最后更新: 2025-06-22 09:49 查看: 69 次纠错评论(0) 课件开VIP

第2节外微分浅谈反对称的威力

## 内积与外积 
向量（这里暂时指的是二维或者三维空间中的向量）的强大之处，在于它定义了内积和外积（更多时候称为叉积、向量积等），它们都是两个向量之间的运算，其中，内积被定义为是对称的，而外积则被定义为反对称的，它们都满足分配律。

沿着书本的传统，我们用 $\langle$,$\rangle 表示内积，用 \wedge$ 表示外积，对于外积，更多的时候是用 $\times$ ，但为了不至于出现太多的符号，我们统一使用 $\wedge$ 。我们将向量用基的形式写出来，比如

$$
A = e _\mu A^\mu
$$

其中 $e _\mu$ 代表着一组基，而 $A^\mu$ 则是向量的分量。我们来计算两个向量 $A , B$ 的内积和外积，即

$$
\begin{aligned}
& \langle A , B \rangle=\left\langle e _\mu A^\mu, e _\nu B^\nu\right\rangle=\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle A^\mu A^\nu \\
& A \wedge B =\left( e _\mu A^\mu\right) \wedge\left( e _\nu B^\nu\right)= e _\mu \wedge e _\nu A^\mu B^\nu
\end{aligned}
$$

然后呢？没有然后了，因为我们还没给 $\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle$ 和 $e _\mu \wedge e _\nu$ 下定义。在解析几何中，我们是这样定义内积的，设 $e _\mu$ 是一组标准正交基，那么

$$
\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle=\delta_{\mu \nu}
$$

当 $\mu=\nu$ 时，$\delta_{\mu \nu}=1$ ，否则为 o 。这样，我们就可以对任意两个向量计算它们的内积了，并且有了这个定义，内积成为了判断垂直的工具（两个向量内积为 o ），也成为了计算模长的工具（向量与它自身做内积）。

再来看外积，在二维空间中，外积是这样定义的，设 $e _\mu$ 是一组标准正交基，那么

$$
e _1 \wedge e _2=1
$$

注意由反对称性，我们可以得到 $e_1 \wedge e_1=e_2 \wedge e_2=0, e_2 \wedge e_1=-1$ ，因此这样定义已经完整了。此时可以算得

$$
A \wedge B =A^1 B^2-A^2 B^1
$$

这时候的外积是一个数，其绝对值正是 $A$ 和 $B$ 所张成的平行四边形的面积。
而在二维空间中，则定义

$$
e_1 \wedge e_2=e_3, e_2 \wedge e_3=e_1, e_3 \wedge e_1=e_2
$$

这样定义后，三维空间中的内积就是一个向量了，它与原来的两个向量垂直，并且模长等于原来两向量张成的平行四边形的面积。

回顾整个过程，我们可以这样理解，内积和外积本来就是纯粹代数定义的对称和反对称运算，至于几何意义，则是取决于基的内积和外积确定下来后，进一步赋予的。当然，内外积的定义有一定的历史渊源，但由于它本身并不算困难，因此我们忽略对它历史的研究了。可以看到，对于内积，其定义明显地可以推广到高维空间，而外积则不然。不管怎么样，我们可以清楚这一思路：纯粹代数定义（主要是定义基的内外积）——寻求几何意义——反观历史渊源。

反对称的威力 \＃
从我们学算数开始，我们接触的运算基本都是对称的，即满足 $a b=b a$ 的运算，数的加法、乘法都是这样，到了高中，学了向量的内积，还是这样。因为高中其实讲向量外积的学校并不多，所以很多同学直到大学才接触到不可交换（即 $a b \neq b a$ ）的运算，比如矩阵乘法。在所有非交换运算中，反对称运算是比较特殊而且内涵相当丰富的一种。不仅如此，它还带来了运算的方便。比如下面的例子。

考虑质点在固定的引力中心中运动的问题，那么我们有运动方程

$$
\ddot{x}=-\frac{\mu x}{|x|^3}
$$

两边以 $x$ 外积，即

$$
x \wedge \ddot{ x }=- x \wedge \frac{\mu x }{| x |^3}=0
$$

留意到

$$
\frac{d}{d t}( x \wedge \dot{ x })=\dot{ x } \wedge \dot{ x }+ x \wedge \ddot{ x }= x \wedge \ddot{ x }
$$

所以上式意味着

$$
\frac{d}{d t}( x \wedge \dot{ x })=0
$$

那么

$$
x \wedge \dot{ x }= C
$$

这事实上就是角动量守恒，由于是矢量方程，因此如果用分量形式写出来就是三个方程。这样我们通过简单几个步骤，就得到了三个积分常数。反思根源，就是外积的反对称性 $a \wedge b=-b \wedge a$ 决定了 $a \wedge a=0$ 。这是任何反对称量的性质，也是反对称的威力，它自然地消去了很多本该为 o 的部分。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4054)

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