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平面图形的面积
日期:
2022-12-30 09:10
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定积分是求某种总量的数学模型, 它在几何学、物理学、经济学、 蛀会学等方面都有着广泛的应用, 显示了巨大的魅力. 也正是这些广泛 的应用, 推动着积分学的不断发展和完善. 因此, 在学习的过程中，我 们不仅要掌握计算某些实际问题的公式, 更重要的还在于深刻领会用定 积分解决实际问题的基本思想和方法一一微元法, 不断积累和提高数学 的应用能力. 求曲边梯形面积经历了分割、近似、求和、取极限四步, 导出了定积分的 定义, 即 $\int_a^b f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$. 若将积分元素 $f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 对应于被积表达式 $f(x) \mathrm{d} x$ ，积分和 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 的极限对应于 $f(x) \mathrm{d} x$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分，则定积分的 定义可简化为两步: 第一步 求出 $f(x) \mathrm{d} x$ (相当于写出 $\left.f\left(\xi_i\right) \Delta x_i\right)$; 第二步 求定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (相当于求 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 的极限)； 从而可以利用定积分的有关运算解决一些几何和物理的问题. 1、直角坐标系一般方程 根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积. (1) 由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积. (1) 若 $f(x) \geq 0$ ，则其面积为: $S=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (见图 3-19); (2) 若 $f(x) \leq 0$ ，则其面积为: $S=-\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (见图 3-20);  (3) 若 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 内既有取正值的 部分，也有取负值的部分(见图 3-21)， 则其面积为 $$ S=\int_a^{c_1} f(x) \mathrm{d} x-\int_{c_1}^{c_2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c_2}^b f(x) \mathrm{d} x $$ 综上所述，由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面 积为 $$ S=\int_a^b|f(x)| d x . $$ 我们利用定积分求面积的公式来验证一个已知的结果.  例 1 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的面积. 解 由 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，得 $$ y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}, $$ 其中，若 $y$ 取正号，即表示上半椭圆的方程， 若 $y$ 取负号，即表示下半椭圆的方程(见图 3-22).  又设椭圆的面积为 $S$ ，它在第一象限的面积为 $S_1$ ，由于椭圆关于两坐标轴对 称，因而其面积为 $$ S=4 S_1=4 \int_0^a y \mathrm{~d} x=4 \int_0^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x \text { ， } $$ 已知 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4} a^2$ ，从而有 $A=\frac{4 b}{a} \cdot \frac{\pi}{4} a^2=\pi a b$. 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 也可表示成参数方程 $$ \left\{\begin{array}{l} x=a \cos t \\ y=b \sin t \end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi),\right. $$ 因此也可以有 $$ \begin{aligned} S=4 S_1= & 4 \int_0^a y \mathrm{~d} x=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 b \sin t \cdot a(-\sin t) \mathrm{d} t \\ = & 4 a b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t \mathrm{~d} t=4 a b \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\pi a b . \end{aligned} $$ 特别地，若 $a=b=R$ ，则得到圆的面积 $S=\pi R^2$. (2) 由曲线 $y=f(x) ， y=g(x)$ 及直线 $x=a, x=b$ 所围成的平面图形的面积. 设曲线 $y=f(x)$ 位于曲线 $y=g(x)$ 的上方 (见 图 3-23)，则其面积为 $$ S=\int_a^b[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x $$  (3) 由曲线 $x=\varphi(y) ， x=\psi(y)$ 及直线 $y=a, y=b$ 所围成的平面图形的面积. 