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原书序

## 序
本书是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，本书的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解．全书的图形演示课件可登陆本书指明的课程网站下载．

全书分 5 章，主要包括一阶微分方程、一阶二维微分方程组、二阶线性常系数微分方程、一阶二维非线性方程组和一阶 $n$ 维线性微分方程组。

本书适合高等院校数学专业的本科生作为教材，也适合其他相关的人员参考．

## 前言
数学分析中微积分的思想方法在日常生活中具有许多重要的应用，其中最漂亮的应用往往导致对微分方程的研究。在物理学、化学、生态学等应用科学中，大量基本原理的数学表述经常使用微分方程的语言。例如，当某个质量为 $m$ 的质点在外力 $f(t)$ 的作用下，同时受到和速度成正比的阻力的影响，其位置随时刻 $t$ 在变化，一般用 $y=y(t)$ 来表示，牛顿第二定律的数学表述就是如下的等式：

$$
m \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}=f(t)-b \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t},
$$

其中 $b>0$ 为阻力系数，这就是一个微分方程．直观地说，微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式．例如，

$$ 
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+b \frac{\mathrm{~d} 
y}{\mathrm{~d} t}+c y=f(t)   ...(1)
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=k y\left(1-\frac{y}{N}\right)\left(\frac{y}{M}-1\right) ...(2)
$$

及

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x, y), ...(3)\\
& \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=4 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} ...(4)
\end{aligned}
$$

如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程．方程（1）及（2）就是常微分方程，其中 $t$ 为自变量，$y$ 为末知函数，$b$ 与 $c$ 为参数．自变量个数为两个或两个以上的微分方程，如方程（3）与（4），称为偏微分方程。

本门课程主要学习常微分方程，一般简称为＂微分方程＂或＂方程＂．常微分方程的一般形式为

$$
F\left(t, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 ...(5)
$$

这里 $F$ 为联系着自变量 $t$ ，未知函数 $y$ 及其各阶导数的函数关系，其中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果 $F$ 为 $y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}$ 的线性函数，则称之为 $n$ 阶线性微分方程。例如，方程（1）是二阶线性微分方程．不是线性的微分方程称为非线性微分方程．例如，方程（2）为一阶非线性微分方程．

如果函数 $y=y(t)$ 具有直到 $n$ 阶的导数，并且代入（5），使它成为恒等式，则称 $y=y(t)$ 为方程（5）的解。如果方程（5）的解 $y=y\left(t ; c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ 是具有 $n$ 个相互独立的任意常数为参数的函数，即满足在 $\left(t, c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ 的某一个邻域内有

$$
\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial y}{\partial c_1} & \frac{\partial y}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial c_n} \\
\frac{\partial y^{\prime}}{\partial c_1} & \frac{\partial y^{\prime}}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial y^{\prime}}{\partial c_n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\frac{\partial y^{(n-1)}}{\partial c_1} & \frac{\partial y^{(n-1)}}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial y^{(n-1)}}{\partial c_n}
\end{array}\right| \neq 0,
$$

则称 $y=y\left(t ; c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ 为方程（5）的通解。而 $n$ 阶线性方程的通解 $y= y\left(t ; c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ 等价于对任一个确定的解 $y=y(t)$ 都存在唯一一组确定的常数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ ，满足

$$
y(t)=y\left(t ; c_1, c_2, \cdots, c_n\right) .
$$

为了确定方程（5）的一个特定的解，往往需附加一定条件．例如，当 $t=t_0$ 时，$y=y_0$ ， $y^{\prime}=y_0^{(1)}, \cdots, y^{(n-1)}=y_0^{(n-1)}$ 称为初始条件，其中 $y_0, y_0^{(1)}, \cdots, y_0^{(n-1)}$ 为 $n$ 个已知常数．方程（5）连同初始条件称为初值问题．在应用中，初始条件都有明确的实际意义．

**在传统的常微分方程课程中，主要寻找一些特殊的技巧和方法，去发现这些方程的通解或初值问题的特解**，然而**可以找到解析方法进行求解的微分方程是很少的**，因而很难在一本大学本科初等传统微分方程课程中展现微分方程在数学应用中的全部价值美。

**在现代微分方程研究及应用中，寻求具体微分方程的解析解的特殊技巧已经不再是主流课题**，而应用中提出的各种微分方程又往往是非线性方程，寻找这些方程的解析解绝大部分是不可能的，其有效的方法是定性方法与数值方法。

> 科数网注：随着计算机的发展，使用计算机解决微分方程成为趋势，详见 [数值分析](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1447)

