最后更新: 2025-06-22 10:00 查看: 39 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第6节外微分浅谈微分几何

终于开始谈到重点了，就是这部分内容促使我学习外微分的。用外微分可以方便地推导微分几何的一些内容，有时候还能方便计算。其主要根源在于：外微分本身在形式上是微分的推广，因此微分几何的东西能够使用外微分来描述并不出奇；然后，最重要的原因是，外微分把 $d x^\mu$ 看成一组基，因此相当于在几何中引入了两组基，一组是本身的向量基（用张量的语言，就是逆变向量的基），这组基可以做对称的内积，另外一组基就是 $d x^\mu$ ，这组基可以做反对称的外积。因此，当外微分引入几何时，微分几何就拥有了微分、积分、对称积、反对称积等各种＂理想装备＂，这就是外微分能够加速微分几何推导的主要原因。

## 标架的运动 
前面已经得到

$$
\begin{aligned}
& \omega^\mu=h_\alpha^\mu d x^\alpha \\
& d r =\hat{ e }_\mu \omega^\mu \\
& d s^2=\eta_{\mu \nu} \omega^\mu \omega^\nu \\
& \left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle=\eta_{\mu \nu}
\end{aligned}
$$

用 $d$ 作用于 $\left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle=\eta_{\mu \nu}$ 两边，得到

$$
d \eta_{\mu \nu}=\left\langle d \hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle+\left\langle\hat{ e }_\mu, d \hat{ e }_\nu\right\rangle
$$

$d \hat{ e }_\mu$ 是一个向量的微分，结果也是一个向量，因此可以表示为 $\hat{ e }_\mu$ 的线性组合，即

$$
d \hat{ e }_\mu=\hat{ e }_\alpha \omega_\mu^\alpha
$$

于是有
$$
\begin{aligned}
d \eta_{\mu \nu} & =\left\langle\hat{ e }_\alpha \omega_\mu^\alpha, \hat{ e }_\nu\right\rangle+\left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\alpha \omega_\nu^\alpha\right\rangle \\
& =\left\langle\hat{ e }_\alpha, \hat{ e }_\nu\right\rangle \omega_\mu^\alpha+\left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\alpha\right\rangle \omega_\nu^\alpha \\
& =\eta_{\alpha \nu} \omega_\mu^\alpha+\eta_{\mu \alpha} \omega_\nu^\alpha
\end{aligned}
$$

在大多数实用情况，$\eta_{\mu \nu}$ 是一个常数对角矩阵，于是

$$
\eta_{\alpha \nu} \omega_\mu^\alpha+\eta_{\mu \alpha} \omega_\nu^\alpha=0
$$

那么 $\omega_{\mu \nu}=\eta_{\mu \alpha} \omega_\nu^\alpha$ 作为矩阵来看，就是反对称的，只有 $n(n-1) / 2$ 个分量。特别地，如果 $\eta_{\mu \nu}$ 是一个单位阵，那么 $\omega_\mu^\alpha$ 就是反对称的。

接着，我们断言

$$
d^2 r =0
$$

要注意，这并非显然的。虽然我们知道对于任意函数 $f$ 都有 $d^2 f=0$ ，但 $d r$ 并非真的是函数的微分得来的，而是任意给定的微分形式向量，因此 $d^2 r =0$ 并非显然的结论。但我们可以想象，任意一个 $n$维的弯曲空间（流形），都可以嵌入到一个足够高维数的 $m$ 维平直空间（欧氏空间）中，作为它的子集，就好比三维空间中的曲面那样。这样子，我们就有这个子空间的参数方程

$$
\begin{aligned}
& X^1=X^1\left(x^1, \ldots, x^n\right) \\
& X^2=X^2\left(x^1, \ldots, x^n\right) \\
& \cdots \\
& X^m=X^m\left(x^1, \ldots, x^n\right)
\end{aligned}
$$

这样

$$
d^2 r =d^2\left(X^1, X^2, \ld

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