设曲线 $x=\varphi(y)$ 位于曲线 $x=\psi(y)$ 的左 侧（见图 3-24），则其面积为 $$ S=\int_a^b[\psi(y)-\varphi(y)] \mathrm{d} y $$  例 2 求由两条曲线 $y^2=a x$ 和 $a y=x^2 \quad(a>0)$ 围成的平面图形的面积. 解 (1) 求两曲线的交点: 解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} y^2=a x \\ a y=x^2 \end{array} \text {, 交点为 }(0,0),(a, a) .\right. $$ （2）画出两条曲线的图形 (见图 3-25)，它们 均为抛物线，并将它们的方程变形为 $$ y=\pm \sqrt{a x} \text { 和 } y=\frac{x^2}{a} . $$  例 2 求由两条曲线 $y^2=a x$ 和 $a y=x^2 \quad(a>0)$ 围成的平面图形的面积. (3) 求面积：利用平面图形求面积公式，有 $$ \begin{aligned} S & =\int_0^a\left(\sqrt{a x}-\frac{x^2}{a}\right) \mathrm{d} x=\sqrt{a} \int_0^a x^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x-\frac{1}{a} \int_0^a x^2 \mathrm{~d} x \\ & =\left.\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^a-\left.\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{3} x^3\right|_0 ^a \\ & =\frac{1}{3} a^2 . \end{aligned} $$ 例 3 求抛物线 $y^2=2 x$ 与直线 $y=x-4$ 所围成的平面图形的面积. 解 求曲线与直线的交点，即解方程组 $$ \left\{\begin{array} { c } { y ^ { 2 } = 2 x } \\ { y = x - 4 } \end{array} \text { ，得 } \left\{\begin{array} { l } { x = 8 } \\ { y = 4 } \end{array} \text { 与 } \left\{\begin{array}{c} x=2 \\ y=-2 \end{array}\right.\right.\right. \text { ， } $$ 故交点为 $A(8,4)$ 和 $B(2,-2)$. 若选择 $x$ 为积分变量, 则该平面图形视为由两 部分 $S_1$ 和 $S_2$ 组成(见图 3-26)，并将抛物线方程变形 为 $y=\pm \sqrt{2 x}$ ，则由求平面图形面积的公式，有  $$ \begin{aligned} S=S_1+S_2 & =\int_0^2 \sqrt{2 x}-(-\sqrt{2 x}) \mathrm{d} x+\int_2^8[\sqrt{2 x}-(x-4)] \mathrm{d} x \\ & =\left.2 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^2+\left.\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_2 ^8-\left.\frac{1}{2}(x-4)^2\right|_2 ^8 \\ & =\frac{16}{3}+\frac{64}{3}-\frac{8}{3}+6=18 . \end{aligned} $$ 若选择 $y$ 作为积分变量，并将曲线方程变为 $x=\frac{y^2}{2}$ ， 直线方程变为 $x=y+4$ (见图 3-27)，则 由求平面图形面积的公式，有 $$ S=\int_{-2}^4\left(y-4-\frac{y^2}{2}\right) \mathrm{d} y \quad=\left.\left(\frac{y^2}{2}-4 y-\frac{1}{6} y^3\right)\right|_{-2} ^4=18 . $$ 上述两种解法中，显然第二种解法较为简便，在 求平面图形的面积时，应注意对公式的适当选择.  2、微元法 如果某一实际问题中所求量 $U$ 符合下列条件: （1） $U$ 是与某一个变量 (比如 $x$ ) 的变化范围 (比如 $[a, b])$ 有关的量； （2） $U$ 对于区间 $[a, b]$ 具有可加性，即若将 $[a, b]$ 分成若干部分区间，则 $U$ 相应 地分成若干个部分量 $\Delta U$ ，而 $U$ 等于所有部分量 $\Delta U$ 之和： $U=\sum \Delta U$ ； (3) 部分量 $\Delta U$ 的近似值可表示为 $f(x) \Delta x$. 即 $\Delta U \approx f(x) \Delta x$. 那么就可考虑用定积分来表示这个量 $U$ 通常写出这个量 $U$ 的积分表达式的步骤为: （1）根据问题的具体情况，选取一个变量 (比如 $x$ ) 作为积分变量，并确 定它的变化区间 (比如 $[a, b])$ ； （2）设想将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，取其中任一小区间并记作 $[x, x+\mathrm{d} x]$ ， 求出相应于这个小区间的部分量 $\Delta U$ 的近似值，如果 $\Delta U$ 能近似地表示为区间 $[a, b]$ 上的一个连续函数在 $x$ 处的值 $f(x)$ 与 $\mathrm{d} x$ 的乘积，就将 $f(x) \mathrm{d} x$ 称作为量 $U$ 的元素，记作 $\mathrm{d} U$ ，即 $\mathrm{d} U=f(x) \mathrm{d} x$ ； (3) 以所求量 $U$ 的元素 $f(x) \mathrm{d} x$ 为被积表达式，在区间 $[a, b]$ 上积分，得 $U=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$. 我们称上述步骤为定积分的微元分析. 我们可以利用微元法来求例 3(见图 3-27). (1) 选择 $y$ 为积分变量， $y \in[-2,4]$ ； (2) 任选区间微元 $[y, y+\mathrm{d} y] ，$ 面积微元 $\mathrm{d} S=\left(y-4-\frac{y^2}{2}\right) \mathrm{d} y$ (3)面积的值即为在积分区间 $[-2,4]$ 上， 以面积微元 $\mathrm{d} S$ 为被积函数的定积分: $$ S=\int_{-2}^4\left(y-4-\frac{y^2}{2}\right) \mathrm{d} y=18 . $$  3、极坐标系下平面图形的面积 某些平面图形，用极坐标来计算它的面积比较方便. 