最后更新: 2025-06-22 09:57 查看: 37 次纠错评论(0) 课件开VIP

第5节外微分浅谈几何意义

## 外微分浅谈  几何意义
对于前面所述的外微分，包括后面还略微涉及到的微分形式的积分，都是纯粹代数定义的内容，本身不具有任何的几何意义。但是，我们可以将某些公式或者定义，与一些几何内容对应起来，使我们更深刻地理解它，并且更灵活运用它。但是，它仅仅是一种对应，而且取决于我们的诠释。比如，我们说外微分公式

$$
\int_{\partial D} P d x+Q d y=\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x \wedge d y
$$

对应于格林公式

$$
\int_{\partial D} P d x+Q d y=\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
$$

。这是没问题的，但它们并不等价，它们仅仅是形式上刚好一样。因为格林公式是描述闭合曲线的积分跟面积分的联系，而外微分的公式是一种纯粹的代数运算。因为你完全可以将 $d x \wedge d y$ 对应于 $-d x d y$ 而不是 $d x d y$ ，这样就得到另外一种几何的对应。

更深刻的问题是：为什么恰好有这个对应？也就是说，为什么经过一些调整和诠释后，就能够得到与积分公式的对应？首先要明确的是外积与普通的数的乘积，除了反对称性之外，是没有任何区别的，因此不少性质得以保留；其次，还应该要回到反对称本身来考虑，矩阵的行列式代表着矩阵所对应的向量组张成的 $n$ 维立体的体积，然而行列式是反对称的，这就意味着反对称运算跟体积、积分等有着先天的联系。当然，更细致的认识，笔者也还没做到。

此外，我们说寻求微分形式的几何意义，通常只是针对不超过 3 维的空间来讨论的，更高维的几何图像我们很难想象出来，尤其是高维的曲面积分，一般只是类比，但类比是否成立，有时还需要进一步商榷。因此，这种情况下，倒不如干脆点，说微分形式描述的东西就是几何，而不再去寻找所谓的几何意义了。也就是说，反过来，将微分形式和外微分作为公理式的第一性原理来定义几何。

甚至，你可以只将外微分当作是一种记忆各种微分、积分公式的有效途径，比如现在我要大家默写三维空间中的斯托克斯公式，大家估计会乱，因为不一定记得是哪个减哪个。但是在外微分框架下，可以很快地将它推导一遍。好比式(11)
，如果非要寻求几何解释，那就是开普勒第二定律：单位时间内扫过的面积相等；然而没有几何解释，你依旧可以把方程解下去。

下面将围绕着几何诠释进行展开。

## 外积：张成并投影 
我们考虑两个微分 1 形式的外积，比如

$$
\begin{aligned}
\alpha_\mu d x^\mu \wedge \beta_\nu d x^\nu & =\alpha_\mu \beta_\nu d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\sum_{\mu<\nu}\left(\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu\right) d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\frac{1}{2}\left(\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu\right) d x^\mu \wedge d x^\nu
\end{aligned}
$$

省略求和符号时，表示 $\mu, \nu$ 各自分别无约束地遍历求和。留意到

$$
\alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
\alpha_\mu & \alpha_\nu \\
\beta_\mu & \beta_\nu
\end{array}\right)
$$

那么，如果将 $d x^\mu$ 看成基，那么对于选定的一对 $\mu, \nu_{,} \alpha_\mu \beta_\nu-\beta_\mu \alpha_\nu$ 正好对应于向量 $\alpha_\mu$ 和向量 $\beta_\nu$ 所张成的平行四边形在 $d x^\mu, d x^\nu$ 平面上的投影的有向面积。

对于 一般的微分 $p$ 形式和微分 $q$ 形式，它们的外积可以类似地构造，只是高维的更难想象罢了。比如一个微分1形式跟一个微分2形式作外积，可以想象着一个普通向量跟一个＂面积向量＂（实际上是一个张量）张成了一个立方体，外积结果的每一项，就是该立方体在相应的三维子空间上的投影的体积，等等。特别地，如果在 $n$ 维空间中，有 $n$ 个微分 1 形式作外积，结果将是

$$
\alpha_{\mu_1}^1 d x^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \alpha_{\mu_n}^n d x^{\mu_n}=\operatorname{det}\left(\alpha_\mu^\nu\right) d x^1 \wedge \cdots \wedge d x^n
$$

即刚好产生了一个矩阵的行列式，这是很神奇的，正好是反对称性的体现。反对称性也存在也行列式中，即交换行列式的两行或者两列，那么行列式反号。设 $f$ 是任意函数，我们有 $d f=\frac{\partial f}{\partial x^\mu} d x^\mu$ ，那么

$$
d f^1 \wedge \cdots \wedge d f^n=\operatorname{det}\left(\frac{\partial f^\mu}{\partial x^\nu}\right) d x^1 \wedge \cdots \wedge d x^n
$$

从变换的角度来看， $\operatorname{det}\left(\frac{\partial f^\mu}{\partial x^\nu}\right)$ 就是积分变换的雅可比行列式。这使得我们想冲动地把人忽略掉，把 $d x^1 \wedge \cdots \wedge d x^n$ 直接看成积分元 $d x^1 \ldots d x^n$ 。事实上正是这样做的！我们定义
$d x^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge d x^{\mu_k}= \pm d x^{\mu_1} \ldots d x^{\mu_k}$ ，至于是正还是负，取决于我们想将它诠释为什么具体的几何内容。这样我们就可以用外微分来表示积分理论了。

