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向量的模与方向角
日期:
2022-12-30 15:20
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设 $\boldsymbol{a}$ 为任意一个向量，又设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 为与三坐标轴正向之间的夹角 $(0 \leq \alpha, \beta, \gamma<\pi)$ ，如图 5-22 所示， $\alpha ， \beta ， \gamma$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向角. 由于向量 坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 $$ a_x=|\boldsymbol{a}| \cos \alpha, \quad a_y=|\boldsymbol{a}| \cos \beta ， \quad a_z=|\boldsymbol{a}| \cos \gamma, $$ 其中 $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方 向余弦，通常用它表示向量的方向.  由模的定义，可知向量 $a$ 的模为 $$ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} . $$ 或 $\cos \alpha=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}, \cos \beta=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}, \cos \gamma=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$, 由此可得 $$ \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1 ， $$ 即任一向量的方向余弦的平方和为 1 . $$ \boldsymbol{e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{a}|}\left(a_x, a_y, a_z\right)=\frac{1}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\left(a_x, a_y, a_z\right)=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) . $$ 例 6 设两已知点 $M_1(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_2(1,3,0)$ ，分别写出向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} 、 \overrightarrow{M_2 M_1}$ 的 坐标表达式和向表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、单位向量. 解 向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2})=-\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-\sqrt{2} \boldsymbol{k}$ ， $$ \overrightarrow{M_2 M_1}=-\overrightarrow{M_1 M_2}=-(-1,1,-\sqrt{2})=(1,-1, \sqrt{2})=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\sqrt{2} \boldsymbol{k} $$ 模 $\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\left|\overrightarrow{M_2 M_1}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=2$ ， $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 的方向余弦为 $$ \cos \alpha_1=-\frac{1}{2}, \quad \cos \beta_1=\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma_1=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 对应的方向角为 $$ \alpha_1=\frac{2}{3} \pi ， \quad \beta_1=\frac{1}{3} \pi ， \gamma_1=\frac{3}{4} \pi ； $$ 同理可得 $\overrightarrow{M_2 M_1}$ 的方向余弦为 $$ \cos \alpha_2=\frac{1}{2}, \quad \cos \beta_2=-\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \text { ； } $$ 对应的方向角为 $$ \alpha_2=\frac{1}{3} \pi ， \quad \beta_2=\frac{2}{3} \pi ， \gamma_2=\frac{1}{4} \pi \text { ； } $$ $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{M_1 M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2}) \\ & \left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2 \text { ， 故 } \end{aligned} $$ 与 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 同向的单位向量为 $\boldsymbol{e}_{M_1 M_2}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 与 $\vec{M}_2 M_1$ 同向的单位向量为 $\boldsymbol{e}_{M_2 M_1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. 例 7 求平行于向量 $a=6 i+7 j-6 k$ 的单位向量. 解 所求向量有两个，一个与 $\boldsymbol{a}$ 同向，一个反向. 由于 $|a|=\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}=11$, 故 $e_a=\frac{a}{|a|}=\frac{6}{11} i+\frac{7}{11} j-\frac{6}{11} k$, 或 $\quad-e_a=-\frac{a}{|a|}=-\frac{6}{11} i-\frac{7}{11} j+\frac{6}{11} k$. 例 8 已知向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 的模为 $\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=2$, 向量与 $x$ 轴和 $y$ 轴的夹角分别为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ ，如果 $P_1$ 的坐标为 $(1,0,3)$ ，求 $P_2$ 的坐标. 解 设向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 的方向角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$. 因为 $\alpha=\frac{\pi}{3}$, 则 $\cos \alpha=\frac{1}{2}, \beta=\frac{\pi}{4}, \cos \beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 又因为 $\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1$, 所以 $\cos \gamma=\pm \frac{1}{2}$ ，可得 $\gamma=\frac{\pi}{3}$ 或 $\gamma=\frac{2 \pi}{3}$. 设 $P_2$ 的坐标为 $(x, y, z)$, 由 $\cos \alpha=\frac{x-1}{\left|P_1 P_2\right|}$ 可知 $\frac{x-1}{2}=\frac{1}{2}$ ，解方程可得 $x=2$,
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