以保留；其次，还应该要回到反对称本身来考虑，矩阵的行列式代表着矩阵所对应的向量组张成的 $n$ 维立体的体积，然而行列式是反对称的，这就意味着反对称运算跟体积、积分等有着先天的联系。当然，更细致的认识，笔者也还没做到。

此外，我们说寻求微分形式的几何意义，通常只是针对不超过 3 维的空间来讨论的，更高维的几何图像我们很难想象出来，尤其是高维的曲面积分，一般只是类比，但类比是否成立，有时还需要进一步商榷。因此，这种情况下，倒不如干脆点，说微分形式描述的东西就是几何，而不再去寻找所谓的几何意义了。也就是说，反过来，将微分形式和外微分作为公理式的第一性原理来定义几何。

甚至，你可以只将外微分当作是一种记忆各种微分、积分公式的有效途径，比如现在我要大家默写三维空间中的斯托克斯公式，大家估计会乱，因为不一定记得是哪个减哪个。但是在外微分框架下，可以很快地将它推导一遍。好比式(11)
，如果非要寻求几何解释，那就是开普勒第二定律：单位时间内扫过的面积相等；然而没有几何解释，你依旧可以把方程解下去。

下面将围绕着几何诠释进行展开。

## 外积：张成并投影 
我们考虑两个微分 1 形式的外积，比如

$$
\begin{aligned}
\alpha_\mu d x^\mu \wedge \beta_\nu d x^\nu & =\alpha_\mu \beta_\nu d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\sum_{\mu<\nu}\left(\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu\right) d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\frac{1}{2}\left(\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu\right) d x^\mu \wedge d x^\nu
\end{aligned}
$$

省略求和符号时，表示 $\mu, \nu$ 各自分别无约束地遍历求和。留意到

$$
\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
\alpha_\mu & \alpha_\nu \\
\beta_\mu & \beta_\nu
\end{array}\right)
$$

那么，如果将 $d x^\mu$ 看成基，那么对于选定的一对 $\mu, \nu_{,} \alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu$ 正好对应于向量 $\alpha_\mu$ 和向量 $\beta_\nu$ 所张成的平行四边形在 $d x^\mu, d x^\nu$ 平面

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