## 微分算子：绕圈子 
更值得深刻认识的是式（25），即从一个 $p$ 形式到 $p+1$ 形式，究竟发生了什么，或者说，对应什么几何内容。

我们还是从微分 1 形式出发，考虑 $\omega_\nu d x^\nu$ ，在算符 $d$ 作用下，有

$$
\begin{aligned}
d\left(\omega_\nu d x^\nu\right) & =\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu} d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\sum_{\mu<\nu}\left(\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu}\right) d x^\mu \wedge d x^\nu \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu}\right) d x^\mu \wedge d x^\nu
\end{aligned}
$$

这样的形状的东西有什么几何对应呢？我们可以把 $\omega_\nu d x^\nu$ 看成是量 $\Omega$ 从 $x$ 到 $x+d x$ 的增量，即

$$
\Omega(x+d x)=\Omega(x)+\omega_\nu(x) d x^\nu
$$

那么，如果再从 $x+d x$ 到 $x+d x+\delta x$ 呢？自然有

$$
\begin{aligned}
\Omega_1(x+d x+\delta x) & =\Omega(x+d x)+\omega_\nu(x+d x) \delta x^\nu \\
& =\Omega(x)+\omega_\nu(x) d x^\nu+\omega_\nu(x) \delta x^\nu+\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu} d x^\mu \delta x^\nu
\end{aligned}
$$

这是走了 $x \rightarrow x+d x \rightarrow x+d x+\delta x$ 这条路径的，交换 $d x$ 和 $\delta x$ ，即走 $x \rightarrow x+\delta x \rightarrow x+\delta x+d x$这条路径，得到

$$
\Omega_2(x+d x+\delta x)=\Omega(x)+\omega_\nu(x) \delta x^\nu+\omega_\nu(x) d x^\nu+\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu} \delta x^\mu d x^\nu
$$

两者之差

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu}\right) d x^\mu \delta x^\nu & =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu}\right)\left(d x^\mu \delta x^\nu-d x^\nu \delta x^\mu\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \omega_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu}\right) \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
d x^\mu & \delta x^\mu \\
d x^\nu & \delta x^\nu
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

就是绕着闭合路径 $x \rightarrow x+d x \rightarrow x+d x+\delta x \rightarrow x+\delta x \rightarrow x$ 溜达了一圈之后，所产生的变化量。
如果令

$$
d x^\mu \wedge d x^\nu=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
d x^\mu & \delta x^\mu \\
d x^\nu & \delta x^\nu
\end{array}\right)
$$

那么式（42）正好是 $d\left(\omega_\nu d x^\nu\right)$ 。而 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}d x^\mu & \delta x^\mu \\ d x^\nu & \delta x^\nu\end{array}\right)$ 就是 $d x$ 和 $\delta x$ 这两个向量，张成的平行四边形在 $x^\mu, x^\nu$ 平面的投影的面积，它也是反对称的。从这个角度看，就可以将 $d x^\mu \wedge d x^\nu$ 解释为有向面积元 ，而 $d\left(\omega_\nu d x^\nu\right)$ 的含义就是一个量在绕了一个小圈子回来之后的变化量！

## 微积分基本定理 
通过绕圈子的途径，我们解释了从微分 1 形式到 2 形式的含义。但遗憾的是，从一般的 $p$ 形式到 $p+1$ 形式，并不那么容易想象，而且，事实上对于超过 3 维的空间中的积分的几何图像，我们也很难想象出来。所以，我们这里使用了一条＂本末倒置＂的路径。如果 $\omega$ 是一个微分 $p$ 形式，$D$ 是一给定区域，那么

$$
\int_{\partial D} \omega=\int_D d \omega
$$

也就是说，$\omega$ 在边界上的积分，等于 $d \omega$ 在区域内的积分，这就是微分形式中的＂斯托克斯公式＂（Stoke s 公式），也可以说是外微分中的微积分基本定理。

这个公式为人称颂的地方就是统一了牛顿－莱布尼兹公式、格林公式、高斯定理、斯托克斯公式，并将其一般化。大家可能困惑＂什么是微分形式的积分？＂，事实上微分形式的积分并没有什么特殊的地方，因为诸如 $d x^\mu \wedge d x^\nu$ 的式子除了反对称之外，跟普通的微分元 $d x^\mu d x^\nu$ 没有什么区别，而积分的定义（比如简单地采用黎曼积分定义）与对称还是反对称无关。

这样，我们就能够想象，从一般的 $p$ 形式到 $p+1$ 形式，或者说从 $\omega$ 到 $d \omega$ ，事实上跟1形式到2形式一样 ，做了类似＂绕圈子＂的事情，即把 $\omega$ 理解为边界上的运动变化，而 $d \omega$ 则是遍历一个小区域回来之后，所产生的变化，那么很自然在封闭区域 $D$ 就有 $\int_{\partial D} \omega=\int_D d \omega$ 了。

当然，前面已经说了，这是一条＂本末倒置＂的途径。这个积分定理其实是＂结果＂而非＂原因＂，它需要冗长的证明。而我们这里不加证明地引用了它，反过来用来解释 $d \omega$ 的含义，这只是为了给大家一条尽快并且尽可能清晰的思路。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4062)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第4节外微分浅谈外微分

下一篇：第6节外微分浅谈微分几何

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

第5节 外微分浅谈 几何意义

《高等数学》难点解析

《线性代数》难点解析

《概率论与数理统计》难点解析

第5节外微分浅谈几何意义