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微分几何/黎曼几何
第二篇 黎曼几何入门
第2节 外微分浅谈 反对称的威力
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更新:
2025-06-22 09:49
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第2节 外微分浅谈 反对称的威力
## 内积与外积 向量(这里暂时指的是二维或者三维空间中的向量)的强大之处,在于它定义了内积和外积(更多时候称为叉积、向量积等),它们都是两个向量之间的运算,其中,内积被定义为是对称的,而外积则被定义为反对称的,它们都满足分配律。 沿着书本的传统,我们用 $\langle$,$\rangle 表示内积,用 \wedge$ 表示外积,对于外积,更多的时候是用 $\times$ ,但为了不至于出现太多的符号,我们统一使用 $\wedge$ 。我们将向量用基的形式写出来,比如 $$ A = e _\mu A^\mu $$ 其中 $e _\mu$ 代表着一组基,而 $A^\mu$ 则是向量的分量。我们来计算两个向量 $A , B$ 的内积和外积,即 $$ \begin{aligned} & \langle A , B \rangle=\left\langle e _\mu A^\mu, e _\nu B^\nu\right\rangle=\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle A^\mu A^\nu \\ & A \wedge B =\left( e _\mu A^\mu\right) \wedge\left( e _\nu B^\nu\right)= e _\mu \wedge e _\nu A^\mu B^\nu \end{aligned} $$ 然后呢?没有然后了,因为我们还没给 $\left\langle e _\mu, e _\nu\right\rangle$ 和 $e _\mu \wedge
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