在大学本科数学基础课程中，常微分方程是少数几个可以展示数学研究本质的课程之一。在传统初等微分方程中往往强调求微分方程解析解的特殊技巧，即使介绍定性分析方法，也往往放在教材的后面章节，一般由于时间的限制只能介绍一部分内容，难以展示数学研究的本质。

为了在一门大学本科初等微分方程课程中展示数学直觉与数学研究的本质，我们做了如下努力：首先，将数学建模贯穿本书前 4 章。各种类型微分方程的研究都是以实际问题的数学建模开始的，然后以不同的方法进行解的表达，以达到解决问题的目标；其次，在微分方程解的表达方法中，不再仅限于解析解，而是以定性分析为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，达到对解的渐近行为的最好的理解；再次，以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解，全书的图形演示课件可登陆本书后指明的课程网站下载；最后，本书在研究方法上注意直觉，由具体到抽象，重探究实质，轻表达形式的一般性，重猜想与归纳以期待达到培养学生对数学进行探索研究的能力。

> 科数网注：建议读者已经学习了《高等数学》里的微分方程，详见 [微分方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=231)

本书的第 1 章为一阶微分方程。从开始就引进斜率场、解图像及相线等形象分析工具，以计算机课件进行辅助图形演示，重点介绍定性分析，特别是分歧现象的分析。对于解析方法，仅限于应用广泛的＂分离变量法＂及线性微分方程的＂常数变易法＂与＂积分因子方法＂，同时将解析方法与定性方法相结合。为加深对演示图形的计算机模拟的理解，本章介绍了数值方法－欧拉方法。第2章为一阶二维微分方程组。首先，引入相平面上的向量场、方向场及轨线的概念。对一阶二维线性方程组，将定性方法与解析方法相结合，并将二阶线性微分方程化为一阶二维线性方程组进行分析。对一阶二维齐次线性微分方程组，根据其特征值的符号进行定性分析。最后以迹 行列式平面给出各种类型平衡点及相图的分类。第 3 章为二阶线性常系数微分方程．与传统教材相比，突出了＂思想方法＂的表述，以猜测－检验方法为核心，探究各种问题的解法．最后，归纳出一般问题的解法，并给出证明．以此增强学生的研究能力。第 4 章为一阶二维非线性微分方程。以第 2 章引进的相平面、轨线及相图为基础，进一步引入线性化，$x$ 零水平线与 $y$ 零水平线及分离曲线的概念，通过定性分析研究解的渐近行为及分歧现象的规律，同时给出具体问题中的应用．前 4 章的教学内容及表述方式有别于国内流行教材．第 5 章为一阶 $n$ 维线性微分方程组。介绍非自治条件下的一般理论，重点在于理论分析及基解矩阵的求法。对于一阶 $n$ 维常系数线性微分方程组，利用矩阵指数函数给出基解矩阵的统一解法，同时利用特征值方法给出基解矩阵的简便求法。对于可化为一阶 $n$ 维常系数线性微分方程组的 $n$ 阶常系数微分方程，除上述方法外，介绍了拉普拉斯变换方法．这一章与国内流行的微分方程教材类似．

本书编写框架是在本教学组多年的教学实践基础上由王玉文、史峻平所确定的．第 1 章由侍述军执笔；第 2 章和第 3 章由王玉文执笔；第 4 章由史峻平、刘萍共同执笔；第 5 章由刘萍执笔。崔仁浩和王金凤为本书配备了习题。本书的学习指导及演示课件由刘萍、崔仁浩、王金凤和侍述军共同编写（见本课程网站），随后另行出版．

本书在编写过程中参阅了国内、国外最新的、流行的微分方程教材，特别是美国波士顿大学的精品微分方程教材 Differential Equations ${ }^{[12]}$ 及国内精品常微分方程教材 ${ }^{[3,14]}$ 。

由于作者水平有限，对于书中的不足和疏漏之处，敬请读者指正．

王玉文
2010年元月

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