在平面内取一个定点 $O$, 叫做极点, 引一条射线 $O x$, 叫做极轴, 再选一个长度 单位和角度的正方向(通常取逆时针方向). 对于平面内的任意一点 $M$, 用 $r$ 表示线 段 $O M$ 的长度, $\theta$ 表示从 $O x$ 到 $O M$ 的角, $r$ 叫做点 $M$ 的极径, $\theta$ 叫做点 $M$ 的极角, 有 序数对 $(r, \theta)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标. 这样建立的坐标系 叫做极坐标系(见图 3-28).  如果让直角坐标系的原点和极坐标的极点重合，极轴和直角坐标系的 $x$ 轴正 半轴重合，设 $M$ 在直角坐标系下坐标为 $(x, y)$ ，对应的极坐标系下的坐标为 $(r, \theta)$ (见图 3-29)，则可以得到两个坐标系的坐标之间的变量互化关系式: $$ \left\{\begin{array} { l } { x = r \operatorname { c o s } \theta } \\ { y = r \operatorname { s i n } \theta } \end{array} \text { 或 } \quad \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=r^2 \\ \frac{y}{x}=\tan \theta \end{array}\right.\right. \text {. } $$  设由曲线 $r=r(\theta)$ 及 $\theta=\alpha ， \theta=\beta$ 围成一图形 (简称为曲边扇形)，这里 $r(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $r(\theta) \geq 0$. 由于当 $\theta$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上变化时， $r=r(\theta)$ 也在变动(见 图 3-30)，现用微元法求曲边扇形的面积. 取 6 为积分变量，它的变化区间为 $[\alpha, \beta]$ ，相应 于 $[\theta, \theta+\mathrm{d} \theta]$ 的窄曲边扇形面积可用以 $r(\theta)$ 为半径 $\mathrm{d} \theta$ 为圆心角的扇形面积近似代替，即面积微元为 $\mathrm{d} S=\frac{1}{2}[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta$ ，因此曲边扇形的面积为以面积微 元作为被积表达式，在区间 $[\alpha, \beta]$ 上的定积分 $$ S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta . $$  注 (1) 如果图形由内含极点的封闭曲线 $r=r(\theta)$ 所围成(见图 3-31)，则 $$ S=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi}[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta ； $$  (2) 如果图形由曲线 $r=r_1(\theta) ， r=r_2(\theta)$ 及射线 $\theta=\alpha ， \theta=\beta(\alpha<\beta)$ 所围(见 图 3-32)，则 $$ S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta\left[r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\right] \mathrm{d} \theta . $$  例 4 计算阿基米德螺线 $r=a \theta(a>0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧与极轴 所围成的图形的面积(见图 3-33). 解 $S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} a^2 \theta^2 \mathrm{~d} \theta=\frac{a^2}{2}\left[\frac{\theta^3}{3}\right]_0^{2 \pi}=\frac{4 a^2 \pi^3}{3}$.  例 5 计算心形线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围成的图形的面积(见图 3-34). 解 图形关于极轴对称，对于极轴以上部分图形， 6 的变化区间为 $[0, \pi]$ ， $$ \begin{aligned} S & =2 \llbracket \frac{1}{2} \int_0^\pi a^2(1+\cos \theta)^2 \mathrm{~d} \theta=a^2 \int_0^\pi\left(1+2 \cos \theta+\cos ^2 \theta\right) \mathrm{d} \theta \\ & =\frac{a^2}{2} \int_0^\pi(3+4 \cos \theta+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta \\ & =\frac{a^2}{2}\left[3 \theta+4 \sin \theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_0^\pi=\frac{3 \pi a^2}{2} . \end{aligned} $$  例 6 计算由双纽线 $r^2=2 a^2 \cos 2 \theta$ 所围成的区域的面积(见图 3-35). 解 由 $r^2=2 a^2 \cos 2 \theta=0$ 知 $\theta=\pm \frac{\pi}{4}$. 由图形的对称性得 $$ \begin{aligned} S & =4\left[\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 a^2 \cos 2 \theta \mathrm{d} \theta\right] \\ & =2 a^2 \end{aligned} $$ 
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