最后更新: 2025-06-22 10:04 查看: 42 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第6节外微分浅谈力的计算

## 力的计算
这里我们将展示上面一节的方法对于计算黎曼曲率张量的计算是多少的有力！我们再次列出我们得到的所有公式。首先是概念式的

$$
\begin{aligned}
& \omega^\mu=h_\alpha^\mu d x^\alpha \\
& d r =\hat{ e }_\mu \omega^\mu \\
& d s^2=\eta_{\mu \nu} \omega^\mu \omega^\nu \\
& \left\langle\hat{ e }_\mu, \hat{ e }_\nu\right\rangle=\eta_{\mu \nu}
\end{aligned}
$$

然后是

$$
\begin{aligned}
& d \eta_{\mu \nu}=\omega_{\nu \mu}+\omega_{\mu \nu}=\eta_{\nu \alpha} \omega_\mu^\alpha+\eta_{\mu \alpha} \omega_\nu^\alpha \\
& d \omega^\mu+\omega_\nu^\mu \wedge \omega^\nu=0
\end{aligned}
$$

这两个可以帮助我们确定 $\omega_\nu^\mu$ ；接着就是

$$
R _\nu^\mu=d \omega_\nu^\mu+\omega_\alpha^\mu \wedge \omega_\nu^\alpha
$$

最后你要正交标架下的 $\hat{R}_{\nu \beta \gamma}^\mu$ ，就要写出：

$$
R _\nu^\mu=\sum_{\beta<\gamma} \hat{R}_{\nu \beta \gamma}^\mu \omega^\beta \wedge \omega^\gamma
$$

如果你要原始标架下的 $R_{\nu \rho \gamma}^\mu$ ，就要写出

$$
\left(h^{-1}\right)_{\mu^{\prime}}^\mu R _{\nu^{\prime}}^{\mu^{\prime}} h_\nu^{\nu^{\prime}}=\sum_{\beta<\gamma} R_{\nu \beta \gamma}^\mu d x^\beta \wedge d x^\gamma
$$

然后依次读出 $R_{\nu \beta \gamma}^\mu$ ，就像制表一样。

## 二维的例子：球面 
先用一个一维的例子来热身，我们来计算球面 $d s^2=d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2$ 的黎曼曲率张量。
我们取

$$
\omega^1=d \theta, \quad \omega^2=\sin \theta d \phi
$$

也就是

$$
h =\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sin \theta
\end{array}\right), \quad \eta =\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

由于 $\eta$ 是单位阵，因此 $d \eta_{\mu \nu}=\eta_{\alpha \nu} \omega_\mu^\alpha+\eta_{\mu \alpha} \omega_\nu^\alpha$ 告诉我们，$\omega_\nu^\mu$ 是反对称矩阵。我们用矩阵的形式写出 $d \omega^\mu+\omega_\nu^\mu \wedge \omega^\nu=0$

$$
\left(\begin{array}{cc}
0 & \omega_2^1 \\
-\omega_2^1 & 0
\end{array}\right) \wedge\binom{d \theta}{\sin \theta d \phi}=-d\binom{d \theta}{\sin \theta d \phi}=-\binom{0}{\cos \theta d \theta \wedge d \phi}
$$

由于反对称性，$\omega_\nu^\mu$ 只有一个独立分量，不难发现 $\omega_2^1=-\cos \theta d \phi$ 。这个求解过程，用猜测、试探的方法就行了。接着，求 $R _\nu^\mu=d \omega_\nu^\mu+\omega_\alpha^\mu \wedge \omega_\nu^\alpha$ ，即

$$
\begin{aligned}
R _\nu^\mu= & d\left(\begin{array}{cc}
0 & -\cos \theta d \phi \\
\cos \theta d \phi & 0
\end{array}\right) \\
& +\left(\begin{array}{cc}
0 & -\cos \theta d \phi \\
\cos \theta d \phi & 0
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{cc}
0 & -\cos \theta d \phi \\
\cos \theta d \phi & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

最后矩阵相乘一项显然为 o ，事实上也可以证明只要在 2 维空间中就有 $\omega_\alpha^\mu \wedge \omega_\nu^\alpha$ 恒等于 o ，因此

$$
R _\nu^\mu=d\left(\begin{array}{cc}
0 & -\cos \theta d \phi \\
\cos \theta d \phi & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sin \theta d \theta \wedge d \phi \\
-\sin \theta d \theta \wedge d \phi & 0
\end{array}\right)
$$

又因为

$$
R _\nu^\mu=\sum_{\beta<\gamma} \hat{R}_{\nu \beta \gamma}^\mu \omega^\beta \wedge \omega^\gamma=\hat{R}_{\nu 12}^\mu \sin \theta d \theta \wedge d \phi
$$

对比即知

$$
\hat{R}_{\nu 12}^\mu=\

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：第6节外微分浅谈微分几何

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

第6节 外微分浅谈 力的计算

《高等数学》难点解析

《线性代数》难点解析

《概率论与数理统计》难点解析

第6节外微分浅谈力的计算